复变函数积分的概念_第1页
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1、第一节 复变函数积分的概念,一、积分的定义,三、积分存在的条件及其计算法,二、积分的性质,四、小结与思考,2,一、积分的定义,1.有向曲线,设c为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定c的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把c理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线,如果a到b作为曲线c的正向,那么b到a就是曲线c的负向,3,简单闭曲线正向的定义,简单闭曲线c的正向是指当曲线上的点p顺此方向前进时, 邻近p点的曲线的内部始终位于p点的左方,与之相反的方向就是曲线的负方向,关于曲线方向的说明,在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明

2、外, 正方向总是指从起点到终点的方向,4,2.积分的定义,5,6,关于定义的说明,7,二、积分的性质,复积分与实变函数的定积分有类似的性质,估值不等式,8,性质(4)的证明,两端取极限得,证毕,9,三、积分存在的条件及其计算法,1. 存在的条件,证,正方向为参数增加的方向,10,11,根据线积分的存在定理,12,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,13,在形式上可以看成是,公式,14,2. 积分的计算法,15,在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 c 是按段光滑的,16,例1,解,直线方程为,17,这两个积分都与路线c 无关,18,例2,解,1) 积分路径的参数方程为,y=x,19,2) 积分路径的参数方程为,20,3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,21,例3,解,积分路径的参数方程为,22,例4,解,积分路径的参数方程为,23,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关,24,例5,解,根据估值不等式知,25,26,四、小结与思考,本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分的一般方法,27,思考题,28,思考题答案,即为一元实

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