柯西中值定理

1、2柯西中值定理和不等式极限一 柯西中值定理 定理(6.5) 设 、满足(i) 在区间 上连续，(ii) 在 内可导(iii) 不同时为零;(iv) 则至少存在一点 使得 柯西中值定理的几何意义 曲线 由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，则 上存在一点 P处的切线平行于割线 .。 注意曲线 AB在点 处的切线的斜率为 ，而弦 的斜率为 . 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证 满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理，至少有一点 使得 ，即 由此得注2：在柯西中值定理中，取 ，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，

2、而在拉格朗日中值定理中令 ，则 . 这恰恰是罗尔定理.注3:设 在区间 I上连续，则 在区间 I上为常数 ， . 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性1、利用其几何意义要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题： 例1：设 在 （a ，b） 可导，且在 a，b 上严格递增，若，则对一切有 。证明：记A（），对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以，从而注意到，移项即得， 2、利用其有限增量公式要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式进行思

3、考解题：例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得证：上式左端作辅助函数则上式=，=，其中 3、作为函数的变形要点：若在a，b上连续，（a，b）内可微，则在a，b上 （介于与之间）此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。例3 设在上可导，并设有实数A0，使得在上成立，试证证明 ：在0，上连续，故存在 使得 =M于是M=A。故 M=0，在0， 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切（ i=1,2,）上恒有=0, 所以=0, 。利用柯西中值定理研究函数的某些特性 1. 证明中值点的存在性: 例 1 设函数在区间 上连续, 在 内可导, 则 , 使

4、得.证 在Cauchy中值定理中取 .例2设函数在区间 上连续, 在 内可导, 且有.试证明: .2.证明恒等式: 例3证明: 对, 有 .例4设函数和可导且又 则 .证明 . 例5设对, 有 , 其中是正常数. 则函数是常值函数. (证明 ).3.证明不等式: 例6证明不等式: 时, .例7证明不等式: 对，有.4.证明方程根的存在性: 证明方程 在 内有实根.例8证明方程 在 内有实根.四 、小结本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅助函数解决问题的方法。1 拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是罗尔定理，它的

5、推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。2 构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三部分的题目仔细体会总结。二 不定式的极限 一. 型:定理 6.6 (Hospital法则 ) 若函数 和满足：(i) (ii) 在点 的某空心邻域内而这可导，且；(iii) 可为实数，也可为 ）则 ( 证 ) 注意: 若

6、将定理中的x 换成 ，只要相应地求证条件(ii)中的邻域，也可以得到同样的结论。例1 例2 .例3 . ( 作代换或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 . ( Hospital法则失效的例 )二.型不定式 极限:定理 6.7 (Hospital法则 ) 若函数 和满足：(i) (ii) 在点的某右邻域内二这可导，且；(iii) 可为实数，也可为 ）则 例5.例6 .註: 关于当时的阶. x=5:0.1:50; y1=log(x);y2=x.(1/2); plot(x,y1,b,x,y2,m) 右图看出 高于 clf, x=1:0.1:5; y1=exp(x); y2=x.2;plot(x,y1,b,x,y2,m) 右图看出 高于 注意1 不存在，并不能说明 不存在（为什么？）注意2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定