2周期交流电量的有效值

1、第三章3-2 周期交流电量的有效值设有一个直流电流I，通过同一电阻R，一个周期时间内消耗的电能为。若二者一周期内消耗的电能相等，则有即 （3-2-1）式中，I称为周期交流电流的有效值，它等于瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根，因此有效值又称为均方根值。从物理意义上讲，周期电流的有效值是从功耗相等的观点来衡量一个周期电流的大小。它把交流电流等效成一个相应的直流电流。当这一直流电流通过同一电阻时，在一个周期时间内产生与交流电流同样的电能消耗。对于周期性变化的电压，它的有效值U也有类似的定义，即 （3-2-2）当周期性电流为正弦电流时，设把电流代入式（3-2-1），得 （3-2-3）可见正弦

2、电流的有效值等于最大值除以。类似地可以得到正弦电压的最大值与它的有效值之间的关系 （3-2-4） 这样，我们可以把式（3-1-1）重新表示成 （3-2-5）式中，I为正弦交流电流的有效值。电气工程上一般所说的正弦电压电流的大小都是指它们的有效值。通常所说的单相交流电压为220V，电流为10A等，都是指正弦交流电的有效值。一般工程上的电气测量仪表所指的值也大都是指有效值。3-3 正弦交流电量的相量表示正弦量除了用波形和瞬时表达式来表示以外，利用欧拉公式还可以表示成复指数的形式。一个正弦交流电流，可以表示为复指数形式 （3-3-1）方括号内是一个复数，符号Im表示取复数的虚部。复指数的模即为正弦函

3、数的幅值， 图3-3-1幅角为正弦函数的相位，它随时间以角度增长。若把复数在复平面上的对应点与原点之间用一带箭头的有向线段相连，如图3-3-1所示，则可得到一个幅角随时间变化的旋转矢量。这条用来表示正弦函数的矢量称为正弦量的相量。相量在复平面上的图形称为相量图。图中画出了该相量在和时的位置。当时，该相量与实轴夹角为正弦函数的初始相位角。该相量以角速度随时间向逆时针方向旋转，当时刻，相量转到图中虚线所示位置。此时与实轴夹角为。由图可以看出，该相量在虚轴上的投影长度等于，即等于对应的正弦函数在该时刻的瞬时值。在用复平面上的相量表示正弦函数时，只要确定其初相位时的相量即可，即相当于取时的复指数函数。

4、实际的正弦时间函数只要把该复数乘以，再取其虚部就可以得到。在电工计算中，复数中的模一般取为正弦量的有效值，即可以把复数表示为，这里I为有效值，为初相角。这样我们可以把式（3-1-1）的正弦交流电流表示成相量形式为 （3-2-2）或 （3-2-3）掌握正弦函数的瞬时值表达式，相量表示图形和复数表达式，并理解它们之间的内在转换关系和意义，是稳态正弦交流电路中相量计算的基础。图 3-3-2下面来讨论两个同频率正弦量的计算问题。对于图3-3-2所示的电路，若已知两条支路中的电流为则合成电流i为由前面分析得这里 （3-3-4）由上式可知，要计算合成电流i只要知道合成电流的相量即可，于是两个同频率的正弦电

5、流相加问题，就转化成这两个正弦电流对应的相量的相加问题，即把三角函数的相加转化为两个复数的相加运算。我们还可以在相量图上直观地来分析两个正弦量的相量相加的意义。电流i1与i2的相量、示于图3-3-3中。图 3-3-3当时相量处于初始位置。按两个相量相加的平行四边形法则，作与的合成相量，如图3-3-3b所示。由图可见在虚轴上的投影即为与相量在虚轴上的投影值之和，合成相量在虚轴上的投影即为的瞬时值。经过时刻，相量与都沿着逆时针方向旋转了角度，如图3-3-3a所示，由于与的相对位置没有变化，因此其合成相量的长度也没有变化。与时刻相比，也逆时针旋转了相角。此时与在虚轴上的投影值之和仍等于合成相量在虚轴

6、上的投影。在任意时刻都可以用合成相量在虚轴的投影来表示与的投影之和。相量在虚轴的投影即为该相量对应的正弦函数的瞬时值，这样两个正弦函数瞬时值相加之和就等于合成相量所表示的正弦函数瞬时值，从而把三角函数运算变成为相量相加减的复数运算。必须指出，只有同频率的正弦量才可以进行相量运算。图 3-3-4例3-3-1 在图3-3-4中，已知，试求总电压u的值。解：根据基尔霍夫定律有，用相量来表示则，已知，则可求得总电压u的瞬时表达式为3-4 正弦交流电路中的电阻元件电阻元件两端的电压与通过它的电流之间关系受欧姆定律约束。当正弦电流流过电阻R时，如图3-4-1所示，选定电压与电流的参考方向一致，则根据欧姆定

7、律有 （3-4-1）若选电流i为参考正弦量，则，代入上式有电流与电压的波形示于图3-4-1中。由上可见，当流过图 3-4-1电阻的电流为正弦函数时，电阻上的电压是与电流同频率的正弦量。电流与电压同相位，它们的有效值也服从欧姆定律，即 （3-4-2）如果用相量形式来表示，则有 （3-4-3）上式是复数形式的欧姆定律表达式。该式同时表述了电阻元件上正弦电压与电流之间的相位关系和有效值关系。根据式（3-4-3），可画出电压、电流的相量图，如图3-4-1所示。3-5 正弦交流电路中的电感元件线性非时变电感元件是电路中一种重要和基本的元件，在实际电路中经常遇到由导线绕制而成的电感线圈。当电流通过自感为L

8、的线性电感元件时，若取电感元件两端电压与电流的参考方向一致，如图3-5-1所示，则由楞次定律知，电流与电压之间的关系式为 （3-5-1）式中，L为电感值，单位为亨利（H）。图 3-5-1当通过电感的电流为正弦交流电流时，即，代入上式可得电感元件两端的电压为 （3-5-2）由上式可见，电感端电压是与同频率的正弦量，电压的相位超前电流周期，即或。从式（3-5-2）可得，电感电流的有效值与电感端电压的有效值之间有关系式 （3-5-3）式中，叫做电感线圈的自感电抗，简称感抗，它和电阻具有相同的量纲。当电感L的单位取H，角频率的单位取时，感抗的单位为。感抗一般用字母表示，即 （3-5-4）例3-5-1

9、一个电阻可忽略的线圈，其电感数值为，设流过电流，频率，问线圈电压为多少？若电流频率，重求线圈端电压。解：设电流相量，当频率时，感抗由式3-5-5可得电压向量则有。当频率时，感抗，电压向量，电压瞬时式。3-6 正弦交流电路中的电容元件线性非时变电容元件C两端加上交流电压时，电容中就将有电流流过。若取电容元件支路的参考方向与电压的参考方向一致，如图3-6-1所示，则有 （3-6-1）当所施加的电压为正弦交流电压时，电容电流为 （3-6-2）电容元件上的电压与电流的变化波形见图3-6-1。图 3-6-1由上分析可得，电容上电压与电流为同频率的正弦量，电流在相位上超前电压。从波形图上可看出，当电容电压过零值时，电压的变化率最大，此时流过电容的电流幅值达到最大振幅值。而当电容电压达到最大幅值时，其电压变化率为零，此时通过电容的电流值也为