《有限长单位脉冲响应FIR数字滤波器的设计》

1、第六章 有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计,方法1： 设计满足幅度指标要求的IIR滤波器，再加线性相位校正网络（如全通网络）；设计复杂，成本高； 方法2： 用FIR滤波器的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严格的线性相位,线性相位数字滤波器的实现,h(n)是FIR滤波器的单位脉冲响应，长度为N，则其系统函数为,收敛域包括单位圆； z平面上有N-1个零点； z=0是N-1阶极点,特点：FIR滤波器永远稳定和容易实现线性相位,6.1 线性相位FIR数字滤波器的特点,对于长度为N的h(n)，传输函数为,注意： H ()为的实函数，可能取负值； |H(ej)|称为幅度响应，总是正值,H ()

2、称为幅度函数，()称为相位函数,一、线性相位条件,H (,但上两种情况都满足群时延是一个常数,第一类线性相位,第二类线性相位,=, 为常数,0，0是起始相位,线性相位是指()是的线性函数，即,1、什么是线性相位,h(n)是以(N-1)/2偶对称实序列，即： h(n) = h(Nn1,2、第一类线性相位条件,h(n)是以(N-1)/2奇对称实序列，即： h(n) =h(Nn1,3、第二类线性相位条件,N为偶数的情况,N为奇数的情况,n,0,h(n,n,0,h(n,4、第一类线性相位特点,令：m=N-n-1,则有,将z=e j代入上式，得到,相位函数,幅度函数,H,第二类线性相位条件证明,将z=e

3、 j代入上式，得到,相位函数,幅度函数,m=0,1、h(n)=h(N-n-1)，N=奇数 由前面推导的幅度函数H ()为,二、线性相位FIR滤波器幅度函数的特点,特点： h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称； 以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，因N为奇数，余下中间项n=(N-1)/2,H (,m=1,令m=(N-1)/2-n,H (,幅度函数特点,1) 式中 cos n 项对 =0, , 皆为偶对称，则幅度特性对 =0, , 是偶对称的。 (2) 可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻,H (),2、h(n)=h(N-n-1)，N=偶数 推导情况和前

4、面N为奇数相似，不同点是由于N为偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成N/2项,其中,令m=N/2-n,H (,幅度特点,1) 当=时，故H ()=0，即H(z)在z= 1处，有一零点； (2) 由于cos(n)对w=奇对称，所以H()在 =呈奇对称； (3) 用这种滤波器设计方法不能实现高通、带阻滤波器,H (,3、h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数 由前面推导的幅度函数可得,由于h(n)=-h(N-n-1)，当n=(N-1)/2时,h(n)和正弦项都对(N-1)/2奇对称，相同项合并，共合并(N-1)/2项,h(N-1)/2=0,令m=(N-1)/2-n,H (,幅度特点,1) 幅

5、度函数H()在 =0, , 呈奇对称。 (2) H()在 =0、2处值为0，即H(z)零点在z=1处，只能实现带通滤波器,H (,4 h(n)=h(N-n-1)，N=偶数,令：m=N/2-n，则有,H (,H (,幅度特点,1)由于sin(n-)在 =0、2处都为0，因此H ()在 =0，2处也为0，H(z)在z=1处为零点；不能实现低通、带阻滤波器。 (2)由于sin(n)在 =0、2处都呈奇对称，对 =呈偶对称，故幅度函数H()在 =0, 也呈奇对称，在 =处呈偶对称,H (,第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示,三、零点位置,表明： 如果z=zi是H(z)的零点，则z=zi

6、-1也是H(z)的零点。 由于h(n)为实序列，零点必定共轭成对。则zi*和(zi-1)*也是 H(z)的零点；即H(z)的零点必定互为倒数的共轭对,分析： (1) 当zi不在实轴上，不在|z|=1上，则零点是互为倒数的两组共轭对；确定了一个零点，其它三个确定了,2) 当zi不在实轴上，但在|z|=1上，由于共轭对的倒数是它们本身，故此时零点是一组共轭对,3) zi在实轴上，不在|z|=1上，则零点是互为倒数两个实数零点,4) zi在实轴上，也在|z|=1上，则零点只有一个，或位于z=1，或位于z = 1,例：如果系统的单位脉冲响应为,1) 判断该系统是否具有线性相位，说明理由。 (2) 求出

7、该系统的频率响应，画出幅度、相位和群时延特性曲线,一、设计思想 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej)，hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此,6.2 用窗函数法设计FIR滤波器,n,问题：一般情况下Hd(ej)是逐段恒定的，在边界频率处有不连续点，所以hd(n)是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现,例：一理想低通滤波器的传输函数Hd(ej)为,相应的单位脉冲响应hd(n) 为,hd(n)是无限时宽，非因果序列,要求: (1) 得到一因果序列h(n)； (2) 构造一个长度为N的线性相位滤波器； 将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称(线性相位)。 设截取的一段用

8、h(n)表示，即,h(n)=hd(n)RN(n,矩形窗的长度为N，且a(N-1)/2时，满足上述两个要求,二、加窗处理对FIR滤波器幅频特性的影响 设计过程中，加窗后的单位响应序列为 h(n)= hd(n)RN(n)。即用一个有限长的序列h(n)去代替一个无限长的序列hd(n)，会产生误差，时域中是截断处理，在频域表现出的现象就是通带和阻带中有波动，也称为吉布斯效应(截断效应)。 这样设计出来的频响 H(ejw) 只能是尽量逼近要求的Hd(ejw,h(n)= hd(n)RN(n,分析,频域卷积定理,矩形窗的幅度函数,理想低通滤波器的幅度特性,结论：设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的

9、幅度特性Hd()与矩形窗幅度特性Rd()的卷积,Hd()与Rd()卷积形成H()的过程,H()与原理想低通 Hd()差别有以下2点： H()在 =C附近形成过渡带，过渡带宽度B=4/N，近似于矩形序列幅度谱RN()的主瓣宽度； 通带内增加了波动，最大的峰值在 =C2/N 处，阻带内产生了余振，最大的负峰值在 =C+2/N 处。幅度谱RN()波动越快(N加大)，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响H()波动的大小。 Hd()在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应,影响: (1)通带内的波动影响滤波器通带的平稳性； (2)阻带内波动影响阻带的衰减，可使最小衰减不满足技术要求,减小吉布斯效应措施

10、 1、增加N值 可减小过渡带宽度，由于主瓣与旁瓣幅度也增加，且主瓣和旁瓣的相对值不变， H(w)的波动幅度没有改变。 带内最大肩峰比H(0)高8.95%，阻带最大负峰比零值超过8.95% 。使阻带最小的衰减只有21dB。 谱间干扰未减小，波动更明显，因此加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法,2、改善窗函数的形状 减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状找出解决方法，主要考虑以下2点因素： 尽量减小主瓣宽度，以获得较窄的过渡带； 尽量使窗函数的最大副瓣相对于主瓣要小，使设计出来的滤波器幅度特性中肩峰和余振较小，阻带衰减较大,三、几种常见的窗函数 1、矩形窗 (Rectangle Wind

11、ow) wR(n)=RN(n) 其频率响应为,WR(ejw)主瓣宽度为4/N，第一副瓣比主瓣低13dB,2、三角窗 (Bartlett Window)，巴特利特窗,WBr(ejw)主瓣宽度为8/N； 第一副瓣比主瓣低26dB,2,3. 汉宁(Hanning)窗升余弦窗,频响函数,其幅度函数,WHn(ejw)主瓣宽度为8/N，第一副瓣比主瓣低33dB,4哈明窗 (Hamming Window)改进的余弦窗,WHm(ejw)主瓣宽度为8/N，第一副瓣比主瓣低40dB,5布莱克曼窗 (Blackman Window):二阶升余弦窗,WBl(ejw)主瓣宽度为12/N，第一副瓣比主瓣低57dB,6、凯

12、塞-贝塞尔窗 (Kaiser-Basel Window,参数用以控制窗的形状，影响滤波器的性能参数，加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为：49；当5.44时，窗函数接近哈明窗， 7.865时，窗函数接近布莱克曼窗,凯塞窗的幅度函数为,I0(x)取1525项，可满足精度要求,I0(x) 是零阶第一类修正贝塞尔函数,凯塞窗参数对滤波器的性能影响,六种窗函数的基本参数,四、窗函数法的设计步骤 1确定希望逼近的滤波器的频响函数Hd(ej) 2、根据Hd(ej)确定其对应的单位脉冲响应hd(n,2) Hd(ej) 不可封闭求解，对Hd(ej) 从 =02采样M点，采样值为 Hd(ej2k/M)，k=

13、0,1,M-1，用2/M 代替上式中d ，则,3) 如果已知通带(或阻带)衰减和边界截止频率c，选理想滤波器作为逼近函数，对理想滤波器频响函数作 IFT ，求出 hd(n,2、选择窗函数 根据过渡带与阻带衰减的要求，选择满足条件的窗函数形式，并估计窗口长度N。原则是保证阻带衰减的前提下，尽量选主瓣窄的窗函数,3、计算所要设计的滤波器的单位采样响应h(n) 计算滤波器的单位取样响应 h(n)= hd(n)w(n)。其中 w(n)是上面选择好的窗函数，hd(n)与w(n)都应满足线性相位要求,4、验证技术指标是否满足要求 已设计出的滤波器的频率响应 。验算H(ej)是否满足设计要求，若不满足要求，

14、重复上面2，3，4过程,窗函数法优点： 从时域出发的一种设计方法，设计简单，方便，实用。 缺点是： 要求用计算机实现，边界频率不易控制,Hd(ej,h(n,hd(n,IFT,加窗截断,FT,比较，满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数,H (ej,例：用矩形窗设计法设计一个FIR线性相位低通滤波器，已知c =0.5，N=21， (N-1)/2，画出h(n)和20lg|H()/H(0)|曲线，再计算正、负肩峰的位置和过渡带宽带度,单位脉冲响应hd(n)为,计算得,hd(n)，0，1/9，0，1/7，0， 1/5， 0，1/3， 0， 1/， 0.5， 1/， 0， -1/3， 0， 1/5

15、，0， -1/7，0， 1/9，0,n=0,加矩形窗：h(n)=hd(n).RN(n,h(n)0，1/9，0，1/7，0， 1/5， 0，1/3， 0， 1/， 0.5， 1/， 0， -1/3， 0， 1/5，0， -1/7，0， 1/9，0,20lg|H()/H(0)|曲线如下,正肩峰A点：c- 2/N0.5- 2/21 20lg(1.0895) = 0.74dB,临界频率B点：c0.5 20lg(0.5) = -6dB,负肩峰C点：c2/N0.52/21 20lg(0.0895) = -21dB,过渡带AC宽度为： c2/N (c-2/N) = 4/N = 0.19,一、频率采样法基本原

16、理 设 Hd(ej) 为所要设计的数字滤波器的频率响应，则: 1、在= 范围内对 Hd(ej) 进行N点等间隔采样，得到Hd(k,6.3 用频率采样法设计FIR滤波器,2、对N点Hd(K)进行IDFT，得所设计的滤波器的单位脉冲响应h(n,3对求出的h(n)进行z变换，得到滤波器的系统函数H(z,或利用频域内插公式（P88,二、线性相位的约束,1) 第一类线性相位：h(n)偶对称，N为奇数,特点：幅度函数H()关于=0，2偶对称， H () = H(2,采样值,Hk关于N/2偶对称，即： Hk= HN-k,相位采样值,2) 第一类线性相位：h(n)偶对称，N为偶数,特点：幅度函数H()关于=奇

17、对称， H () = -H(2,采样值,Hk关于N/2奇对称，即： Hk= -HN-k ，且HN/2 =0,相位采样值,3) 第二类线性相位：h(n)奇对称，N为奇数,特点：幅度函数H()关于=0，2奇对称， H () = -H(2,采样值,Hk奇对称，即： Hk= -HN-k,相位采样值,4) 第二类线性相位：h(n)奇对称，N为偶数,特点：幅度函数H()关于=偶对称， H () = H(2,采样值,Hk偶对称，即： Hk=HN-k,相位采样值,2）h(n)偶对称，N为偶数时,设计方法： 用理想滤波器作为逼近滤波器，截止频率为c，采样点数为N，则Hk和k的计算公式为,1）h(n)偶对称，N为

18、奇数时,kc取小于等于 cN /2的最大整数,对 H(k) 进行 IDFT变换，求出 h(n)； 由 h(n)可求出所设计滤波器的频响 H(ejw,由前面计算出的Hk和k的值可构造出H(k,等效于在0，2 上的N个采样值,k=0，1，N-1,三、误差分析与改进措施 设待设计的滤波器为Hd(ej)，对应的单位取样响应为hd(n,1、从时域分析误差 频域采样定理：在频域02之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n,分析：如果Hd(ej)有间断点，则hd(n)是无限长的，这样得到的h(n)产生时域的混迭，无法逼近hd(n)。 改进措施：增大N值，使设计出的滤波器愈逼近待设计Hd(ej,2、从频域

19、分析误差 频率域等间隔采样得到N个采样值H(k)，频响函数和H(k)的关系为,内插函数,内插公式,在采样点 =2k/N，k=0,1,N-1处，( -2k/N)=1，因此采样点H(ejk)与H(k)相等，逼近误差为0。 在采样点间，H(ej)由有限项H(k)与( -2k/N)之乘积和形成，其误差与Hd(ej )平滑度有关，越平滑，误差越小。 特性曲线间断点处，误差最大，表现形式为间断点用斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻带衰减减小，有可能满足不了技术要求,误差分析,1)增大N值，但间断点仍无法弥补，带来体积增大，成本增加。 (2) 在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变

20、成缓慢过渡，虽然增加了过渡带带宽(代价），但增加了阻带衰减(收获)。过渡带的优化要借助于计算机优化设计,减小误差措施,总结：频率采样法设计线性相位FIR滤波器步骤 1、根据c 及N的奇偶性，确定滤波器 Hk和 k及kC值； 2、由H(k) = Hkejk，求出 H (k)； 3、对 H (k) 进行 IDFT变换，求出 h(n)； 4、由 h(n) 求出所设计的滤波器的频率响应 H(ejw)，并分析误差，优化设计,例：试用频率采样设计法设计一个FIR线性相位低通滤波器，已知：c =0.5，N=51。画出 |Hd(ejw)|， |H(k)|, 20lg|H(ejw)|曲线,解：在00.5和1.52处的幅度函数为1，其余为0 。采样频率为：2/N 2/51， c51/212.7，所以kc 取值12,画出 |Hd(ejw)|， |Hd (k)|的曲线如下图所示,20lg|H(ejw)|曲线如下图所示,频率采样法特点： 优点： (1) 可以在频域直接进行设计，并且适合于最优化设计； (2) 特别适合于设计窄选频滤波器，因为只有少数几个