第11章 环的定义及性质

1、1/20,第三章 环与域,主要内容: 环的定义与性质 无零因子环的特征数 子环、理想子环与商环 环的同态基本定理 极大理想,2/20,第11节 环的定义及性质,主要内容: 环的定义与性质 零因子 特殊的环(整环/除环/域,3/20,环的定义,定义1 设(R,+,)是代数系统，+和是二元运算. 如果 满足以下条件: (1) (R,+)构成交换群; (2) (R,)构成半群; (3) 运算关于+运算满足左、右分配律; 则称(R,+,)是一个环. 通常称+运算为环中的加法，运算为环中的乘法. 环中加法单位元记作 0，乘法单位元(如果存在)记作1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x.

2、若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1,4/20,定义2 称环(R,+,)是有限环，如果R是有限非空集合,定义3 设(R,+,)是环， (1) 若环中乘法 适合交换律，则称R是交换环 或可换环. (2) 若环中乘法 存在单位元，则称R是含幺环,环的定义,5/20,环的实例,例1 (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的 加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环 Q，实数环R和复数环C. (2) n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和 乘法构成环，称为 n 阶实矩阵环. (3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算 构成环. (4) 设Zn0,1,

3、. , n1，和分别表示模n 的加法和乘法，则(Zn,)构成环，称为模 n同余类 环,6/20,性质1 设(R,+,)是环，则 (1) aR，a0 = 0a = 0；(2) a,bR，(a)b = a(b) = ab；(3) a,b,cR，a(bc) = abac， (bc)a = baca；(4) a1,a2,.,an，b1,b2,.,bmR (n,m2).,环的运算性质,7/20,性质1 设(R,+,)是环，则 (1) aR，a0 = 0a = 0；(2) a,bR，(a)b = a(b) = (ab)= ab,环的运算性质,证 (1) aR有 a0 = a(0+0) = a0+a0由环中

4、加法的消去律得a0=0. 同理可证0a=0.(2) a,bR，有 (a)b+ab =(a+a)b = 0b = 0ab+(a)b =(a+(a)b = 0b = 0(a)b是ab的负元. 由负元惟一性(a)b= ab. 同理a(b)= ab,8/20,同理可证, b1, b2, ., bm有,4) 证明思路：用归纳法证明 a1, a2, . , an 有,于是,证明(4,性质1 设(R,+,)是环，则 (4) a1,a2,.,an，b1,b2,.,bmR (n,m2,9/20,实例,例2 在环中计算(a+b)3, (ab)2,解: (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+

5、ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab) = a2baab+b2,10/20,问题,初等代数中,ab=0 a=0或b=0,n0，na=0 a=0,环中,ab=0 a=0或b=0 ,n0，na=0 a=0 ,11/20,零因子,定义4 设(R,+,)是环，aR， a0 。如果存在一个 元bR，b0，使得 ab=0 ，则称a是R的一个左零 因子. 如果存在一个元cR，c0，使得 ca=0 ，则称 a是R的一个右零因子. 如果a既是R的左零因子，又是R的右零因子， 则称a是R的零因子,显然，若R有左零因子，则R必有

6、右零因子,12/20,特殊的环,定义5 设(R,+,)是环， 若a,bR，ab=0 a=0或b=0，则称R是无零因子环. 或 若a,bR， a0，b0 ab0 ，则称R是无 零因子环. 或 没有左零因子，也没有右零因子的环称为无零因子环,13/20,特殊的环,定义6 设(R,+,)是环， (1) 若R是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是整环. (2) 如果R满足以下两个条件： 1)R中至少含有两个元素(或R中至少含有一个非 零元素)； 2)非零元素的全体对乘法构成一个群. 则称R是除环或体. (3) 可换体称为域,显然，除环和域是无零因子环,14/20,例3 (1) 整数环Z、有理数环Q、实

7、数环R、复数环C 都是交换环,含幺环,无零因子环和整环. 除了整数环 以外都是域. (2) 令2Z=2z | zZ，则(2Z,+,)构成交换环和无零 因子环. 但不是含幺环和整环. (3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵 加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和 无零因子环，也不是整环. (4) (Z6,)构成环，它是交换环, 含幺环, 但不是无 零因子环和整环. 23=32=0，2和3是零 因子,实例,15/20,定理1 环R是无零因子环当且仅当在R中乘法满足 消去律，即 如果a0，ab=ac，则b=c； 如果a0，ba=ca，则b=c,无零因子环,例4 至少有一

8、个非零元的无零因子有限环是体,提示：注意“有限 ” 两个字,16/20,实例,例5 设 p为素数，证明Zp是(有限)域,证 p为素数，所以 |Zp|2. 易见Zp可交换，单位元 是1. 对于任意的 i, jZp, i 0有i j = 0 p 整除 ij p| j j =0 所以 Zp 中无零因子,注意：若 p不为素数，则Zp肯定不是域,17/20,域中除法及其性质,在域F中可以引入除法，如果a,b F， a 0， 则b被a除记为b/a，且b/a=a-1b,有以下性质,18/20,证 a,bZ有ab, abZ, 两个运算封闭. 任取a,b,cZ (ab)c = (a+b1)c = (a+b1)+

9、c1 = a+b+c2 a(bc) = a(b+c1) = a+(b+c1)1 = a+b+c2 (ab)c = (a+bab)c = a+b+c (ab+ac+bc)+abc a(bc) = a(b+cbc) = a+b+c (ab+ac+bc)+abc 与可结合，1为的单位元. 2a为a关于的逆元. Z关于构成交换群, 关于构成半群. 关于 满足分配律. a(bc) = a(b+c1) = 2a+b+cabac1 ab)(ac) = 2a+b+cabac1 (Z, ,)构成环,练习1,1. 在整数环中定义和两个运算, a,bZ 有 ab = a+b1, ab = a+bab. 证明(Z, ,)构成环,19/20,2. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域, 如果不构成, 说明理由. (1) A = a+bi | a,bQ , 其中i2= 1, 运算为复数加法和乘法. (2) A= 2z+1 | zZ, 运算为实数加法和乘法 (3) A= 2z | zZ, 运算为实数加法和乘法 (4) A= x | x0 xZ, 运