北师版高中数学必修一第5讲：函数的单调性（学生版）

1、函数的单调性_1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用；一、函数单调性的定义1、图形描述：对于函数的定义域I内某个区间D上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递减函数。2、定量描述对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，（1）若当时，都有,则说在区间D上是增函数；（2）若当时，都有,则说在区间D上是减函数。3、单调性与单调区间若函数=在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函

2、数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当时是增函数，当时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。二、用定义证明函数的单调性：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：1、取量定大小：即设是区间上的任意两个实数，且；2、作差定符号：即

3、，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； 3、判断定结论： 即根据定义得出结论。三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论1、函数与函数的单调性相反2、当恒为正或恒为负时，函数与函数的单调性相反3、在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数。四、复合函数单调性的判断 对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表： 增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同增异减”。类型一用定义证明函数的单调性例1：证明：函数f(x)2x24x在(，1上是减函数练习1：

4、证明函数f(x)在定义域上是减函数 练习2：(20142015学年度宁夏育才中学中学高一上学期月考)设函数f(x)=x+2x+1,用单调性定义证明在（-1，+）上是减函数。类型二 证明含参数的函数的单调性例2：已知函数f(x)(a为常数且a0)，试判断函数f(x)在(1,1)上的单调性练习1：判断函数f(x)(a为常数且a0)在(0，)上的单调性练习2：判断函数在上的单调性类型三 证明抽象函数的单调性例3：已知函数yf(x)在(0，)上为增函数，且f(x)0)，试判断F(x)在(0，)上的单调性，并证明 练习1：已知函数yf(x)在(0，)上为减函数，且f(x)0)，试判断F(x)f (x)在

5、(0，)上的单调性，并证明练习2：(20142015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数f(x)x2x3在1，)的单调性为_类型四 求函数的单调区间例4：求函数yx，x(0，)的单调区间，并画出函数的大致图象练习1：求函数f(x)的单调区间练习2：函数的单调递减区间是 类型五 利用单调性解不等式例5：已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(a21)，求a的取值范围练习1：已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围练习2：函数f(x)在(，)上是减函数，且a为实数，则有()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a21)f(a)

6、Df(a2a) BaCa Da0B(x1x2)f(x1)f(x2)0Cf(a)f(x1)f(x2)04(20142015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)x22ax3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围是()Aa4 Da45若函数f(x)在区间(a，b上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上()A必是增函数 B必是减函数C是增函数或是减函数 D无法确定单调性6(20142015学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列函数在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x|By32xCy Dyx24x3函数y|x|在(0,1)上是增函数7(20142015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)函数