2020年天津市高考数学模拟试卷

1、2020年天津市高考数学模拟试卷（4）一选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1（3分）已知集合Ax|x22x30，集合Bx|x10，则R（AB）（）A（，1）3，+）B（，13，+）C（，1）（3，+）D（1，3）2（3分）设aR，bR则“ab”是“|a|b|”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（3分）某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分100分）进行数据分析，将全部的分数按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图若成绩在80分及以上的学生人数为360，估计

2、该校高二年级学生人数约为（）A1200B1440C7200D120004（3分）函数f(x)=(x-1x+1)ex的部分图象大致是（）ABCD5（3分）若直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，则实数a的取值范围是（）A3，1B1，3C3，1D（，11，+）6（3分）已知函数f（x）=12(e-x-ex)，设a=f(0.312)，b=-f(log120.31)，c=f(2ln2)，则a，b，c的大小关系是（）AacbBabcCbcaDbac7（3分）已知函数f（x）Acos（x+）（0，0）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）Af(x)=2cos(x-512)Bf(x)=2cos

3、(2x-3)Cf(x)=2cos(2x-56)Df(x)=2cos(3x-56)8（3分）已知点A是抛物线y24x与双曲线x23-y2b2=1（b0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A26B4C23D29（3分）对任意实数k（0，116），曲线y1+x与曲线ykx+lnx的交点共有（）A0个B1个C2个D3个二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10（3分）设aR，a2a2+（a+1）i为纯虚数（i为虚数单位），则a 11（3分）（1+ax2）（x3）5的展开式中x7系数为2，则a的值为 12（3分）在四面体ABCD中，ABC和ABD

4、都是边长为22的等边三角形，该四面体的外接球表面积为12，则该四面体ABCD的体积为 13（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为12乙若射中，则不再继续射击则甲三次射击命中次数5的期望为 ，乙射中的概率为 14（3分）已知存在正数a，b使不等式4ab+2b22a+3blog2(1-x)成立，则x的取值范围 15（3分）若ABC中，AB=2，BC8，B45，D为ABC所在平面内一点且满足（ABAD）(ACAD)=4，则AD长度的

5、最小值为 三解答题（共5小题，满分75分）16（14分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC-sinAsinB-sinA=ba+c，（1）求角C的大小；（2）若c3，求a+b的取值范围17（15分）已知ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体（1）求异面直线BC1与B1D1所成的角（2）求直线BC1与平面ABCD所成的角（3）求二面角C1BDA的正切值18（15分）已知数列an的前n项和Sn=n2+n2数列bn满足：b1b22，bn+1bn2n+1（nN*）（）求数列an，bn的通项公式；（）求i=1n ai(b2i-1-1b2i)(nN*)19（15分）如图，在

6、平面直角坐标系xOy中，圆C：x2a2+y2b3=1（ab0）过点（22，13），离心率为223（1）求椭圆C的方程；（2）设D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线与椭圆C交于不同的两点M，N，再过点D作AM的垂线交BN于点E，求BDE与BDN的面积之比20（16分）已知函数G（x）ln（1+mx）mx，g（x）ax2，其中0m1（）当m1时，设f（x）G（x）g（x），存在区间t1，t2(0，13，使得x1，x2t1，t2，都有f(x1)-f(x2)x1-x20，求实数a的取值范围；（）若函数g（x）ax2的图象在（1，g（1）处的切线与直线x+y10平行，试讨论函数f（x）G（x）g（x）的零

7、点个数2020年天津市高考数学模拟试卷（4）参考答案与试题解析一选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1（3分）已知集合Ax|x22x30，集合Bx|x10，则R（AB）（）A（，1）3，+）B（，13，+）C（，1）（3，+）D（1，3）【解答】解：A（1，3），B1，+），AB1，3），R（AB）（，1）3，+），故选：A2（3分）设aR，bR则“ab”是“|a|b|”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若ab，取a1，b2，则|a|b|，则“ab”是“|a|b|”不充分条件；若|a|b|，取a2，b1，则ab，则“|a|b|”是a

8、b”不必要条件；则aR，bR“ab”是“|a|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D3（3分）某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分100分）进行数据分析，将全部的分数按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图若成绩在80分及以上的学生人数为360，估计该校高二年级学生人数约为（）A1200B1440C7200D12000【解答】解：由频率分布直方图得成绩在80分以上的频率为：1（0.01+0.02+0.04）100.3，根据统计学的知识估计成绩在80分以上的人数约为：0.3n360n1200故选：A4（3分）

9、函数f(x)=(x-1x+1)ex的部分图象大致是（）ABCD【解答】解：当x时，ex0+，x-1x+1=1-2x+11+，所以f（x）0+，排除C，D；因为x+时，ex+，x-1x+1=1-2x+11+，所以f（x）+，因此排除B，故选：A5（3分）若直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，则实数a的取值范围是（）A3，1B1，3C3，1D（，11，+）【解答】解：根据题意，圆（xa）2+y22的圆心为（a，0），半径r=2，圆心到直线xy+10的距离d=|a+1|2，若直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，则必有d2，即|a+1|22，变形可得：|a+1|2，解可得：3x1，

10、即a的取值范围为3，1；故选：C6（3分）已知函数f（x）=12(e-x-ex)，设a=f(0.312)，b=-f(log120.31)，c=f(2ln2)，则a，b，c的大小关系是（）AacbBabcCbcaDbac【解答】解：函数f（x）=12(e-x-ex)，f（x）=12(ex-e-x)=-f（x），f（x）为奇函数yex在R上为增函数，f（x）在R上为减函数af（0.312），b=-f(log120.31)=f(log20.31)，cf（2ln2）f（ln4）log20.3100.3121ln4，bac故选：D7（3分）已知函数f（x）Acos（x+）（0，0）的部分图象如图所示，则

11、f（x）的解析式为（）Af(x)=2cos(x-512)Bf(x)=2cos(2x-3)Cf(x)=2cos(2x-56)Df(x)=2cos(3x-56)【解答】解：易知A234T=512-(-3)=34，T，=2=2cos(2512+)=1，56+=2k，kZ，又0，k0时，=-56符合题意故f（x）2cos（2x-56）故选：C8（3分）已知点A是抛物线y24x与双曲线x23-y2b2=1（b0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A26B4C23D2【解答】解：抛物线y24x的焦点为F，且FA4，可得F（1，0），则A（3，23），点A

12、是抛物线y24x与双曲线x23-y2b2=1（b0）一个交点，a=3，可得93-12b2=1，解得b=6，则渐近线方程为y2x，不妨令A（3，23），则点A到这两条渐近线的距离之和d=|32-23|3+|32+23|3=26，故选：A9（3分）对任意实数k（0，116），曲线y1+x与曲线ykx+lnx的交点共有（）A0个B1个C2个D3个【解答】解：y1+x与曲线ykx+lnx的交点即为：1+x=kx+lnx根，即为lnx=-kx+x+1的根，令m=x，则xm2，问题即转化为研究f（m）2lnm与g（m）km2+m+1，（m0）的交点个数问题g（m）的对称轴为m=12k8，开口向下，在（0，

13、12k）递增，在（12k，+）上递减，且图象向右向下无限延伸g(m)max=g(12k)=1+14k，f(12k)=2ln12k，令t=12k8，所以g(12k)-f(12k)=1+12t-2lnt，(t8)令h（t）=1+12t-2lnt，t8h(t)=12-2t=t-42t0，h（t）在（8，+）是增函数，h（t）h（8）52ln80g(12k)f(12k)，因此同一坐标系做出函数f（m），g（m）图象如下：所以两函数图象只有一个交点，即曲线y1+x与曲线ykx+lnx的交点共有1个故选：B二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10（3分）设aR，a2a2+（a+1）i为纯虚数（i为

14、虚数单位），则a2【解答】解：a2a2+（a+1）i为纯虚数，a2-a-2=0a+10，解得a2故答案为：211（3分）（1+ax2）（x3）5的展开式中x7系数为2，则a的值为2【解答】解：（1+ax2）（x3）5（1+ax2）（x515x4+90x3270x2+405x243）的展开式中x7系数为a2，则a的值为2，故答案为：212（3分）在四面体ABCD中，ABC和ABD都是边长为22的等边三角形，该四面体的外接球表面积为12，则该四面体ABCD的体积为83【解答】解：如图，设三角形ABD的中心为G，三角形ABC的中心为H，分别过G与H作平面ABD与平面ABC的垂线相交于O，则O为四面体

15、ABCD的外接球的球心，连接OA，由该四面体的外接球表面积为12，得OA=3，在RtOGA中，又GA=263，OG=3-83=33在RtOGE中，OG=33，GE=63，则OE1，sinOEG=33，cosOEG=63，sinCEG23363=223C到底面ABD的距离dCEsinCEG=6223=433则该四面体ABCD的体积为V=1312226433=83故答案为：8313（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为12乙若射中

16、，则不再继续射击则甲三次射击命中次数5的期望为125，乙射中的概率为6364【解答】解：甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45，则甲击中的次数XB（3，45），甲三次射击命中次数的期望为E（X）345=125，乙第一次射击的命中率为78，第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为12乙若射中，则不再继续射击则乙射中的概率为：P=78+1834+181412=6364故答案为：125，636414（3分）已知存在正数a，b使不等式4ab+2b22a+3blog2(1-x)成立，则x的取值范围（1-2，1）【解

17、答】解：4ab+2b2=2b(2a+b)2b+2a+b2=2a+3b2，由于a0，b0，则2a+3b0，4ab+2b22a+3b12，当且仅当2b2a+3b时，4ab+2b22a+3b有最大值12，又存在正数a，b使不等式4ab+2b22a+3blog2(1-x)成立，则log2（1x）12，即01x212，1-2x1故答案为：（1-2，1）15（3分）若ABC中，AB=2，BC8，B45，D为ABC所在平面内一点且满足（ABAD）(ACAD)=4，则AD长度的最小值为2【解答】解：建立如图的平面坐标系如图，则B（1，1），C（7，1），设D（x，y），则AB=（1，1），AC=（7，1），则

18、AD=（x，y），ABAD=-xy，ACAD=7xy，（ABAD）(ACAD)=4，（xy）（7xy）4，即（x+y）（y7x）4，设x+y=my-7x=n得mn4，且x=18(m-n)y=18(7m+n)，则|AD|=x2+y2=18(m-n)2+(7m+n)2=1850m2+2n2+12mn182502m2n2+124=18204+48=1288=828=2，当且仅当50m22n2，即5mn时取等号，即AD长度的最小值为2，故答案为：2三解答题（共5小题，满分75分）16（14分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC-sinAsinB-sinA=ba+c，（1）

19、求角C的大小；（2）若c3，求a+b的取值范围【解答】解：（1）由sinC-sinAsinB-sinA=ba+c，则c-ab-a=ba+c，可得：a2+b2c2ab，所以：cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12，而C（0，），故C=3（2）由a2+b2c2ab，且c3，可得：（a+b）22ab9ab，可得：(a+b)2-9=3ab3(a+b2)2，可得：（a+b）236，所以a+b6，又a+bc3，所以a+b的取值范围是（3，617（15分）已知ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体（1）求异面直线BC1与B1D1所成的角（2）求直线BC1与平面ABCD所成的角（3）求二面角C

20、1BDA的正切值【解答】解：（1）ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体B1D1BD，DBC1是异面直线BC1与B1D1所成的角，BDBC1DC1，BDC1是等边三角形，DBC160，异面直线BC1与B1D1所成的角为60（2）CC1平面ABCD，C1BC是直线BC1与平面ABCD所成的角，在RtBCC1中，BCCC1，BCC190，C1BC45，直线BC1与平面ABCD所成的角为45（3）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），DB=（1，1，0），DC1=（0，1，1），设平面DBC1的法向量n=(

21、x，y，z)，则nDB=0，nDC=0，x+y=0y+z=0，取x1，得n=（1，1，1），又平面BDA的法向量m=（0，0，1），设二面角C1BDA的平面角为，则coscosn，m=13=33，sin=1-(33)2=63，tan=sincos=2二面角C1BDA的正切值为218（15分）已知数列an的前n项和Sn=n2+n2数列bn满足：b1b22，bn+1bn2n+1（nN*）（）求数列an，bn的通项公式；（）求i=1n ai(b2i-1-1b2i)(nN*)【解答】解：（）当n2时，anSnSn1=n2+n2-(n-1)2-(n-1)2=n；n1时，a1S11适合上式，所以：ann；

22、b1b22，bn+1bn2n+1；bnbn12n（n2）；bn+12bn1，（n2）；数列bn的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列；bn=2n+12，n为奇数2n2，n为偶数（）ai（b2i1-1b2i）i2i-i21；设M1x+2x2+3x3+（n1）xn1+nxn，（ x0，1）xM1x2+2x3+（n1）xn+nxn+1；得（1x）Mx+x2+x3+xnnxn+1=x(1-xn)1-x-nxn+1；M=x+(nx-n-1)xn+1(1-x)2；i=1n i2i=2+(2n-n-1)2n+1(1-2)2=（n1）2n+1+2；i=1n i2i=12+(n2-n-1)12n+1(

23、1-12)2=2-n+22n；i=1n ai（b2i1-1b2i）（n1）2n+1+n+22n19（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2a2+y2b3=1（ab0）过点（22，13），离心率为223（1）求椭圆C的方程；（2）设D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线与椭圆C交于不同的两点M，N，再过点D作AM的垂线交BN于点E，求BDE与BDN的面积之比【解答】解：（1）椭圆过点(22，13)，8a2+19b2=1，离心率为223，ca=223，8a2+19b2=1ca=233a2=b2+c2解得a=3b=1c=22，椭圆x29+y2=1（2）A（3，0），B（3，0），设D（t，0

24、），M（t，y0），N（t，y0），kAM=y0t+3，kDE=-t+3y0，直线DE方程：y=-t+3y0（xt），kBN=-y0t-3，直线BN方程：y=-y0t-3(x-3)，联立直线DE与直线BN方程y=-t+3y0(x-t)y=-y0t-3(x-3)，解得E点坐标x=t(t2-9)-3y02t2-9-y02y=t(9-t2)y0t2-9-y02=9y03-10y02=-910y0，SBDESBDN=12|yE|12|-y0|=91020（16分）已知函数G（x）ln（1+mx）mx，g（x）ax2，其中0m1（）当m1时，设f（x）G（x）g（x），存在区间t1，t2(0，13，使得x1，x2t1，t2，都有f(x1)-f(x2)x1-x20，求实数a的取值范围；（）若函数g（x）ax2的图象在（1，g（1）处的切线