2002川大高等代数及答案

1、2002川大高等代数及答案 四川大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试题一、(本题满分24分，每小题8分) 解答下列各题.51. 证明多项式f (x ) =x -5x +1在有理数域Q 上不可约.证明：由s a n =1、r a 0=1，又(s , r ) =1r有的可能值为1，带入验证有f (1) =-3、f (-1) =5s故f (x ) 不含有理根，则f (x ) 只能分解为二次多项式和三次多项式的乘积232232有f (x ) =(x +a 1x +1)(x +b 1x +c 1x +1) 或f (x ) =(x +a 2x -1)(x +b 2x +c 2x -1)a 1+b 1=

2、0a 2+b 2=0a b +c +1=0a b +c -1=0111222得方程a 1c 1+b 1+1=0和a 2c 2-b 2-1=0，两方程无解a 1+c 1+5=0a 2+c 2-5=05故f (x ) =x -5x +1在有理数域Q 上不可约 22. 设A 为n 阶方阵且A +A =2E . 其中E 为n 阶单位矩阵. 证明：r (A -E ) +r (A +2E ) =n ，其中r (A ) 表示矩阵A 的秩.证明：r (A -E ) +r (A +2E ) =r (E -A ) +r (A +2E ) r (E -A ) +(A +2E )=r (3E ) =n 即r (A -

3、E ) +r (A +2E ) n 2由A +A =2E ，得(A -E )(A +2E ) =O有A +2E 的列向量全部是方程(A -E ) X =的解，有r (A +2E ) n -r (A -E ) 即r (A -E ) +r (A +2E ) n 由、，得r (A -E ) +r (A +2E ) =n23. 设n 维线性空间V 上的线性变换T满足：T=T. 证明：T+E可逆，其中E为恒等变换.证明：取V 的一组基1, 2, , n令T在这组基下的矩阵为T ，有T+E在这组基下的矩阵为T +E2由T =T ，得T 的特征值为1、0，有T +E 的特征值为2、1，则T +E 0故T +

4、E 可逆，则T+E可逆-13-102002A 二（本题满分12分）设A =，求. 2116+1310=(-1)(-2) =0 ，有A 的特征值为1、2 解：E -A =-21-1410=当=1时，有E -A =-21-00基础解系有n -r (E -A ) =1个向量构成，1=(5, -7)151010=当=2时，有2E -A =-21-00基础解系有n -r (2E -A ) =1个向量构成，2=(2, -3)-12002-1=P -1A 2002P =2002 令可逆矩阵P =(1, 2) ，有P AP =，有(P AP )2002A 有20035213215-72=P 2002P -1=

5、20022002-7-32-7-5-21+21210-522003-14+1522002 三、（本题满分12分）设V 是数域F 上的三维线性空间. 证明：不存在V 的线性变换T使01-2110-12-2B =011A =得T在V 的两组基下的矩阵分别为：和 001001证明：反证法，设存在这样的矩阵A 、B .由A 、B 为同一线性变换T在V 的两组基下的矩阵，则有A B -1022=(-1) 3，有A 的特征值为1、1、1 -11-121-12000 0E -A =1-2当=1时，有E -A =1-12=00000故特征值1对应n -r (E -A ) =2个线性无关的特征值向量 -1E -

6、B =0 -10-1=(-1) 3，有B 的特征值为1、1、1 -0-10-1 0-1 当=1时，有E -B =0000故特征值1对应n -r (E -B ) =1个特征向量 由、与A B 矛盾，则假设矛盾故不存在V 的线性变换T使得T在V 的两组基下的矩阵分别A 、B4443四(本题满分12分) 设, , 是三次方程x +3x -1=0的根，求+的值.4444解：令x 1=、x 2=、x 3=，x 1+x 2+x 3的首项为x 1，有x 14322x 20121x 300010-00-00-014-0234=141-00-00-013-1234=122=132-22-00-00-012342

7、-11-11-00-0123422 444422有x 1+x 2+x 3=1+a 12+b 2+c 13取x 1=1、x 2=1、x 3=0，有1=2，2=1，3=0 有4a +b =-14 取x 1=1、x 2=2、x 3=0，有1=3，2=2，3=0 有18a +4b =-64 取x x ，有121=2=x 3=11=C 3=3，2=C 3=3，有9a +3b +c =-26 由、，得a =-4、b =2、c =4有x 4444221+x 2+x 3=1-412+22+413由方程x 3+3x -1=0根与系数的关系得，1=0、得4+4+4=18 五、（本题满分16分）利用正交变换将实二次

8、型f (x 1, x 2, x 3) =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3化为标准形. 并写出相应的正交变换和标准形.01122解：二次型矩阵为A =1201211 220C 33=3=12=3、3=1E -A =-121-2-1212-1-12111-=-222-001211-=(+) 2(-1)221+2-11A 的特征值为-、-、122111-22211-E -A =000当=-时，有22000-1n -r (-E -A ) =2个线性无关的向量构成，1=(1, -1, 0) 、2=(1, 0, -1) 基础解系由21当=1时，有-E -A =-121-212121-111-221

9、3-=024001-123-4 0-基础解系由n -r (E -A ) =1个向量构成，3=(1, 1, 1) 把1、2、3正交化1=1=(1, -1, 0) 2=2-(2, 1) 1111=2-1=(, , -1)(1, 1) 222(3, 1) (3, 2)3=3-1-2=3=(1, 1, 1)(1, 1) (2, 2)1=1236113=(1, -1, 0) 、2=2=(, , -1) 、3=(1, 1, 1) 1222223312122f (x , x , x ) =-y -y +y C =(, , ) 令正交矩阵123123 123，有X =CY ，即有22-1六、（本题满分12分，

10、每小题6分）设A 、B 是n 阶实正交矩阵， t 为矩阵A B 的特征根-1的重数. 证明：（1）det(AB ) =1的充要条件是t 为偶数. （2）A +B 的秩r (A +B ) =n -t .证明：（1）由A 、B 是n 阶实正交矩阵，有AB (AB ) =ABB A =E ，则AB 为实正交矩阵-1-1由AA =E ，得A =A ，即A B =A B由A 与A 对应相同的特征值，则AB 与A B 对应相同的特征值-1有det(AB ) =det(A B ) =det(A B )实正交矩阵的特征值只能是1和-1 故det(AB ) =1n -t(-1) t =(-1) t ，则有det

11、(AB ) =1的充要条件是t 为偶数-1-1（2）由A 可逆，有r (A +B ) =r A (A +B )=r (E +A B ) =n -t 七、（本题满分12分）设1, 2, , m 为欧氏空间V 的一组线性无关向量，而1, 2, , m 和1, 2, , m 为V 的两组正交向量组. 假设对每个1i m ，i 和i 均可以由1, 2, , i 线性表出. 证明：存在m 个实数a 1, a 2, , a m 使得i =a i i 1i m .证明：令W =L (1, 2, , m ) V取W 两组标准正交基1, 2, , m 、e 1, e 2, , e m有(1, 2, , m )

12、=(1, 2, , m ) 1、(e 1, e 2, , e m ) =(1, 2, , m ) 2 则1、2为对角矩阵，有1、2为对角矩阵-1-11(1, 2, , m ) =(e 1, e 2, , e m ) A ，有(1, 2, , m ) =(1, 2, , m ) 2A -1 则A 为正交矩阵由i 和i 均可以由1, 2, , i 线性表出，有(1, 2, , m ) =(1, 2, , m ) B 、(1, 2, , m ) =(1, 2, , m ) C-1则B 、C 为上三角矩阵，有C B 为上三角矩阵-1有(1, 2, , m ) =(1, 2, , m ) C B -1-1-1-1由、，得2A 1=C B ，则A =2C B 1