高考数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 新人教A版必修2

1、第二章2.1空间点、直线、平面之间的位置关系,2.1.1平面,学习目标,1.了解平面的概念及表示方法. 2.理解平面的公理1、公理2、公理3. 3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一平面的概念 1.几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 的. 2.平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个 ，它的 锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 ， 如图. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它 的立体感，把被遮挡部分用 画出来，如图,答

2、案,虚线,无限延展,平行四边形,45,2倍,3.平面的表示法 图的平面可表示为 ，平面ABCD， 或平面BD. 思考一个平面能把空间分成几部分,答案,答因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分,平面AC,平面,知识点二点、线、面之间的关系 1.直线在平面内的概念： 如果直线l上的 都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l. 2.一些文字语言与数学符号的对应关系,答案,所有点,l,Al,Al,A,A,l,思考若Aa，a，是否可以推出A,答案,答根据直线在平面内定义可知，若Aa，a，则A,知识点三平面的基本性质及作用,答案,两点,l,答案,只有,该点的公共直线,有且,过,思考(1

3、)两个平面的交线可能是一条线段吗,答不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线,2)经过空间任意三点能确定一个平面吗,答不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面,答案,返回,题型探究 重点突破,题型一三种语言间的相互转化 例1用符号语言表示下列语句，并画出图形. (1)三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC,解析答案,解符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示如图,2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC,解析答案,反思与感悟,解符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC 平面ADCAC，图

4、形表示如图,反思与感悟1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. 2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别,解析答案,跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B,解点A在平面内，点B不在平面内，如图,2)l，mA，Al,解直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图,3)Pl，P，Ql，Q,解直线l经过平面外一点P和平面内一点Q，如图,解析答案,题型二共面问题 例2证明：空间不共点且两两相交的四条直线在

5、同一平面内,反思与感悟,反思与感悟,证明(1)如图，设直线a，b，c相交于点O，直线d和直线a，b，c分别交于点M，N，P，直线d和点O确定平面. 因为Oa，Ma，所以a. 同理可证b，c. (2)如图，设直线a，b，c， d两两相交，且任意三条不共点，交点分别是M，N，P，Q，R，G. 因为abM，所以直线a和b确定平面. 因为acN，bcQ，所以点N，Q都在平面内，所以c. 同理可证d，所以直线a，b，c，d共面于. 综合(1)(2)，知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内,反思与感悟,在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直

6、线在这个平面内. (2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内,解析答案,跟踪训练2已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面,证明如图所示. 由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面. 设alA，blB， A，B，且Al，Bl， l. 即过a，b，l有且只有一个平面,题型三点共线与线共点问题 例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线,解析答案,反思与感悟,证明MNEFQ，

7、Q直线MN，Q直线EF， 又M直线CD，N直线AB， CD平面ABCD，AB平面ABCD. M、N平面ABCD， MN平面ABCD.Q平面ABCD. 同理，可得EF平面ADD1A1. Q平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1AD， Q直线AD，即D、A、Q三点共线,反思与感悟,反思与感悟,点共线与线共点的证明方法： (1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. (2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证

8、两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点,解析答案,跟踪训练3如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23，求证：EF，GH，BD交于一点,解析答案,证明E，G分别为BC，AB的中点，GEAC. 又DFFCDHHA23， FHAC，从而FHGE. 故E，F，H，G四点共面. FHAC，DHDA25,又E，G分别为BC，AB的中点,FHGE,四边形EFHG是一个梯形， GH和EF交于一点，设为O. OGH，GH平面ABD，OEF，EF平面B

9、CD， O在平面ABD内，又在平面BCD内， O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条， 点O在直线BD上. 故EF，GH，BD交于一点,分类讨论思想,数学思想,例4三个平面将空间分成几部分？请画出图形,解析答案,解后反思,返回,分析平面具有无限延展性，任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论，再让第三个平面以不同的情况介入，分类解决,解(1)当平面、平面、平面互相平行(即)时，将空间分成4部分，如图所示,解析答案,解后反思,2)当平面与平面平行，平面与它们相交(即，与其相交)时，将空间分成6部分，如图所示,解后反思,3)当平面、平面、平面都相

10、交，且三条交线重合时，将空间分成6部分，如图所示. (4)当平面、平面、平面都相交，且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成8部分，如图所示. (5)当平面、平面、平面两两相交，且三条交线平行时，将空间分成7部分，如图所示,解后反思,本题在解答过程中，采用了从简单到复杂的处理方法,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是() A.黑板面 B.乒乓球桌面 C.篮球的表面 D.平静的水面,C,解析平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的， 所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分， 而篮球的表面是一个曲面，不

11、能作为平面的一部分,解析答案,2.点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为() A.Pl B.Pl C.Pl D.Pl,D,1,2,3,4,5,解析点与线之间是元素与集合的关系，用表示； 线与面之间是集合与集合的关系，用表示,1,2,3,4,5,解析答案,3.若一直线a在平面内，则正确的作图是(,解析B中直线a不应超出平面； C中直线a不在平面内； D中直线a与平面相交,A,解析答案,4.下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是(,解析A中没有画出平面与平面的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，故A不正确； B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确,D,1,2,3,4,5,解析答案,5.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定_个平面,1,2,3,4,5,解析可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面,4,2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_个平面,解析可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面,7,课堂小结,1.解决立体