赫尔默特方差分量估计

1、1 赫尔默特方差分量估计 我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmer

2、t）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。一、赫尔默特方差分量估计公式为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为 （函数模型） （8-4-1） （随机模型） （8-4-2）其误差方程为 权阵 （8-4-3） 权阵 （8-4-4）作整体平差时，法方程为 （8-4-5）式中 一般情况下，由于第一次给定的权、是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为和，则有 （8-4-6）但只有才认为定权合理。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权、进行预平差，然后利用平差后两类观测值的、来求估计量，再根据（8-4-6）式求出，

3、由这个方差估值再重新定权，再平差，直到为止。为此需要建立、与估计量之间的关系式。由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q维随机变量，已知其数学期望为，方差阵为，则向量的任一二次型的数学期望可以表达为： （8-4-7）式中为任意q阶的对称可逆阵。现用向量代替上式中的向量，则其中的应换为，应换为，阵可以换成权阵，于是有 （8-4-8） 前面已经证明，于是有： （8-4-9）而 对上式应用协因数传播律得 将代入上式，整理后得 将上式代入（8-4-9）式，得 顾及矩阵迹的性质，上式可写为同理可得 去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差也改用估值符号表示，整理顺序后得 （8-4-10） （8-4-11

4、）其矩阵形式可写为 （8-4-12） （8-4-13）式中 （8-4-12）、（8-4-13）两式即为赫尔默特方差分量估计的严密公式。由此式可以求得两类观测值的单位权方差估值，从而可以根据（8-4-6）式求得观测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平差，直至满足要求为止。现将以上推导扩展至m组观测值。误差方程为 令 则得参数的估值为 按照上述类似的推导，则有去掉期望符号，相应的单位权方差也改为用估值符号，则有 （8-4-14）式中 二、计算步骤1.将观测值分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值；2.进行第一次平差，求得；3.按（8-4-14）式求各类观测值单位权方差估值；4.按

5、（8-4-6）式计算各类观测值方差的估值；5.依据定权公式再次定权，再次平差，如此反复，直到各类单位权方差的估值相等或接近相等为止。2 秩亏自由网平差 在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为 （8-2-1）式中系数阵为列满秩矩阵，其秩为。在最小二乘准则下得到的法方程为 （8-2-2）由于其系数阵的秩为，所以为满

6、秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆，因此具有唯一解，即 （8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u，误差方程为 （8-2-4）式中 为必要的起算数据个数。尽管增加了个参数，但的秩仍为必要观测个数，即其中为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为。组成法方程 （8-2-5）式中 ，且，所以也为秩亏阵，秩亏数为： （8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有：在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求

7、唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。一、直接解法根据广义逆理论，相容方程组虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，即： （8-2-7）式中，称为矩阵的最小范数g逆。称为矩阵的g逆。代入（8-2-7）式得 （8-2-8）上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下面将公式做进一步改化：令 （8-2-9） （8-2-10）式中行满秩，即，于是有 （8-2-11）而，所以为满秩方阵，按照降阶法求矩阵广义逆的方法，即：如果有矩阵其中存在凯利逆，则有的g

8、逆 （8-2-12）根据上式可得 （8-2-13）代入（8-2-8）式，得 （8-2-14）或写成 （8-2-15）未知参数的协因数阵为： （8-2-16）二、附加条件法（伪观测值法）前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组的最小范数解。附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个未知参数，因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于的限制条件方程的具体形式。为叙述方便，我们先给出该限制

9、条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组的最小范数解。设等价于约束条件的限制条件方程为 （8-2-17）式中且满足称为附加阵。故秩亏自由网平差的函数模型为 权阵为 按照附有条件的间接平差可得法方程 （8-2-18）式中，且，唯一不同的是这里为秩亏阵。为解决秩亏问题，将（8-2-18）中的第二式左乘矩阵后，再加到第一组中得： （8-2-19）式中，且根据附有条件的间接平差原理，上式的解为 （8-2-20） （8-2-21）由于上述解是通过增加未知参数间满足的d个附加条件，按照附有条件的间接平差法而实现的，因此人们把此法称为附加条件法。但它又不同

10、于经典的附有条件的间接平差法，其主要表现为：当阵满足时，必定有下式成立（证明从略） （8-2-22）将（8-2-22）式代入（8-2-21）式，可得参数的解为 （8-2-23）现在只需证明，按（8-2-23）式求得的解就是法方程的最小范数解。为此只需证明是的最小范数g逆中的一个即可，即只需证明满足以下两式： （8-2-24）现证明如下：因为 ，所以有 右乘阵并展开，则有而，所以有 （8-2-25）由于，存在逆阵，则有 （8-2-26）所以有 （8-2-27） （8-2-28）因此（8-2-24）第一式得到验证。 由（8-2-27）式得 考虑到（8-2-26）式，则上式为 （8-2-29）（8-

11、2-28）、（8-2-29）两式说明是的最小范数g逆中的一个，因此按（8-2-23）式求得的一定是相容方程组的最小范数解。三、精度评定单位权中误差估值的计算 （8-2-30）式中可以直接计算，也可以按下式求得 （8-2-31）未知参数的协因数阵为 （8-2-32）实际计算时，通常要对进行标准化，设标准化后的阵用表示，即不仅要求满足，还要求满足，此时（8-2-26）式变成，转置后有，因此（8-2-32）式将变成如下形式 （8-2-33）四、两点说明若将代入法方程，则法方程变为 上式相当于下列误差方程联合组成的法方程上式的第一式为观测值的误差方程，第二式可以看作是为求最小范数解而人为增设的d个虚拟

12、误差方程，因此附加条件法又叫伪观测值法。该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义逆，因此便于计算和计算机编程，但首要条件是必须知道附加阵，关于附加阵的确定问题，本教材不准备作详细讨论，下面直接给出常见控制网的附加阵及其标准化后的矩阵的具体形式：水准网（设有u个点） ； （8-2-34）测边网（设有m个点） （8-2-35）式中为第I点的近似坐标 （8-2-36）式中是以中心坐标为原点的第I点的近似坐标，它们的计算如下： ，测角网（设有m个点）只需在（8-2-35）式中增加一行元素、在（8-2-36）式中增加一行元素即可得到相应的阵和阵。例8-3 如图8-2水准网，点全为待定点，同精度独立高差观测值为，平差时选取三个待定点的高