1专题2三角函数与解三角形

1、专题2三角函数与解三角形一、三角函数的图象与性质1.如何用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图?(1)正弦函数y=sin x,x0,2的图象中,五个关键点分别是(0,0),2,1,(,0),32,-1,(2,0).(2)余弦函数y=cos x,x0,2的图象中,五个关键点分别是(0,1),2,0,(,-1),32,0,(2,1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质分别是什么?函数y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域RRxxR且xk+2值域-1,1-1,1R最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k-2,2k+22k-,2kk-2,k+2递减区间2k+2,2k+322k

2、,2k+无对称中心(k,0)k+2,0k2,0对称轴方程x=k+2x=k无(注:kZ)3.求函数y=Asin(x+)的单调区间时应注意什么?(1)注意A,的符号,不要把单调性或区间左右的值弄反;(2)不要忘记写“+2k”或“+k”等,特别注意不要忘掉写“kZ”;(3)书写单调区间时,不要把弧度和角度混在一起.4.三角函数的常用结论有哪些?(1)对于y=Asin(x+),当=k(kZ)时,其为奇函数;当=k+2(kZ)时,其为偶函数;对称轴方程可由x+=k+2(kZ)求得.(2)对于y=Acos(x+),当=k+2(kZ)时,其为奇函数;当=k(kZ)时,其为偶函数;对称轴方程可由x+=k(kZ

3、)求得.(3)对于y=Atan(x+),当=k(kZ)时,其为奇函数.5.三角函数图象的两种常见变换是什么?二、三角恒等变换与解三角形1.同角三角函数关系式有哪些?如何记忆诱导公式?(1)同角三角函数关系式:平方关系:sin2+cos2=1;商数关系:sincos=tan .(2)三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k+(kZ)+-2-2+正弦sin -sin -sin sin cos cos 余弦cos -cos cos -cos sin -sin 正切tan tan -tan -tan 口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限2.你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、辅

4、助角公式吗?(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式:sin()=sin cos cos sin .cos()=cos cos sin sin .tan()=tantan1tantan.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式:sin 2=2sin cos .cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.tan 2=2tan1-tan2.(3)辅助角公式:函数f()=asin +bcos (a,b为常数)可以化为f()=a2+b2sin(+)其中tan =ba或f()=a2+b2cos(-)其中tan =ab.3.在三角恒等变换中,常见的拆角、拼角技巧有哪些?角的配凑即单角化复角(和

5、角与差角称之为复角).常见的角的变换有=(+)-,=-(-),=(2-)-(-),=12(+)+(-),=12(+)-(-),+4=(+)-4,=+4-4.4.正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式分别是什么?(1)正弦定理、余弦定理:在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC外接圆的半径,则定理正弦定理余弦定理公式asinA=bsinB=csinC=2Ra2=b2+c2-2bccos A;b2=c2+a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C常见变形(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2)sin A=a2R,sin B=b2R

6、,sin C=c2R;(3)abc=sin Asin Bsin C;(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin Acos A=b2+c2-a22bc;cos B=c2+a2-b22ac;cos C=a2+b2-c22ab(2)三角形的面积公式:SABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B=abc4R=12(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r. 5.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况有哪些?图形关系式解的个数A为锐角a=bsin A1bsin Aab1ab06.已知三角形两边及其一边的对角,用正弦定理

7、解三角形时要注意什么?若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在ABC中,ABsin Asin B.05三角函数的图象与性质能力1能运用三角函数的图象和性质解决问题【例1】(2019北京市东城区月考)已知函数f(x)=4acos xsinx-6,且f3=1.(1)求a的值及f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在0,m上单调递增,求m的最大值.解析(1)由f3=1,得4a1212=1,解得a=1.所以f(x)=4cos xsinx-6=4cos x32sinx-12cosx=23sin xcos x-2cos2x=3sin 2x-cos 2x-1=2sin2x-6-1,所

8、以f(x)=2sin2x-6-1的最小正周期为.(2)由(1)知f(x)=2sin2x-6-1.当x0,m时,2x-6-6,2m-6,若f(x)在0,m上单调递增,则有-62m-62,即00,0,00,所以=1.因为-3+=kkZ,00,0)的方法:(1)A=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2.(2)已知函数的周期T,则=2T.(3)求的常用方法:代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入解析式(A,B已知)求解.五点法:确定的值时,一般以寻找“五点法”中的第一个零点为突破口.具体如下:“第一点”满足x+=0;“第二点”满足x+=2;“第三点”满足x+=;“第四点”满足x+=32;“第

9、五点”满足x+=2.(2019河南省郑州市模拟)已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图象如图所示,则使f(a+x)-f(a-x)=0成立的a的最小正值为().A.12B.6C.4D.3解析由图象易知,A=2,f(0)=1,即2sin =1,又T1112,即221112,故10)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2,为了得到函数g(x)=sin x的图象,只需将y=f(x)的图象().A.向左平移6个单位长度B.向右平移6个单位长度C.向左平移12个单位长度D.向右平移12个单位长度解析因为函数f(x)=sinx+6(0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2,所以f(x)的最小

10、正周期T=,因此=2T=2,所以f(x)=sin2x+6=sin 2x+12.因此,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,只需将f(x)=sin 2x+12的图象向右平移12个单位长度.故选D.答案D由y=sin x的图象变换得到y=sin(x+)(0)的图象一般有两个途径:途径一,先平移变换,再伸缩变换.先将y=sin x的图象向左(0)或向右(0),得到y=sin(x+)的图象.途径二,先伸缩变换,再平移变换.先将y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的1(0),再沿x轴向左(0)或向右(0)图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为4,将函数f(x)的图象向左平移2个单位长度得到函数

11、g(x)的图象,则g(x)=().A.sinx-6B.sin2x+3 C.cos2x-23D.cos2x+3解析函数f(x)=sinx-23(0)图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为4,则T4=4,解得T=,所以=2,解得=2.将函数f(x)=sin2x-23的图象向左平移2个单位长度,得到g(x)=sin2x+2-23=sin2x+-23=sin2x+3的图象.故选B.答案B能力4会解决三角函数的图象与性质的综合问题【例4】(2019北京市朝阳区二模)已知函数f(x)=2sin xcos x+23cos2x-3.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x-3,12时,求证:-3f(x)2

12、.解析(1)f(x)=2sin xcos x+2cos32x-3=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+3,所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)因为x-3,12,所以2x+3-3,2,所以f(x)在-3,12上单调递增.当2x+3=-3,即x=-3时,f(x)min=-3;当2x+3=2,即x=12时,f(x)max=2.所以当x-3,12时,-3f(x)2.解决三角函数的综合问题,要注意整体思想、数形结合思想的运用.如对于y=a2+b2sin(x+)型的函数,先视“x+”为整体,再利用y=sin x的性质来求解.(2019重庆南开中学高三月考)已知函数f(x)=4cos2-xco

13、sx-3-3.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)在4,3上的值域.解析(1)f(x)=4sin xcos x cos3+sin xsin 3-3=4sin x12cosx+32sinx-3=2sin xcos x+23sin2x-3=sin 2x+3(1-cos 2x)-3=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3.令2k-22x-32k+2(kZ),得k-12xk+512(kZ),所以f(x)的单调递增区间为k-12,k+512(kZ).(2)由4x3得62x-33,故2sin2x-31,3,即f(x)在4,3上的值域为1,3.06三角恒等变换与解三角形能力1能熟练进行三

14、角恒等变换和求值【例1】(1)(2019辽宁省丹东市高三质检)若tan+4=-3,则sin 2-cos2=(). A.35B.-25C.-1D.3(2)(2019四川省成都七中模拟)已知sin5x-3-2sin 3xcos2x-3=23,则cos2x-3=().A.19B.-19C.13D.-13解析(1)tan+4=-3tan+tan41-tantan4=-3tan =2.sin 2-cos2=sin2-cos2sin2+cos2=2sincos-cos2sin2+cos2=2tan-11+tan2,把tan =2代入,求得sin 2-cos2=35.故选A.(2)因为sin5x-3=sin

15、3x+2x-3=sin 3xcos2x-3+cos 3xsin2x-3,所以sin5x-3-2sin 3xcos2x-3=-sin 3xcos2x-3+cos 3xsin2x-3=23,整理得-sinx+3=23,即sinx+3=-23.所以cos2x-3=cos2x+3-=-cos2x+3=2sin2x+3-1=-19.故选B.答案(1)A(2)B三角恒等变换中的“四大策略”:(1)常数值代换:特别是“1”的代换,如1=sin2+cos2=tan 45.(2)项的拆分与角的配凑:sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+,等等.(3)降幂与升幂:正用和逆用二倍角公式.

16、(4)弦切互化:切化弦,弦化切,减少函数种类.(2019浙江省金华十校模拟)已知函数f(x)=sin(x+)0,02的最小正周期为,且cos 2+cos =0.(1)求和f2的值;(2)若f2=35(00,02的最小正周期为2=,所以=2.又cos 2+cos =2cos2-1+cos =0,所以cos =-1(舍去)或cos =12,所以=3,故f(x)=sin2x+3.故f2=sin+3=-32.(2)因为f2=sin+3=3532,0,所以23+3,所以cos+3=-1-sin2+3=-45.故sin =sin+3-3=sin+3cos3-cos+3sin3=3512+4532=3+43

17、10.能力2能熟练地选择正弦定理、余弦定理解题【例2】(2019北京市房山区模拟)已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2-ac=b2.(1)求角B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,因为角B为ABC的内角,所以B=3.(2)由(1)可得A+C=-B=23,所以A=23-C,所以cos A+cos C=cos23-C+cos C=cos23cos C+sin23sin C+cos C=-12cos C+32sin C+cos C=32sin C+12cos C=cos6sin C+sin6cos C=sinC+6.因为0C23,所