高一数学人教A版必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

1、2.2 平面向量的线性运算 2.2.3向量数乘运算及其几何意义,明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题,明目标、知重点,1.向量数乘运算：实数与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下： (1)|a,向量,填要点记疑点,2)a(a0)的方向,特别地，当0或a0时，0a 或0,数乘,a,a,0,0,0,

2、0,2.向量数乘的运算律 (1)(a) . (2)()a . (3)(ab) . 特别地，有()a ； (ab),a,aa,ab,a,a,ab,3.共线向量定理：向量a (a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使 . 4.向量的线性运算：向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b),ba,加,减,数乘,1a2b,探要点究所然,情境导学,引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现.如力与加速度的关系Fma，位移与速度的关系svt.这些公式都是实数与向量间的关系,师：我们已经学习

3、了向量的加法，请同学们作出aaa和(a)(a)(a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？ 生： aaa的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，(a)(a)(a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反. 师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题,探究点一向量数乘运算的物理背景,思考1一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何,答,3v与v的方向相同，|3v|3|v,思考2已知非零向量a，作出aaa和(a)(a)(a)，你能说明它们与向

4、量a之间的关系吗,答,a)(a)(a)3a,思考3一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作a，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？ 答a仍然是一个向量. (1)|a|a|； (2)0时，a与a方向相同； 0时，a与a方向相反； 0时，a 0.方向任意,探究点二向量数乘的运算律,思考1根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？ 答设，R，则有 (a)()a； ()aaa； (ab)ab,思考2向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的第条运算律吗？ 答(a)()a(，R). 如果0或0或a0，则

5、式显然成立； 如果0，0，a0，则由向量数乘的定义有 |(a)|a|a|， |()a|a|a|， 故|(a)|()a,如果、同号，则式两边向量的方向都与a同向；如果、异号，则式两边向量的方向都与a反向. 因此，向量(a)与()a有相等的模和相同的方向，所以(a)()a,例1计算： (1)(3)4a； (2)3(ab)2(ab)a； (3)(2a3bc)(3a2bc). 解(1)原式(34)a12a； (2)原式3a3b2a2ba5b； (3)原式2a3bc3a2bca5b2c,反思与感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指

6、向量，实数看作是向量的系数,跟踪训练1计算： (1)6(3a2b)9(2ab,解原式18a12b18a9b3b,3)6(abc)4(a2bc)2(2ac,解原式6a6b6c4a8b4c4a2c (6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b,思考1请观察amn，b2m2n，回答a、b有何关系？ 答因为b2a，所以a、b是平行向量. 思考2若a、b是平行向量(a0)能否得出ba？为什么？ 答可以.因为a、b平行，它们的方向相同或相反,探究点三共线向量定理及应用,小结由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使ba.对此定理的证明，是

7、两层来说明的： 其一，若存在实数，使ba，则由实数与向量乘积定义可知b与a平行，即b与a平行. 其二，若b与a平行，且不妨令a0，设 |b| |a| (这是实数概念).接下来看a、b方向如何：a、b同向，则ba，若a、b反向，则记ba，总而言之，存在实数(或)使ba,例2已知e1，e2是不共线的向量，a3e14e2，b6e18e2，则a与b是否共线？ 解若a与b共线，则存在R，使ab， 即3e14e2(6e18e2)， 所以(36)e1(48)e20,所以不存在， 所以a与b不共线,反思与感悟(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可

8、以根据共线求参数的值. (2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线,跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线,2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值,解ke1e2与e1ke2共线， 存在，使ke1e2(e1ke2)， 即(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线,探究点四三点共线的判定,令1，则,观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线,反思与感悟本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数，使ab，先证向量共线，再证三点共线,10e115e2,当堂测查疑缺,1,2,3,4,

9、1.化简： (1)8(2abc)6(a2bc)2(2ac,解原式16a8b8c6a12b6c4a2c (1664)a(812)b(862)c6a4b,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,4.已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2不共线，向量c2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量dab与c共线？ 解d(2e13e2)(2e13e2) (22)e1(33)e2， 要使d与c共线，则应有实数k，使dkc， 即(22)e1(33)e22ke19ke2,1,2,3,4,故存在这样的实数、，只要2，就能使d与c共线,呈重点、现规律,1.实数与向量可以进行数乘运算，但