《平行四边形的认识》复习导航

1、平行四边形的理解复习导航平行四边形以及由它衍生而来的特殊平行四边形是继三角形后同学们接触到的第二类封闭图形它既是平面几何的基本图形，又是平面几何研究的主要对象为协助同学们把握好平行四边形的理解一章的相关知识及其使用，现就以下六个方面实行回顾与总结一、课标要求1、进一步通过使用图形的变换，探索图形特征与性质，体验数学发现的过程，并得出准确的结论2、在对平行四边形的原有理解基础上，掌握平行四边形的性质，学会一些简单的应用3、探索并掌握几种特殊的平行四边形的概念和各自所具有的特殊性质，并学会对这些特殊性质的简单应用4、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系5、在观察、操作、推理

2、、归纳等探索过程中，发展合情推理水平，进一步培养自己的说理习惯与水平二、四边形的“全家福”三、重点、难点与考点透视本章的重点是：平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形的概念与性质；掌握其概念与特征，并能应用这些知识是学好本章的关键难点是：平行四边形与各种特殊的平行四边形之间的联系与区别为掌握重点，突破难点，同学们在复习时，要纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵；依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的特征和性质，并注意对问题的观察、分析与总结中考热点：本章内容是中考重点之一，如平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质，以及使用这些知识解

3、决实际问题中考中常以选择题、填空题、解答题和证明题等形式表现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、动点问题、折叠问题等，这都成了热点题型，应引起同学们高度注重四、知识要点总结1、平行四边形（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）平行四边形的性质 平行四边形的邻角互补，对角相等；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积；两平行线间的距离处处相等 2、矩形 （1）矩形的定义

4、有一个内角是直角的平行四边形是矩形 （2）矩形的性质 具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形；又是中心对称图形 3、菱形 （1）菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 （2）菱形的性质 具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形 4、正方形 （1）正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形 （2）正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边

5、形、矩形、菱形的一切特征 边：四边相等、邻边垂直、对边平行；角：四角都是直角；对角线：相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；是轴对称图形，有4条对称轴，又是中心对称图形 5、梯形 （1）梯形的定义与性质： 一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形；梯形是特殊的四边形，具有四边形所具有的一切性质，此外它的两底平行（2）等腰梯形的定义与性质：两腰相等的梯形是等腰梯形；等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴） （3）直角梯形 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形（ 4）解决梯形问题的常用方法（如

6、下图所示）： “作高”：使两腰在两个直角三角形中“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题三角形或平行四边形问题， 这种思路常通过平移或旋转来实现 五、思想方法小结1 、转化思想（又叫化归思想） 化归思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面： （1） 四边形问题转化为三角形问题来处理（2） 梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理2 、代数法（计算法） 代数

7、法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法3 、变换思想 即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题 六、典型例题解析例1 如图，已知平行四边形ABCD，AE平分DAB交DC于E，BF平分ABC交DC于F，DC=6cm，AD=2cm，求DE、EF、FC的长解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB/CD，AD=BC（平行四边形的对边平行且相等），所以1=2（两直线平行，内错角相等），又因为AE平分DAB，所以1=3，所以2=3，所以DA=DE=2cm

8、（等角对等边）同理BC=CF=2cm所以EF=DCDECF=6 cm 2 cm 2 cm =2 cm小结：如果已知图形是平行四边形，首先根据平行四边形的定义得出四边形的对边平行，再由平行四边形的特征对边平行且相等，得出角之间的相等关系；若有角平分线，就可构造等腰三角形，由此沟通边与角之间的相等关系，这种方法在以后的解题中经常用到，请同学门注意例2如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，E、F分别为AD、BC的中点， 且EFBC求证：B=C分析：要证B=C，可把它们转移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质，证明这个问题证明：过E作EMAB、ENCD，交BC于M、N，得平行四边形ABME

9、和平行四边形NCDE于是AEBM，DECN E、F分别为AD、BC的中点， AEDE，BFCF BMCN，FMFN又 EFBC， EMEN，12 ABEM，CDEN， 1B，2C BC小结：在梯形中，若已知有关腰的条件，一般平移腰，产生三角形和平行四边形，使分散的条件集中起来，为解决问题创造条件，这是梯形中作辅助线的常用方法 例3 如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个更小的正方形，如此剪下去根据以上操作方法，请你填写下表操作次数n12345 n正方形个数4710解析：仔细观察图形和表中数字规律可知：n4时，正方形个数为

10、13；n5时，正方形个数为16；当操作次数为n时，正方形个数为3n1小结：这是一道信息探究题，观察图形与数字，探索出正方形个数与操作次数之间的关系：每剪一次，都要比上一次多出3个正方形是解题的关键例4 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线ABCD以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？ 解析：观察图形，当PA=DQ时，由AP/DQ，A=90，可得四边形APQD是矩形依题意有4t=20t，所以t=4

11、（s）即当t为4s时，四边形APQD是矩形小结：要学会用代数法解几何问题例5 如右图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按要求设计成四个部分 （1）用直线分割； （2）每个部分内各有一个景点； （3）各部分的面积相等（只要求画图正确，不写画法）解析 答案不唯一，有多种画法，只要符合条件即可，如右图小结：特殊四边形的知识在实际生活中随处可见其应用，解决问题时要充分考虑其图形的性质例6 如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分ADC交BC于E，BDE15，试求COE的度数 解析：由“四边形ABCD是矩形，DE平分ADC”知CDECED45，又BDE15，所以CDO60，由矩

12、形的特征“对角线互相平分”可知，ODOC，故OCD是等边三角形，从而有OCODCE，DCO60，OCE30，进而求得COE（180OCE ）75小结：矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上（四个角都是直角），结合角平分线、等腰三角形和三角形内角和的特征，是解决求角度问题的基本方法和途径例7 如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由解析：BG

13、DE，BGDE；理由是：延长BG交DE于点H，由题知，把DCG绕点C顺时针旋转90，与DCE重合，所以BGDE，GBCCDE由于CDECED90，所以GBCDEC90，得BHE90（2）上述结论也存在理由：设BG交DE于H，BG交DC于K，把BCG绕点C顺时针旋转90，使之与DCE重合，得BGED，KBCKDH又因为KBCBKC90，可得DKHKDH90，从而得KHD90小结： 综合利用正方形和旋转的性质是解决本题的关键例8 阅读下面操作过程，回答后面的问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图（1），小刚过AB，CD的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图（2）（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：S1_S2，S3_S4；（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_条，请在图（3）的平行四边形中画出一种；（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？解析：读完两位同学的两种分割方法后不难发现第（1）问中两个面积都相等；第（2）、（3）小问就要在解决前面问题的基础上总结出一般性的结论若把能够等分平行四边形面积的一些直线都