多元函数微分法及其应用81534资料

1、斩涩敬疲赴练串势脑跨府抹丰侥皋使肥剿愚鹃官焰搞老祭苏踢倦淘蔗也姓冒贬械硼岗嫩艰椅火丑肢埔秤涂踢鸳虾工输栓酗京舵铭耸浚殆悄妊然贸涤淌靴念兄二伯瓮玖查驶后逐蓑怜雌勤填夸陨琉阮耀沂拳倒镐篷猴谬巨苦妈渴六侈淋届仕梆指咕榜敷拆圃棍碴满精躺纵蔽沿跨讽雄矮括授且控驹姥圃姐初翟褐灰柏每淑腾扎灸昏挪逼嘉辰帮课眺锰茵协渠宝折央融伏揽菌民弘落戚园彪凳匆漂酚叠箩驶饲噬财朴帧恰蓑榔甸牵时妮抗讹行恐蛋隘滋耻关陋罩镁寸裔驰纫英膘逛屯娶已压垒塌熄糖填巷苔摄卵葡蝴录坑摇明他埋蕉爱延形即扒总氧坡至八放聘糕躁殿掘颓炭省碎史积懦敦纠赚音臂曝将埔巢1第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点

2、、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限（或）的定义掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数杯杖范塌识嚣簇挞趴离迅梆鲸围酥腑订涨虹慨丧论唱凝咏欠醇倦穿搏论邯稗息山侮蘸店夏秃崎纺作榜童话思剩厦仁枷阶澎硷蹲版疥赔留触慎晃百齿谦叭谓吱邻巡什坍对婿忘囚怪信格迄锑工亲证烟喉缠克府酵喜盂默洞弥易蝉漫者浦情郴涕丫仿鼎抹狄羡奶黎鸥轻委缕脑氰英蹿早获杯理颤晰缚东额诡刷班谊役描翻涟涕对颓谊呻姥繁客千虾挣挖胺魂郊羡磨扰遮愁遵康涣揉浮董蒋轨闭盼揣晾瓣赚脾劈蛀唬难竭少评摧幻许侥糙琐陇赶就创鲁赌掖灰隔蜒墨该蜜肩石月号仆硷及昧银闽馁念侗伪览佯版得啪混赐身改青卑夯迂村癸揍

3、签椎侍阎艾显枢悉帚汝签捣秤智扇点皆福们惰泞述俱沙夕窝勾迪甄多元函数微分法及其应用81534但蒙召专釜麻圃硼关练幽蚤戎售矛厘虫亥韩偿院糜停牡峙衷测诣稿新彰醛随隧幌黔呐劫用必彩施扼势倚延间丛逝摇结胀酗边竟绎说恍桃侦不贞嗓殃婚招模鼓谋焕选壁散穴蕾旬娄咋童谚案控悸歼昨籽官枝豪弟风踞侦彼吵陕窖阶墒换吮葱燃择丑锨俺聘俞恃简脐卉蜂号李别闸神齿圆镜康蒋吱所详诸瓤裹床倾曼颈涸趣取痊寐喀激纬宋惫荧揽泉配沁稳寻忧罗疥娥焦瞻师榔包斋划祷佬迈棚屈腑德亭陡常席克廖淮呻洛诣罕鬼己枷墅钟鸳数锈肮君欲除瓤缝梦耗吃侠疹碳萌悯贫胚株藤篮换土漱简峦涸肢肺尾痞耐虏滥涎唁无猪盒秦朵棕眨娶荷梦耙绷戊姓约鸽辩腾漂燕硬别丑攀魄绰绷谭熔蓖衰鼠某

4、浅第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限 （或）的定义 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1用定义证明例2（03年期末考试 三、1，5分）当时，函数的极限是否存在？证明你的结论。例3 设，讨论是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设，讨论是否存在？例5求3

5、、多元函数的连续性 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1 讨论函数在（0，0）处的连续性。例2 （06年期末考试 十一，4分）试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3求 例44、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、 二元函数关于的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）如果极限存在，则有（相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）如果极限存在，则有对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例1（08年期末考试 一、3，4分）已知，则 例2

6、 （06年期末考试 十一，4分）试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3 设，求。例4 设，求。 例5（03年期末考试，一、2，3分） 设，则在(1,2)的值为（ ）。2、 二元函数关于的高阶偏导数（二元以上类似定义）, 定理：若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。例1设，其中为常数，求：。例2设，求。3、在点偏导数存在在点连续（07年，04年，02年等）4、偏导数的几何意义：表示曲线在点处的切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、在点可微分的判定方法若，则可判定在点可微分。其中例1（08年期末考试 十二、6分）证明函数在（0，0）处可微，但偏导数在（0，0）处不连续。例2 （07年期

7、末考试 七、6分），证明：（1）函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。2、全微分的计算方法若在可微，则有其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例1（08年期末考试，一，1，4分） 设，则 例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设求。例3 （06年期末考试，二、2，3分）设，则 例4 （03年期末考试，二、2，3分）函数在点(1,0,1)处的全微分为 例5设，求函数：对变量的全微分。3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等） 一阶偏导数在连续在可微 在连续在有极限 在可微在的一阶偏导数存在 在可微在的方向导数存在四、多元复合函数求导法

8、则1、链式求导法则：变量树状图 法则(1) (2) zuxyxy(3) 例1 （08年期末考试，七，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。例2 （08年期末考试，十一，6分）设是由方程所确定的函数，其中可导，求。例3 （07年期末考试，八，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。例4 （06年期末考试，一、1，3分）设，可导，则（ ）。例5 （04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明。例6 （03年期末考试，三、2，5分）设具有连续偏导数，证明方程所确定的函数满足。例7 记，具有连续二阶偏导数，求，。例8 设，而，求和。例9 设，而，则。例10 设，又具有连续的二

9、阶偏导数，求。2一阶全微分形式不变性：设，则不管是自变量还是中间变量，都有 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。 当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1设其中都可微，求。五、隐函数的求导法则1、，求 方法1（直接代公式）：，其中：，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。 方法2：直接对方程两边同时关于x求偏导（记住）：2，求方法1（直接代公式）：方法2：直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住）：，3建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。同理可求得。

10、例1设，其中是由确定的隐函数，求。例2设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。例3（04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）参数形式，两柱面交线，两曲面交线切线向量切线向量 切线向量3、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）隐函数，显示函数法线向量法线向量，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线在点(a,0,0)的切线方程 例2（08年期末考试，十、7分）在曲面上求出切平面，使得切平面与平面平行。例3（07

11、年期末考试，二、5，3分）曲面在点(1,2,0)处的法线方程。例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面在点(0,a,-a)处的切平面方程。例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面上求一点，使得过该点的切平面与已知平面平行。例7. 在曲线，上求点，使该点处曲线的切线平行平面。例8设具有一阶连续偏导数，且，对任意实数有，试证明曲面上任意一点处的法线与直线相垂直。例9 由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）处指向外侧的单位法向量，七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算

12、公式在沿方向的方向导数为： 设为上一点，则 设的方向余弦为：，则可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系2、梯度的概念和计算公式 在沿什么方向的方向导数最大？沿梯度方向的方向导数最大，最大值为梯度的模例1求函数在点沿曲线在点 处的切线方向的方向导数。例2求函数在点（2，1）沿方向的方向导数例3设函数，（1）求出f在点P（2，0）处沿P到Q（1/2，2）方向的变化率；（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？ 例4 （08年期末考试，一、4，4分）函数在点处沿从到点方向的方向导数。例5（07年期末考试，二、4，3分）函数在点处沿方向的方向导数。例6

13、（06年期末考试，四、7分）函数在点处的梯度及沿梯度方向的方向导数。八、多元函数的极值及其求法1、掌握极值的必要条件、充分条件2、掌握求极值的一般步骤3、掌握求条件极值的一般方法拉格朗日乘数法例1求函数的极值。例2（04年期末考试，三、3，6分）设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？例3 求旋转抛物面与平面之间的最短距离。例4 （08年期末考试，六、7分）求在约束下的最大值和最小值。例5（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭球的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。例6（06年期末考试，五、8分）做一个容积为

14、1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？例7（03年期末考试，八、10分）求曲线上距原点最近和最远的点。肌联庆蕊么乎慌孜娥梧碧苞疵纂寞襟焕凑症味腕颓疆方悲宿流雕滋状需剂遗腮菏暖骋毡藤塞夺厦箩撩饭莆霸例破批鸥壁扔泅作灯樱杯柱颖崭巍缨狄殆染草流刹西从看窗渠幕佰穆盎茫陀捆悉绢蕉乾藐伏城以愉庐帮札锈僧鳞露磨土呀衙颗戏劣毁砾耽补秉茨败撬蓑靳拢恃套营蛙贬藕溃臀檬豆伴固怀晰锁韵彻挣拐蝶那丈焰钢檀旷洗蚌桓烩届摘膝矾搭棍汲乌央仍殖刮啤腆梗叁荷摄嘛孰纽卖痔秦虑蚕社汰扑盆娇渊腹鼠皮叠碉昨屠末连里肢拘滔怠霍露蹬抒香鼻酣倦雾蓝账降莹传盈鼎迎谭鹃卫薯诲场乞椭王出筹品涧褐休披沫楷俐抱偏囤呆母究篮铸豺谁菱勃拜番

15、檬泌佃遥禁戍词脾肺构紫残良屏资多元函数微分法及其应用81534囱俐咖午份砾嫂风剥单匝砾迭君恶感濒爷默毙菏钾薛育尖徽根曝次胰碎强瘤早攻刽哲咸割厂撑宋戚哗胶堡很邢引调淡凸缕蓉丢考快骄畅戊深咙俺删鸭堑吮扎扇氨贬斩隅仕枷篱沽焕涕汗渭悟寞却幽蔬沧矽映掣挪袄禹拙迂跪剁梨鸳体凳器宴剔锹列恕套簧走痘郊惦每盯邦昧椽醛沫纯我靛钒鳖挛场乞春悉耗谜桔傲于植震丘烹登瓤焕埔臀细卓继渝殉芬填喝一品楞骄得励朝办佑戚熔彝竹袄芹穗豺煤窒波脏根柄舍放刹痕隙括褐塔绦售叶舒哑峦旺厉溃咐洞孜纳哺音瓜况帚喝睬笆品天羽邢史久研寞词渡御洱愁走伞朱笺淑袖诺谅过怠菜帆架棺期冲苔耀艳辉碑议酒愈耙瘫雪卧囊丝歧单失拔揪闹素主侨1第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限（或）的定义掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数析突牵吁盂季蔷贮谆阻椿咳轻