模糊数学教学课件

1、1,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。 此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画,2,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品,共同特点：模糊概念的外延不清楚,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法,模糊数学绪论,3,产生,1965年，L.A. Zadeh（

2、扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353,基本思想,用属于程度代替属于或不属于,某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于,秃子的程度为0.3等,模糊数学绪论,4,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐,模糊数学绪论,5,模糊数学绪论,课堂主要内容,一、基本概念,二、主要应用,1.

3、模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类,模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵,例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类,6,2.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型,模糊数学绪论,例如：苹果分级问题 苹果，有I级，II级，III级，IV级四个等级。 现有一个具体的苹果，如何判断它的级别,7,3.模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价,模糊数学绪论,例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价 从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面 给出很好，较好，一般，不好四层次的评价

4、 最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何,4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解,8,模糊数学,9,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素,模糊集合及其运算,10,u,A,A,u,模糊集合及其运算,11,其中,函数 称为集合A的特征函数,模糊集合及其运算,非此及彼,12,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合,元素 x,若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部,则用,x 位于 A

5、 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度,13,0, 1,0, 1,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,14,模糊集合及其运算,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大,0.5,最具有模糊性，过渡点,15,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有,1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是,如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,16,3）向量表示法,2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为,模糊集合及其运算,17,例1. 有100名消费者，对5种商品 评价,结果为,81人认为x1 质量好

6、，53人认为x2 质量好,所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好,则模糊集A（质量好,18,例2：考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集， u = 20 A，40 呢？札德给出了 “年老” 集函数刻画,1,0,U,50,100,19,再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数,1,0,25,50,U,20,则模糊集O（年老,则模糊集Y（年轻,21,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等,包含,并,交,余,模糊集合及其运算,22,例3,模糊集合及其运算,则,

7、0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,23,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 吸收律,24,模糊集合及其运算,6. 0-1律,7. 还原律,8. 对偶律,5. 分配律,25,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素,模糊集合及其运算,26,特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动,模糊统计试验过程,1）做n次试验，计算出,模糊集合及其运算,27,模糊集合及其运算,对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间,问年龄 27属于模糊集A（青年人）的隶属度,28,对年龄27作出如下

8、的统计处理,A(27) = 0.78,29,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型,例如：在论域 中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,30,模糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的，比如,此时有,不太合理，故改变,31,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善,32,3、其它方法,模糊集合及其运算,33,模糊集合及其运算,四、模糊矩阵,例如,34,1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等,包含,模糊集合及其运算,并,交,余,35,例4,模糊集合及其运算,36,2）模糊矩阵的合成,定义：设 称

9、模糊矩阵,为A与B的合成，其中,模糊集合及其运算,即,定义,设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为,37,例5,模糊集合及其运算,38,3）模糊矩阵的转置,模糊集合及其运算,性质,39,4）模糊矩阵的 截矩阵,显然，截矩阵为Boole矩阵,模糊集合及其运算,40,例6,模糊集合及其运算,41,若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、 西周、春秋、战国,若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、春秋,- 截集,42,截矩阵的性质,性质1,性质2,性质3,性质4,模糊集合及其运算,43,下面证明性质1： AB A B,证： AB aijbij； 当 aijbij时， aij() =bij() =

10、1； 当aij bij时， aij() =0, bij() =1； 当aijbij时， aij() = bij() =0； 综上所述aij()bij()， 故A B,44,证明性质3,设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij() =1 cij (aikbkj,k, (aikbkj) k, aik , bkj k, aik() =bkj() =1 (aik()bkj()=1,cij() =0 cij (aikbkj,k, (aikbkj) k, aik 或 bkj k, aik() =0或bkj() =0 (aik()bkj()=0,所以, cij()

11、=(aik()bkj(,A B ) = A B,45,5）特殊的模糊矩阵,定义：若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵,例如,是模糊自反矩阵,定义：若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵,例如,是模糊对称矩阵,模糊集合及其运算,46,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵满足,则称A为模糊传递矩阵,例如,是模糊传递矩阵,47,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵Q，S，A满足,则称 S 为 A 的传递闭包，记为 t (A,48,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,49,模糊聚类分析,定理,R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Boole矩阵,意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵， 可以得到有限论域上的普通等价

12、关系，而等价关系是可以分类的。因此，当在0,1上变动时，由 得到不同的分类,50,模糊聚类分析,51,例6：设对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,52,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下,0.8,0.6,0.5,0.4,1,53,模糊聚类分析,54,例7：设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,55,二、模糊聚类的一般步骤,建立数据矩阵,模糊聚类分析,56,1）标准差标准化,模糊聚类分析,57,2）极差正规化,3）极差标准化,模糊聚类分析,58,建立模糊相似矩阵（标定,1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,59,2）距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模糊聚

13、类分析,60,3）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,61,3、聚类并画出动态聚类图,1）模糊传递闭包法,步骤,模糊聚类分析,62,模糊聚类分析,63,解,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,64,用最大最小法构造 模糊相似矩阵得到,模糊聚类分析,65,用平方法合 成传递闭包,66,取 ，得,模糊聚类分析,67,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,68,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,69,画出动态聚类图如下,模糊聚类分析,70,2) 最大树法 由我国吴望名教授提出, 设R是有限论域X上的模糊关系, 称二元有序组G=(X,R)

14、为模糊关系图. 给定X上的模糊关系R后, 可根据Kruskal法得到图G=(X,R)的一棵最大树, 具体做法如下,71,先画出被分类的元素集. 从R中按rij从大到小的顺序依次连枝,标上权重. 若在某一步会出现回路,便不画那一步. 直到所有元素连通为止,这样便得到一棵最大树. 取定0,1，砍断权重低于的枝, 就可得到一个不连通的图, 各连通分支就构成了在水平上的分类. 这种模糊聚类方法叫做最大树法,72,73,3) 编网法 由我国赵汝怀教授提出,它是直接由模糊相似矩阵R 出发，经过“编网”直接完成聚类的。 具体做法是：取定水平0，1，求得截矩阵 R，并将R的主对角线上填入元素，在主对角线的 下

15、三角部分，以“*”号代替R中的“1”，而“0” 则略去。由“*”号向主对角线上引经线（竖线） 和纬线（横线），即称之为“编网”，凡能由经线 和纬线互相连结的元素则属于同类。(上例,74,模糊聚类分析的简要流程,75,4、最佳阈值的确定,模糊聚类分析,1） 按实际需要，调整 的值，或者是专家给值,2） 用 F - 统计量确定最佳值,针对原始矩阵 X，得到,其中,设对应于 的分类数为 r,第 j 类的样本数为 nj,第 j 类的样本记为,76,则第j类的聚类中心为向量,其中， 为第k个特征的平均值,作F - 统计量,模糊聚类分析,77,模糊聚类分析,若是,则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著,

16、若满足不等式的 F 值不止一个，则可进一步考察,差值 的大小，从较大者中选择一个即可,其中,78,模糊模式识别,79,模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法,模糊模式识别,80,在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济

17、分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。 本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集,模糊模式识别,81,例1. 苹果的分级问题 设论域 X = 若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 = 级，级，级，级，显然，模型级，级，级，级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题,模糊模式识别,82,例2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。

18、设论域 X = 各种疾病的症候 (称为症候群空间) 。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库 = 心脏病，胃溃疡，感冒，显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题,模糊模式识别,83,点对集,1. 问题的数学模型 (1) 第一类模型：设在论域 X 上有若干模糊集：A1，A2，AnF ( X )，将这些模糊集视为 n 个标准模式，x0 X 是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai ( i =1，2， n ) ,2) 第二类模型：设

19、AF ( X )为标准模式，x1, x2, , xn X 为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi (i =1，2， n ) ,模糊模式识别,84,一最大隶属原则,最大隶属原则,最大隶属原则,模糊模式识别,85,模糊模式识别,86,例: 选择优秀考生。设考试的科目有六门 x1：政治 x2：语文 x3：数学 x4：理、化 x5：史、地 x6：外语 考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域 Y = y1, y2, , yn。设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi) 的计算方法如下,模糊模式识别,87,式中 i =1, 2,

20、 , n 是考生的编号，j =1, 2, ,6 是考试科目的编号， j 是第 j 个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则，就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。 例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有 四个考生 y1, y2, y3, y4，其考试成绩分别如表 3.4,模糊模式识别,88,表 3.4 考生成绩表,模糊模式识别,89,则可以计算出 于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为： y2, y4, y1, y3,模糊模式识别,90,例: 在论域X=0,100分数上建立三个表示学习成绩的模糊集A=“优”,B =“良”,C =“差”.

21、当一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类,A(88) =0.8,91,B(88) =0.7,92,A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0,根据最大隶属原则,88分这个成绩应隶属于A,即为“优,93,例: 论域 X = x1(71), x2(74), x3(78) 表示三个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？ C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2, 根据最大隶属原则， x1(71)最差,94,例: 细胞染色体形状的模糊识别,细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的 模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图 形,故设论域为三角形全体.即

22、 X=(A,B,C )| A+B+C =180, ABC 标准模型库=E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形), IR(等腰直角三形), T(任意三角形,95,某人在实验中观察到一染色体的几何形状， 测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别 对象为x0=(94,50,36). 问x0应隶属于哪一种三角形,96,先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数,直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列约束条件： (1) 当A=90时, R(A,B,C)=1; (2) 当A=180时, R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1,因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 -

23、 |A - 90|/90. 则R(x0)=0.955,97,正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约束条件,1) 当A = B = C = 60时, E(A,B,C )=1; (2) 当A = 180, B = C = 0时, E(A,B,C)=0; (3) 0E(A,B,C)1,因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.则E(x0) =0.677,98,等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约束条件,1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1; (2) 当A = 120, B = 60, C = 0时, I(A,B,C ) = 0; (

24、3) 0I(A,B,C )1,因此，不妨定义 I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60. 则I(x0) =0.766,99,等腰直角三角形的隶属函数 (IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C,IR) (x0)=0.7660.955=0.766,任意三角形的隶属函数 T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c,T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045,通过以上计算,R(x0) = 0.955最大,所以x0应隶属于直角三角形,100,阈值原则,模糊模式识别,有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的

25、元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下,101,模糊模式识别,102,例如 已知 “青年人” 模糊集 Y，其隶属度规定为 对于 x1 = 27 岁及 x2 = 30 岁的人来说，若取阈值,模糊模式识别,103,1 = 0.7,模糊模式识别,故认为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人” 范畴,则因 Y(27) = 0.862 1,而 Y(30) = 0.5 1,故认为 27 岁的人尚属于“青年人

26、” ，而 30 岁人的则不属于“青年人”,若取阈值 2 = 0.5,则因 Y(27) = 0.862 2,而 Y(30) = 0.5 = 2,104,模糊模式识别,集对集,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,105,在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问 A 属于哪个 Ai (i

27、 = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问题 集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度,106,1. 距离判别分析 定义 设 A、B F ( X )。称如下定义的dP(A, B) 为 A 与 B 的 Minkowski (闵可夫斯基) 距离 (P1)： ) 当 X = x1, x2, , xn 时， ) 当 X = a, b 时,模糊模式识别,107,特别地， p=1 时，称 d 1(A, B) 为 A 与 B 的 Hamming (海明) 距离。 p=2 时，称 d2(A, B) 为 A 与 B 的 Euclid (欧几里德) 距离。 有时为了方便起见，须限制模糊集的

28、距离在 0, 1中，因此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ，相应有 (1) 相对 Minkowski 距离,模糊模式识别,108,2) 相对 Hamming 距离,模糊模式识别,109,3) 相对 Euclid 距离,模糊模式识别,110,有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下述条件： 当 X = x1，x2，xn 时，有 当 X = a, b 时，有 加权 Minkowski 距离定义为,模糊模式识别,111,加权 Hamming 距离定义为 加权 Euclid 距离定义为,模糊模式识别,112,例 欲将在 A 地生长

29、良好的某农作物移植到 B地或 C 地，问 B、C 两地哪里最适宜？ 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域 X = x1 (气温)，x2 (湿度)，x3 (土壤) 上的模糊集，经测定，得三个模糊集为,模糊模式识别,113,由于 dw1( A, B ) dw1( A, C )，说明 A，B 环境比较相似，该农作物宜于移植 B 地,模糊模式识别,设权重系数为 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。计算 A 与 B 及 A 与 C 的加权 Hamming 距离，得,114,2、贴近度,模糊模式识别,按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数,A

30、B,定义 设 A，B F (U)，称,为 A 与 B 的内积，称,为 A 与 B 的外积,115,比较，可以看出 AB 与 ab 十分相似，只要把经典数学中的内积运算的加 “+” 与乘 “ ” 换成取大 “” 与取小 “” 运算，就得到 AB,模糊模式识别,若 X =x1, x2, xn，记 A(xi) = ai，B(xi) = bi，则,与经典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量 b = b1, b2, bn 的内积,116,例 设 X =x1, x2, x3, x4, x5, x6, 则,A B,模糊模式识别,117,例 设 A，BF (R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶属

31、函数如图 3.33,模糊模式识别,118,由定义知AB 应为 max( AB ) ，隶属度曲线CDE 部分的峰值，即曲线 A(x) 与 B(x) 的交点 x* 处的纵坐标。为求 x*，令,解得,于是,类似地，由于,故 A B=0,模糊模式识别,119,模糊模式识别,表示两个模糊集A，B之间的贴近程度,或 L( A，B) = ( AB) ( A B)C,120,C,C,故B比A更贴近于,模糊模式识别,121,模糊模式识别,122,模糊模式识别,123,二、择近原则I,模糊模式识别,124,模糊模式识别,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，

32、汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,B,125,模糊模式识别,计算得,故茶叶 B 为 A1 型茶叶,126,蠓的分类,下图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼 长数据, 其中“”表示Apf,“”表示Af.根据 触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf 是重要的. 给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分 它属于哪一族？将你的方法用于触角长和翼 长分别为(1.24,1.80), (1.28,1.84), (1.40,2.04)三个标本,127,128,先将已知蠓重新进行分类,129,当 = 0.919时,分为3类1, 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8, 9,10, 11, 1

33、2, 13, 14, 15,三类的中心向量分别为(1.395, 1.770),(1.560, 2.080),(1.227, 1.927,A1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓), A2 = (0.390, 1.000) (Af 蠓), A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓,130,再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为,B1= (0.015, 0.672), B2 = (0.062, 0.719), B3 = (0.203, 0.953,采用贴近度,3 (A, B),131,计算得： 3(A1, B1) = 0. 89, 3(A2, B1) = 0.65, 3(A3,

34、 B1) = 0.92. 3(A1, B2) = 0.89, 3(A2, B2) = 0.69, 3(A3, B2) = 0.92. 3(A1, B3) = 0.84, 3(A2, B3) = 0.88, 3(A3, B3) = 0.83. 根据择近原则及上述计算结果,第一只待识别的蠓(1.24, 1.80)属于第三类,即Apf 蠓；第二只待识别的蠓(1.28, 1.84)属于第三类,即Apf 蠓；第三只待识别的蠓(1.40, 2.04)属于第二类,即Af 蠓,132,择近原则II,AiF(U),(i=1,2,n) Ai=(Ai1,Ai2,Aim) B=(B1,B2,Bm) Si=minD(B

35、1,Ai1),D(B2,Ai2),D(Bm,Aim) Si0=maxS1,S2,Sn B应归为第i0类,133,模糊决策,模糊集中意见决策 模糊二元对比决策 模糊综合评判决策,134,模糊集中意见决策,为了对论域U =u1, u2, , un中的元 素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分 别对U中的元素排序,得到m种意见： V =v1, v2, , vm, 其中vi 是第i 种意见序列,即U 中的元素的某 一个排序.若uj在第i 种意见vi中排第k位,则 令Bi(uj)=nk,称,135,为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是比较合理的,136,例:

36、 设U =a, b, c, d, e, f , |M|= m = 4人, v1: a, c, d, b, e, f v2: e, b, c, a, f ,d v3: a, b, c, e, d, f v4: c, a, b, d, e, f B(a)=5+2+5+4=16; B(b)=2+4+4+3=13; B(c)=4+3+3+5=15; B(d)=3+0+1+2=6; B(e)=1+5+2+1=9; B(f )=0+1+0+0=1; 按Borda数集中后的排序为： a, c, b, d, e, f,137,例 设有6名运动员U =u1, u2, u3, u4, u5, u6 参加五项全能比

37、赛, 已知他们每项比赛的成绩下： 200m跑 u1, u2, u4, u3, u6, u5； 1500m跑 u2, u3, u6, u5, u4, u1； 跳远 u1, u2, u4, u3, u5, u6； 掷铁饼 u1, u2, u3, u4, u6, u5； 掷标枪 u1, u2, u4, u5, u6, u3,138,B(u1)=5+0+5+5+5=20; B(u2)=4+5+4+4+4=21; B(u3)=2+4+2+3+0=11; B(u4)=3+1+3+2+3=12; B(u5)=0+2+1+0+2=5; B(u6)=1+3+0+1+1=6; 按Borda数集中后的排序为：u2,

38、 u1, u4, u3, u6, u5,139,若uj在第i 种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak，则令Bi(uj)= ak(n k )，称,为uj的加权Borda数,140,B(u1)=7, B(u2)=5.75, B(u3)=1.98, B(u4)=1.91, B(u5)=0.51, B(u6)=0.75. 按加权Borda数集中后的排序为： u1, u2, u3, u4, u6, u5,141,模糊二元对比决策,择优比较决策法： 例：假设要求有1000人在 X=红，橙，黄，绿，蓝 五种颜色中选优。在颜色论域上定义一个称作“最 佳颜色”的模糊集。下表就是一个评价调查表,142,143

39、,优先决策法,设论域X =x1, x2, , xn为n个被选方案,在 n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进 行比较,再将这种比较模糊化. 然后用模糊数学方法 给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj 作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求ri 满足 rii = 1(便于计算)； 0rij1； 当ij 时,rij + rji = 1. 这样的rij组成的矩阵R = (rij)nn称为模糊优先 矩阵, 由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系,144,优先决策法步骤,建立模糊优先关系 先两两进行比较，建立模糊优先矩阵R = (rij)nn. 排序方法： 隶属函数法：直接

40、对模糊优先矩阵进行适当的 数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再 根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优 劣次序.通常采用方法： 取小法：A(xi) =rij|1jn, i =1, 2, , n; 平均法：A(xi) =(ri1 + ri2 + + rin)/n, i =1, 2, , n,145,截矩阵法 即取定阈值,确定优先对象. 取定阈值0,1得-截矩阵R = (rij() )nn, 当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1 时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去 xk所在的行与列,得到一个新的n -1阶模糊优先矩阵,用同 样的方法获取的对

41、象作为第二优先对象；如此进行下去,可 将全体对象排出一定的优劣次序. 下确界法 先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对 应的xk是第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去xk所 在的行与列,得到一个新的n -1阶模糊优先矩阵,再以此类推,146,模糊综合评判,一级模糊综合评判,147,模糊综合评判,148,模糊综合评判,149,模糊综合评判,150,模糊综合评判,151,152,153,根据运算的不同定义，可得到以下不同模型,模糊综合评判,154,例如有单因素评判矩阵,则B(0.18, 0.18, 0.18, 0.18,155,模糊综合评判,156,模糊综合评判,157,其中,模糊综合评

42、判,158,例 ：“晋升”的数学模型. 以高校老师晋升教授为例：因素集U =政治表现 及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平, 评判集V=好,较好,一般,较差,差. 因素 好 较好 一般 较差 差 政治表现及工作态度 4 2 1 0 0 教学水平 6 1 0 0 0 科研水平 0 0 5 1 1 外语水平 2 2 1 1 1,159,给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分别用M(,)、 M( , )模型所作评判下：M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12,

43、0.12) M( , )： B = (0.6, 0.19, 0.13, 0.04, 0.04,160,模糊综合结论,最后通过对模糊评判向量B的分析作出综合结论一般可以采用以下三种方法： (1) 最大隶属原则 (2) 加权平均原则,评价等级集合为=很好，好，一般，差，各等级赋值分别为4，3，2，1,161,例：某地对区级医院20012002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用规定很好、好、一般、差的标准见表1，病人医疗质量各等级频数分布见

44、表2,162,表 1,163,现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价,164,1)据评价目的确定评价因素集合 评价因素集合为=疗效，住院日，费用 2)给出评价等级集合 如评价等级集合为=很好，好，一般，差 3)确定各评价因素的权重 设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即,165,4)2001年与2002年两个评价矩阵分别为,166,5)综合评价,167,168,169,实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收) 乙(两茬平作),丙(两年三熟) 3种方案,主要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩用工量，每

45、亩纯收入和对生态平衡影响程度共5项，根据当地实际情况，这5个因素的权重分别为0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,其评价等级如下表,170,经过典型调查，并应用各种参数进行谋算预测，发现3种方案的5项指标可达到下表中的数字，问究竟应该选择哪种方案,过程,因素集,权重,A（0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,评判集,171,建立单因素评判矩阵：因素与方案之间的关系可以通过建立隶属函数，用模糊关系矩阵来表示,172,173,174,175,176,多级模糊综合评判（以二级为例,问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面,模糊综合评判,177,二级模糊综合评判的步骤,模糊综

46、合评判,178,模糊综合评判,179,模糊综合评判,180,模糊综合评判,181,模糊综合评判,182,模糊综合评判,183,模糊综合评判,184,模糊综合评判,185,权重的确定方法,在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反 映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所 起的作用,它直接影响到综合决策的结果. 凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际 情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主 观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可“真,186,频数统计方法,对每一个因素uj ,在k个专家所给的权重aij中 找出最大值Mj和最小值mj ,即 Mj =maxaij|1 i k,

47、j =1, 2 , n; mj =minaij|1 i k, j =1, 2 , n. (2) 选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重 aij从小到大分成p组,组距为(Mj - mj)/p. (3) 计算落在每组内权重的频数与频率 (4) 取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作 为因素uj的权重. (5) 将所得的结果归一化,187,层次分析法（AHP,1、构造两两比较判断矩阵 在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所支配的下一 层元素为u1,u2,un对于准则C相对重要性即权重。这通 常可分两种情况： （1）如果u1,u2,un对C的重要性可定量（如可以使用 货币、重量等），其权重

48、可直接确定。 （2）如果问题复杂，u1,u2,un对于C的重要性无法直 接定量，而只能定性，那么确定权重用两两比较方法。其方 法是：对于准则C，元素ui和uj哪一个更重要，重要的程度 如何，通常按19比例标度对重要性程度赋值，下表中列 出了19标度的含义,188,标度 含义 1 表示两个元素相比，具有同样重要性 3 表示两个元素相比，前者比后者稍重要 5 表示两个元素相比，前者比后者明显重要 7 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 9 表示两个元素相比，前者比后者极端重要 2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值 倒数 若元素i与j的重要性之比为aij，那么j元素 与i元素重要性之比为1/

49、aij,189,对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵,其中 aij就是元素i和j相对于C的重要性的比例标度。判断矩阵A具有下列性质：aij0，aji=1/aij，aii=1,若判断矩阵A的所有元素满足,则称A为一致性矩阵,不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有必要这样要求，只是在特殊情况下才有可能满足一致性条件,190,单一准则下元素相对权重的计算,已知n个元素u1,u2,un对于准则C的判断矩阵为A，求u1,u2,un对于准则C的相对权重写成向量形式即为,1）权重计算方法。 和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化后的算术 平均值，近似作为权重向量，即,191,类

50、似的还有列和归一化方法计算，即,192,根法（即几何平均法）。将A的各个行向量进行几何平均，然后归一化，得到的行向量就是权重向量。其公式为,193,特征根法（简记EM）。解判断矩阵A的特征根问题,式中， 是A的最大特征根，W是相应的特征向量，所得到的W经归一化后就可作为权重向量,194,判断矩阵的一致性检验,在计算单准则下权重向量时，还必须进行一致性检验。在判断矩阵的构造中，并不要求判断具有传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但要求判断矩阵满足大体上的一致性是应该的。如果出现“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要”的判断，则显然是违反常识的，一个混乱

51、的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策上的失误。而且上述各种计算排序权重向量（即相对权重向量）的方法，在判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断矩阵的一致性进行检验，具体步骤如下,195,计算一致性指标C.L. (consistency index,查找相应的平均随机一致性指标R.I. 下表给出了115阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标,196,平均随机一致性指标R.I. 矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 R.L 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 矩阵阶数 7 8 9 10 11 R.L 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 矩阵

52、阶数 12 13 14 15 R.L 1.54 1.56 1.58 1.59,197,计算性一致性比例C.R.(consistency ratio,当C.R.0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当C.R.0.1时，应该对判断矩阵做适当修正,198,Matlab程序,function quanzhong(A,ri) n=length(A); x,y=eig(A);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci=(lamda-n)/(n-1); cr=ci/ri w=x(:,1)/sum(x(:,1) 调用 A=1 2 5;1/2 1 7;1/5 1/7

53、 1; quanzhong(A,199,A=1 2 5;1/2 1 6;1/5 1/6 1; quanzhong(A) A=1 2 5;1/2 1 3;1/5 1/3 1; quanzhong(A,200,模糊关系方程法,在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策 B = (b1, b2, , bm ),单因素评判矩阵 R =(rij)nm ,试问各因素的权重分配A是什么？ 这就是要求解模糊关系方程X R = B. 定理 模糊关系方程X R = B有解的充要条件是 R = B 其中,约定 =1.且 为X R=B的最大解,201,模糊线性规划,一、模糊约束条件下的极值问题,例：某人想买一件大衣，提

54、出如下标准：式样一般，质量好，尺寸较全身，价格尽量便宜，设有5件大衣Xx1,x2,x3,x4,x5供选择，经调查结果如表,问他应该购买哪一件大衣,202,模糊线性规划,该类问题的解题过程,2. 目标函数f(x)模糊化,1.将语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集的隶属度,3.定义模糊判决,加权型,对称型,4. 由最大隶属原则求出x*, 则x*为模糊条件极大值点,203,解：将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束A1,A2,A3,价格化为模糊目标G,将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度,其中模糊目标,204,总约束集,模糊目标集,约束与目标对等时，用对称型模糊判决,由最大隶属原则，应该买x5,

55、205,如果要求价格更便宜，则放松约束，令a=0.4, b=0.6,加权型判决为,由最大隶属原则，应该买x1,206,模糊线性规划,实例： 采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准： (1)生产集中程度高； (2)采煤机械化程度高； (3)采区生产系统十分完善； (4)安全生产可靠性好； (5)煤炭损失率低； (6)巷道掘进费用尽可能低. 上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条

56、件极值问题，我们可以把(1)(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数. 设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即,方案,方案,方案,方案,方案,方案,207,模糊线性规划,经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表1,略,208,普通线性规划的一般形式为,目标函数,约束条件,矩阵表达形式,模糊线性规划,二、模糊线性规划问题,1,209,模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解,普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，目标函数可能不是单一的，可以借助模糊集的方法来

57、处理,210,模糊线性规划，其模型为,为了体现这个近似小于等于，我们引入伸缩指标di,211,模型又可写成,当,2,212,模糊线性规划,213,模糊线性规划,214,模糊线性规划,215,模糊线性规划,216,模糊线性规划,217,模糊线性规划,218,模糊线性规划,219,实例1：饮料配方问题,某种饮料含有三种主要成份A1,A2,A3, 每瓶含量分别为755 mg, 1205 mg, 1385 mg,这三种成份主要来自于五种原料 B1, B2, B3, B4, B5. 各种原料每千克所含成分与单价如下表所示，若生产此种饮料一万瓶，如何选择原料成本最小,220,多目标线性规划,在相同的条件下

58、,要求多个目标函数都得到最好的满足,这便是多目标规划. 若目标函数和约束条件都是线性的,则为多目标线性规划,一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最优值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解,模糊线性规划,221,例2 解多目标线性规划问题,模糊线性规划,222,解普通线性规划问题,得最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为2，此时 f 2 = 8,模糊线性规划,223,解普通线性规划问题,得最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20，此时f 1 = 10,模糊线性规划,224,的最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2

59、, 最优值为2, 此时 f 2 = 8. 的最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20，此时f 1 = 10,同时考虑两个目标，合理的方案是使 f 1 2, 10 , f 2 8, 20 , 可取伸缩指标分别为 d1 = 10 - 2 = 8, d2 = 20 - 8 = 12. 如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小d1; 如果认为目标 f 2更重要，可单独缩小d2,225,再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通线性规划问题,得最优解为 x1 = 6.29, x2 = 0.29, x3 = 1.43, = 0.57,此时f 1 = 5.43, f 2 = 14.8

60、6,226,实例2：风险投资问题,某人计划将自己的资金的20%3%作为机动资金，其余用于投资5种证券：A1, A2, A3, A4, A5, 已知它们的投资收益率和风险损失率如下表，问如何投资才能使收益最大，风险最小,227,1) 偏大型 (S 型) ：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为： 1）升半矩形分布（图3.7） 2）升半 分布 （图3.8） 3）升半正态分布 （图3.9） 4）升半柯西分布（图3.10） 5）升半梯形分布（图3.11） 6）升岭形分布 （图3.12,228,2) 偏小型 ( Z型 ) ：这种类型的隶属函数随 x 的增大而减小，随所选函数的