现代光学：第二章晶体光学

1、1,第二章 晶体光学,1 晶体 2晶体的介电张量 3 单色平面波在各向异性晶体中的传播 4 晶体光学性质的几何图形表示 5 平面波在晶体表面的反射和折射 6 立方晶系晶体的光学性质 7 单轴晶体的光学性质 双轴晶体的光学性质,2,光电子器件中最常用的材料是固体材料。 固体可分为晶态和非晶态两大类。 作为光传输和传感介质的光纤 通常采用非晶态的熔融石英玻璃等材料拉制而成， 但大多数无源或有源光电子器件则常采用固态晶体材料。 晶体是指内在结构长程有序的固体， 是由某种微观结构按照一定规律在空间宏观地重复所构成。 因此，生长良好的单晶体具有规则的几何外形。 晶体的原子或分子在空间排列上的规则性， 导

2、致许多晶体的光学性质具有空间上的各向异性。 正因为如此，在光学、光电子学范畴， 只要提到各向异性介质，人们首先想到的就是晶体材料,3,按照光的电磁理论观点， 当光波进入晶体时，在光波电磁场的作用下， 晶体原子或分子将发生极化。 若晶体介质结构具有各向同性，则极化具有各向同性； 若晶体结构具有各向异性，则极化也具有各向异性， 从而使光波电磁场的传播具有各向异性。 由此可见，晶体在光学上的各向异性， 反映了晶体在与入射光波电磁场相互作用时具有各向异性， 这种各向异性的根源在于晶体具有各向异性结构,晶体光学的规律是包括各向同性介质在内的更普遍的规律,4,晶体在光学上的各向异性的微观机制是： 第一，组

3、成晶体的各基元(包括原子、离子或它们的集团) 本身就是各向异性的， 故当它们按某一规则组合在一起时， 宏观上就可以表现出各向异性来。 第二，各向同性基元在组成晶体时， 排列方式存在着各向异性， 从而使晶体在宏观上表现出了各向异性。 第三，当晶体被光波照射时， 其中的束缚电荷在光波电场的作用下要发生位移， 在不同的方向上反应出不同的位移量,5,由电磁学知道， 束缚电荷的不同位移量对应着介质的不同极化， 表征这种极化的物理量就是介电常数。 由于晶体的极化程度与入射光波行进的方向有关， 因而介电常数的取值也与此方向有关。 此时介电常数不再是标量，而是张量。 晶体的物理性质在很大程度上取决于它本身的对

4、称性， 从而表征各向异性晶体的物理量具有张量性质。 显然，在分析晶体的物理性质时， 必然要通过张量这个数学工具来研究物理量的对称性,6,物体相同部分有规律地重复称为对称,一 晶体的宏观对称性,晶体的对称性不仅具有几何意义，同时也包含了物理意义。 对称性是晶体的一种重要特性，也是晶体分类的基础,对称操作是依据对称要素来进行的。 在晶体范围内，对称操作意味着将结点排列、 方向或晶面转移到 其它有相同结点排列、方向或晶面的位置上去， 并且在对称操作前后，上述要素是等同的,对称操作： 联系对称图形中各相同部分虽经运动 而又能使其复原的动作,对称要素： 表示个别对称操作的几何要素(点、线、面,7,1 晶

5、体对称要素的基本原理,在晶体的空间点阵结构中， 任何对称轴都必与一组直线点阵平行； 任何对称面都必与一组平面点阵平行， 而与一组直线点阵垂直,晶体的对称性定律 ： 晶体中对称轴的轴次 ， 并不是可以有任意多重，而是仅限于,由于晶体内部具有点阵结构，因而在晶体结构中， 有些对称要素的取向及其可能存在的种类数目 就必定要受到点阵的限制,8,晶体中可以只存在一个宏观对称要素， 也可能有两个以上要素按一定方式组合起来而共同存在。 当两个对称要素组合时，必将产生第三个对称要素。 第一，晶体的多面体外形是一种有限图形， 因而各对称要素组合时必须通过一个公共点 第二，晶体具有周期性的点阵结构， 任何对称要素

6、组合的结果， 都不允许产生与点阵结构不相容的对称要素,宏观对称要素的组合原理,晶体的宏观对称要素组合时， 一般的程序是先进行对称轴与对称轴的组合； 在此基础上扩大为对称轴与对称面的组合； 最后再扩大为对称轴、对称面与对称中心的组合,9,2 晶体中的对称操作,1 ) 对称中心 （用 标记,与之相对应的对称操作称为反演（或倒反）。 如果以对称中心为坐标原点，则对称中心的作用是,与之相对应的对称操作称为反映（或镜像,2 ) 对称面（或镜面) （用 标记,晶体中的对称操作和对称要素可分为两类， 即宏观的和微观的。 在作为有限图形的结晶多面体中，只可能存在宏观对称要素,每一个点经过对称面反映转移到其镜像

7、的位置上,10,3 ) 旋转轴（或对称轴）（用 或 标记,与之相对应的对称操作称为旋转。 当进行旋转对称操作时， 图形本身转过一定角度后可能发生重合,旋转轴的度数,晶体由于受到内部构造的限制， 可能存在的转轴度数不是任意的， 只能存在1，2，3，4，6度转轴， 不能有5度或高于6度的转轴存在,其中最小的角度称为基转角，以 表示,由于任何有限图形在旋转一周后必自相重合,表示旋转一周时晶体相同部分发生重合的次数,因此基转角必须能整除,11,4 ) 度像转轴,一种复合对称要素,晶体的像转轴也只能有 ， ， ， ， 度,度像转轴就是中心反演（对称中心），即,度像转轴就是垂直于该轴的对称面（镜面,度像转

8、轴的效果与3度旋转轴加上对称中心的总效果一样,度像转轴的效果与3度旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果一样,其相应的对称操作是旋转倒反,即绕某一固定转轴旋转 角度后,再经过中心反演，晶体能自身重合,只有4度旋转轴是独立的,12,晶体的宏观对称性中只有以下八种基本的对称操作要素,13,3 晶体的宏观对称类型,14,4 晶系,晶体中的所有格点可以用选取任意格点为原点的矢量来表示,、 是晶格重复单元的边长矢量,表征了晶体结构最小的周期性单元,晶胞,晶胞并非指,根据晶胞类型的不同， 即与其相对应的晶胞形状的差异， 可以把的32个点群划分为七个晶系,用 、 、 表示 、 、 之间的夹角,为晶胞参数，共同

9、规定了晶胞的大小和形状，即晶胞的类型,15,1 ) 三斜晶系,属于这个晶系的对称类型有两种,因为 和 既无对称轴又无对称面，故,可取,16,2 ) 单斜晶系,属于这个晶系的对称类型有三种,它们或有2度转轴，或有对称面,取 沿2度转轴或沿对称面法线方向,而 、,所以坐标系的特点是,17,3 ) 正交晶系（斜方晶系,属于这个晶系的对称类型有三种,它们都有互相垂直的对称方向， 所以坐标系的特点是,可取,18,4 ) 正方晶系（四角晶系,属于这个晶系的对称类型有七种,它们都有一个4度转轴,有4度像转轴,取为轴,皆垂直于,所以坐标系的特点是,19,5 ) 六角晶系,属于这个晶系的对称类型有七种,它们都有

10、6度转轴（其中 、 有6度像转轴,垂直于 轴取两个相交角 的水平轴作为 、 轴,对于有6度转轴的情形， 、 分别垂直于6度转轴,对于有铅直对称面的情况， 、 分别垂直于铅直对称面,所以坐标系的特点是,20,6 ) 三角晶系,属于这个晶系的对称类型有五种,这里，或有3度旋转轴，或有3度像转轴,所以坐标系的特点是,21,7 ) 立方晶系,属于这个晶系的对称类型有五种,所以坐标系的特点是,这里晶轴或沿4度转轴或沿2度转轴,22,一 各向异性晶体的极化,2晶体的介电张量,二 介电张量的对称性,三 介电张量的对角化,四 晶体的光学分类,五 晶体的主折射率,1 各向同性晶体,2 单轴晶体,3 双轴晶体,2

11、3,一 各向异性晶体的极化,对于各向同性介质,由于晶体具有各向异性结构（立方晶系除外）， 当光波电磁场进入晶体介质时， 晶体原子或分子的极化具有各向异性。 在不同的方向上，各向异性晶体中的原子、分子、 离子集团的正负电荷中心被拉开的距离不同。 同样的电磁场，在不同的方向上产生的极化强度不同,电场强度矢量与电位移矢量之间的关系,由于 为标量，因而 与 具有相同的方向,对于各向异性晶体,24,各向异性晶体,极化强度与电场强度方向不再平行,在 方向上加一大小相同的电场,在 方向分别产生极化,由于晶体具有各向异性结构， 相同电场强度在不同的方向 产生的极化强度不同,假定,如果加电场强度 ，产生极化强度

12、,25,如果重新选择坐标,把 方向选为 的方向,由于加的电场强度没有变， 产生的极化强度不会变。 但由于坐标系变化,而产生的极化强度除沿电场强度方向有分量外， 还有垂直方向的分量,加在 方向的电场强度为零,可见，在 方向加电场，在 方向均极化,26,如果在 方向加电场,产生的极化强度除沿 电场强度方向有分量外， 还有垂直方向的分量,可见，在 方向加电场，在 方向均极化,把这种情况推广到三维空间， 即可得到最普遍的结果,27,推广到三维空间,28,电位移矢量,29,定义介电张量,相对介电张量,在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。张量概念包括标量、向量和线性算子。张量可以用坐标系

13、统来表达，记作标量的数组，但它是定义为“不依赖于参照系的选择的,30,电位移矢量矩阵形式,31,二 介电张量的对称性,应用能量守恒原理于晶体内部所发生的电磁过程， 可以证明介电张量或相对介电张量是一个对称张量,电磁场的能量密度,32,连续性方程,33,三 介电张量的对角化,在数学上，通过坐标轴旋转， 可以将一实对称张量化为对角形式,34,任何一种介质，均存在这样3个相互正交的方向,该介质的介电张量即可表示为对角矩阵,这3个特殊方向称为介质的介电主轴,相应的3个张量元素,介质的主介电常数,任何介质都存在介电主轴方向， 选取介电主轴方向为坐标轴的方向时， 介电常数张量可以对角化,35,四 晶体的光

14、学分类,1 各向同性晶体,对于“立方晶系”，在主轴坐标系中，其介电张量为,晶体的介电性质具有 空间各向同性,是一个标量,这种晶体在光学上是各向同性的,36,2 单轴晶体,对于“三角晶系、四角晶系、六角晶系”， 在主轴坐标系中，其介电张量为,其主介电常数只有两个独立分量,37,1）当,电位移矢量 电场强度矢量 的方向一致,这表明，当 沿 轴方向时,电位移矢量 与电场强度矢量 的方向一致,38,2）当,电位移矢量与电场强度矢量的方向一致,这表明，当 沿 轴正交( 平面)方向时,电位移矢量 与电场强度矢量 的方向一致,39,一般情况下，电位移矢量,后面我们会看到， 此类晶体只有一个方向不发生双折射，

15、 即一根光轴。 这种晶体在光学上称为单轴晶体,40,3 双轴晶体,对于“正交晶系、单斜晶系、三斜晶系”， 在主轴坐标系中，其介电张量为,其主介电常数有三个独立分量,41,双轴晶体的介电特性在整个空间具有各向异性,后面我们会看到， 此类晶体有两个方向不发生双折射，即两根光轴。 这种晶体在光学上称为双轴晶体,一般情况下,电位移矢量 与电场强度矢量 的方向不一致,只有当 沿某个介电主轴方向,即 、 、 时,电位移矢量 与电场强度矢量 的方向一致,42,五 晶体的主折射率,主折射率,正晶体,负晶体,各向同性晶体,双轴晶体,单轴晶体,一般取单轴晶体的主折射率,可测常数,可测常数,折射率,43,44,大连

16、理工大学 物理与光电工程学院 詹卫伸,45,3 单色平面波在各向异性晶体中的传播,假定在非磁性晶体中无自由电荷和传导电流分布， 各向异性晶体中的麦克斯韦方程组及相应的物质方程分别表示为,对照均匀各向同性介质的情况,光在晶体中的传播特性可由麦克斯韦方程来求解,46,一 晶体中的电磁场,波矢量为 的单色平面波,代入麦氏方程组得,垂直于平面,能流密度矢量,垂直于平面,但不能得出 与 平行的关系,实际上，上节晶体中 与 不平行,47,共面，并与 垂直,场量的空间取向,各向异性晶体中， 两组右手螺旋关系： 电位移矢量D与磁场强度矢量H 和波矢量k ； 电场强度矢量E与磁场强度矢量H 和能流密度矢量s,a

17、,a,E,D,S,H,k,离散角,48,晶体光学中的一个重要结论,在晶体中，一般来说， 光线方向S与波法线k方向不同,光波能量传播方向与等相面 的传播方向不相同,离散角,49,二 光波与光线,能流方向即光能量传播方向,光线方向,波矢量方向,波面法线方向,在各向异性晶体中， 平面波的波法线方向 与其能量传播方向即光线方向 一般不一致,与波面法线方向正交的是光波的电位移矢量,而不是电位移矢量,而不是电场强度矢量,与光线方向正交的是电场强度矢量,50,1 电磁场能量密度,电磁场能量密度,磁场能量密度,电场能量密度,各向同性介质,离散角,51,2 光波相速度与光线速度,在各向异性晶体中， 由于光线方向

18、与波面法线方向不一致， 故各向异性晶体中光波的相速度 (即光波波面法线速度，即等相面传播速度) 与光线速度(能量的传播速度)不相等,光波相速度是等相面传播的速度,52,光线速度是单色光波能量的传播速度， 其方向为能流密度(坡印廷矢量)的方向， 大小等于单位时间内流过垂直于能流方向 上的一个单位面积的能量除以能量密度,53,单色平面光波的相速度是其光线速度 在波阵面法线方向上的投影,在一般情况下，光在晶体中的相速度与光线速度分离， 其大小和方向均不相等。这是晶体光学的基本现象之一,54,通常所讲的折射率， 是真空中光速与介质的波法线速度之比， 称为法线折射率，简称折射率,3 法线折射率和光线折射

19、率,可以从形式上定义一个“射线折射率” （或“能流折射率”,55,单色平面波在各向异性晶体中的传播 与其在各向同性介质中传播相比较， 最根本的差别就是法线速度（相速度） 与光线速度（光速）不同， 或者说波阵面法线方向与光线方向分离,物理起因,电场矢量的振动方向与电位移矢量的振动方向不同,56,三 晶体光学的基本方程,晶体光学的第一基本方程,正是由于电位移矢量与电场强度矢量 方向不同， 导致波矢量方向与电场强度矢量方向不垂直,表示在给定波法线方向的情况下， 电位移矢量与电场强度矢量的关系,与 不平行（而 ），导致,为 沿垂直波法线方向矢量 ( 方向)的分量,57,晶体光学的第二基本方程,为 沿垂

20、直光线方向矢量 （ 的方向）的分量,表示在给定能流方向矢量的情况下， 电位移矢量与电场强度矢量的关系,正是由于电位移矢量与电场强度矢量 方向不同， 导致能流方向与电位移矢量方向不垂直,与 不平行（而 ），导致,58,四 菲涅耳方程,1 菲涅耳法线方程,由第一基本方程得到,59,菲涅耳波法线方程给出了单色平面波在晶体中传播时,说明对一定的晶体， 折射率或相速度是随波矢量方向的变化而变化的， 即沿不同的方向，光波有不同的传播速度， 这就是晶体的光学各向异性,因为菲涅耳波法线方程是二次方程， 所以给定一个波矢量方向， 可能对应两个折射率或两个相速度,晶体折射率与光波波法线方向矢量 之间的关系,60,

21、由菲涅耳波法线方程的第一式，得到方程,若已知波法线方向矢量,则可由菲涅耳方程求得光波在晶体中的折射率,61,由上述方程式可给出两对不相等的实根,其中两个正实根即代表着晶体中所存在的 与波法线方向矢量对应的两种折射率,可求出对应于某一 波法线方向矢量下 的光波电位移矢量,62,从以上分析可知，在各向异性介质(晶体)中， 光波的结构是这样的,进一步分析表明，这两个光波都是线偏振光， 且这两个偏振方向是相互垂直的,我们一般性地从理论上证明了双折射的存在,允许且只允许两个单色平面波在其中传播,对于任何给定的波法线方向,这两个单色平面波具有不同的偏振方向(,和不同的传播速度,它们与该方向波矢量 的两个不

22、同的折射率 对应,63,2 菲涅耳射线方程,是光在晶体中传播时,由第二基本方程，得到 菲涅耳波射线方程,光线菲涅耳公式将 光线折射率 (或光线速度 ) 与光线方向联系起来,光线方向 、光线折射率 和主介电常数,之间必须满足的关系式,64,对于给定的光线方向， 晶体中允许的 两个电场强度 是相互垂直的,由于方程是关于光线折射率 平方的二次方程,因此，对每一个给定的光线方向,一般来说有两个光线折射率 与之对应,65,五 单色平面电磁波在晶体中的结构,1 单色平面电磁波在晶体中的传播方向,由晶体光学的第一基本方程，得到下列方程,这是一个关于 的齐次方程组,其中 是已知的晶体常数， 在具体问题中是给定

23、的,电场强度矢量 和 方向上的折射率 是待求的量,在这三个方程中包含四个未知数,因而只能求出 和,66,要使方程组有非零解，其系数行列式必为零,67,这是关于 的一元二次方程，一般应有两个根,带回方程组，得两个基础解系,进而得到,从而得到，给定波法线方向 后,电磁波在晶体中传播的波射线方向的两个解 和,电磁波的这一传播特性可以用下面的流程图表示,68,2 单色平面电磁波在晶体中的偏振状态,可以证明,在给定波矢量 的情况下,当 时， 垂直于,69,3 单色平面电磁波在晶体中的传播特性,各向异性晶体中， 对应一个给定的光波法线方向， 可能存在两种不同的光波折射率， 从而有两种不同的光波相速度,70

24、,两个折射率 即确定,从而两个电位移矢量 确定,故晶体中存在的两种光波均为平面偏振光,并且两个电位移矢量相互正交(,由于波法线方向矢量 确定时,71,一般情况下， 由于电位移矢量与电场强度矢量的方向不同,即光线方向也不一定重合，于是出现双折射现象,故两光波电振动（ ）方向不一定正交,且光波能量传播方向（,72,单色平面电磁波在晶体中的传播特性,各向异性晶体中， 对应一个给定的光波法线方向， 可能存在两种不同的光波折射率， 从而有两种不同的光波相速度,由于波法线方向矢量确定时，两个折射率即确定， 从而两个电位移矢量确定， 故晶体中存在的两种光波均为平面偏振光， 并且两个电位移矢量相互正交,一般情

25、况下，由于电位移矢量与电场强度矢量的方向不同， 故两光波电振动方向不一定正交，且光波能量传播方向， 即光线方向也不一定重合，于是出现双折射现象,麦克斯韦方程,晶体的各向异性,介电常数,电场E与电位移矢量D不平行,晶体光学第一基本方程,表示在给定波法线方向的情况下， 电位移矢量与电场强度矢量的关系,表示在给定能流方向矢量的情况下，电位移矢量与电场强度矢量的关系,晶体光学第二基本方程,菲涅尔光线方程,菲涅尔射线方程,小节,74,75,大连理工大学 物理与光电工程学院 刘琨,76,4 晶体光学性质的几何图形表示,几何方法的直观性是解析方法所缺乏的。 几何方法仅仅是一种表示方法， 必须以由解析方法导出

26、的物理方程和基本关系作为基础， 并且两种方法所得出的结论应该一致,常借助于一些几何图形来表征晶体的光学性质,简便而有效地解决光波在晶体中的传播问题： 光波的传播方向、各矢量之间的关系、光波的偏振状态、 与各个传播方向相对应的光速或折射率的空间取向分布,常用的几何图形有： 折射率椭球（光率体）、波矢面（折射率面）、 法线面、光线面等三维曲面,77,一 折射率椭球（光率体,为表示属于给定波法线方向 的两个折射率 和,以及 矢量的两个偏振态 和,菲涅耳提出了一个单层空间曲面,称为折射率椭球，又称光率体,由在介电主轴坐标系中， 各向异性晶体的物质方程,可以将各向异性晶体中光波场的电场能密度表示为,78

27、,这是一个椭球方程,椭球的3个轴线方向 就是晶体的三个介电主轴方向， 其半轴长度就等于晶体在 该方向的主折射率,对于任一特定的晶体，折射率椭球由其光学性质 (主介电常数或主折射率)唯一确定,79,1 折射率椭球的物理意义,它是表示晶体折射率 （对某个确定的频率） 在晶体空间各个方向上 （光波的电位移矢量方向） 全部取值分布的几何图形,通过椭球中心的每一个矢径的方向， 代表电位移矢量的一个方向， 其长度即为其电位移矢量在此方向振动的光波的折射率,80,只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量， 就可以作出相应的折射率椭球， 从而通过上述的几何作图法确定出 与波法线矢量相应的两个特定线偏振光 的折射

28、率和电位移矢量的振动方向,折射率椭球可以简称为,81,2 折射率椭球的一般性质,半轴矢径分别是,垂直的平面（称为中心截面,过坐标原点作与波法线矢量,的交线是一椭圆,平面 与椭球面,用拉格朗日 条件极值法 可以证明,82,与波法线相对应的两个折射率分别为,与波法线相对应的两个 电位移矢量振动方向 分别平行于这个椭圆的 两个主轴方向,83,只要给定了晶体的介电张量，就可以作出折射率椭球， 从而用几何作图法定出与任一波法线矢量相应的,两个折射率,电位移矢量的两个方向,84,在折射率椭球中,与折射率椭球,两个主轴方向,就是该波法线方向的,两个光波的电位移矢量,而两个半轴长就分别是,的振动方向,垂直的平

29、面,通过中心与波矢量,相交椭圆 的,与两个光波的电位移矢量相应的折射率,85,3 折射率椭球的应用,电位移矢量 与折射率椭球 的交线是椭圆,是椭圆上,平行于该电位移矢量对应的电场强度矢量的方向,与电位移矢量 平行的矢径端点,若已知波法线 的方向，则其垂直方向即为 的方向,而相应的 的方向即为 点处折射率椭球的法线方向,86,设椭圆的两个焦点是 和,则 、 的外角平分线 就是过 点的切线,过 向 引垂线,则 的方向就是 点处的法线方向,也就是与 （ ）相应的 的方向,而 （ ）方向就是与 相应的 方向,87,二 折射率曲面和波矢曲面,以晶体内某一固定点为原点,当波矢量 取所有的方向时， 矢径端点

30、所形成的双壳层曲面,折射率曲面或波矢曲面,在同一波法线方向上画出,两个长度分别等于折射率的矢径,矢径长度等于相应的两种光波的折射率,矢径的方向平行于某一给定的波法线方向,88,由菲涅耳法线方程,它是一个双层空间曲面方程,可求其主轴坐标系中的方程,89,矢径直接表示了波法线的 方向和相应的折射率， 利用这个曲面可很直观地 得到与波法线方向 相应的两个折射率,由折射率曲面可以 构成波矢曲面,波矢曲面,波矢面与折射率面具有相同的几何形状 数学处理方法相同,所不同的仅在于矢径的长度比例不同,90,折射率曲面和折射率椭球的主要差别是,过椭球中心并与 垂直的平面与椭球面的交线是一个椭圆,折射率椭球是将折射

31、率在光波的电位移矢量方向上 以一定长度的线段表示，是一个单层曲面,折射率曲面则是将折射率值直接在波法线方向上 以一定长度的线段表示,椭圆的两个半轴的长度即为与 对应的两个折射率,半轴的方向即为与 对应的两个矢量的方向,折射率曲面将任一给定方向对应的两个折射率直接表示出来， 但它表示不出相应的两个光的偏振方向,折射率曲面对于光在界面上的折射和反射问题的讨论较方便， 而折射率椭球用于处理偏振效应的问题比较方便,由于晶体的各向异性，在 方向上一般有两个不同的折射率， 故折射率面是一个双层曲面,91,三 法线面,法线面定义为,其特点是： 矢径方向平行于给定光波的波法线方向， 矢径长度等于相应光波的相速

32、度(或法线速度,法线面的形状与折射率面的倒数面的形状是一样的,自晶体中任一点 向,各个方向引出的,法线速度 矢量末端点的轨迹,由矢径 所决定的法线面与由,矢径 决定的折射率面和波矢面的倒数面,其形状完全相同，只是大小不同,法线面实际上就等价于折射率面或波矢面的倒数面,92,法线面方程是一个双层空间曲面方程,由菲涅耳方程， 得法线面方程,93,四 光线面,晶体中光波的光线面,光线面的特点是： 矢径方向就是光线方向， 矢径大小就是相应方向的光线速度之大小,从晶体内任一点引向各个方向的,光线速度矢量 的端点的轨迹,94,光线面是一个双层曲面,由菲涅耳光线方程， 得到光线面方程,95,光线面在作标平面

33、上的平面上的投影(截线,在3个坐标平面上， 光线面的截线均为一个圆和一个椭圆,96,五 光线面与法线面的几何关系,取全部方向时所 描绘的曲面是光线面,取全部方向时所 描绘的曲面是法线面,光线面的切面恒 垂直于相应的波法线,法线面是光线面的垂足曲面： 光线面是法线面上 各径矢端点处与径矢 正交平面的包络面。 如果知道了这两个曲面中 某一个面的形状， 就可从这一关系求出另一个面,97,法线面是光线面的垂足曲面： 光线面是法线面上 各径矢端点处与径矢 正交平面的包络面,光线面的切面恒 垂直于相应的波法线,过 点引 方向的矢径,矢径的端点为,全部 点的集合,就构成了光线曲面,过 点作光线曲面的切平面,

34、过 点引光线面切平面的垂线,垂足为,则全部垂足 的集合就,构成了相应的法线曲面,98,法线面是光线面的垂足曲面： 光线面是法线面上 各径矢端点处与径矢 正交平面的包络面,光线面的切面恒 垂直于相应的波法线,如果画出了法线曲面,为法线曲面 上的一点,过 作矢径,的垂面,过 点引与 方向,对应的 方向的直线,直线与平面的交点为,则全部 点的集合,就构成了光线曲面,99,小节,常用的几何图形有： 折射率椭球（光率体）、波矢面（折射率面）、法线面、光线面等三维曲面,椭球的3个轴线方向就是晶体的三个介电主轴方向，其半轴长度就等于晶体在该方向的主折射率,矢径长度等于相应的两种光波的折射率,矢径的方向平行于

35、某一给定的波法线方向,折射率曲面和波矢曲面，矢径端点所形成的双壳层曲面,100,折射率曲面和折射率椭球的主要差别是,折射率椭球是将折射率在光波的电位移矢量方向上 以一定长度的线段表示，是一个单层曲面,折射率曲面则是将折射率值直接在波法线方向上 以一定长度的线段表示,法线面的形状与折射率面的倒数面的形状是一样的,光线面的特点是： 矢径方向就是光线方向， 矢径大小就是相应方向的光线速度之大小,在3个坐标平面上， 光线面的截线均为一个圆和一个椭圆,101,5 平面波在晶体表面的反射和折射,光波在晶体中的传播特性,双折射现象,已知晶体中光波的波法线 方向或光线方向,前提条件,由于双折射的存在，一般情况

36、下，对于一定方向入射的单色平面光波，晶体内将可能同时存在两个不同波法线方向或不同光线方向的折射光波，且这些方向事先并不知道,只有当入射光波方向垂直于晶体表面时， 其折射波法线方向才与入射波方向一致。 也就是说，只有在垂直入射这种特殊情况下，折射波方向才是已知的,研究晶体内的光波传输特性问题时， 必须首先确定折射波的波法线方向或光线方向,102,一 双折射现象,一细光束正入射于一冰洲石表面，将有两束光透射出来， 其中一束光沿入射光方向直接透射，遵从通常的折射定律； 另一束光却从另一高度透射出来， 这意味着这束光在冰洲石体内发生了偏折， 显然，它并不遵从通常的折射定律,双折射,满足通常各向同性介质

37、中折射定律的光， 称为寻常光,不服从通常折射定律的光， 称为非常光,103,大量的实验，总结出如下几点规律,1)对应于一条入射光线，同时有两条折射光线,3)O光和e光的光振动方向相互垂直,2) O光服从折射定律(对单轴晶体而言,4)对于入射光和晶体的某种相对位置或取向下， 只有两个可允许的振动方向的光线通过晶体， 或者说通过晶体后的光线的振动只有两个可允许的方向,一般e光不服从折射定律,而折射方向不相同， 即两光在各向异性物质中传播速度是不同的,104,5)晶体的光轴,晶体中存在一特殊方向，光沿这个方向传播时不发生双折射,6)晶体主截面,光轴指的不是一条线，而是晶体中的一个特定方向,晶体表面的

38、法线和晶体内部的光轴组成的平面 被称为晶体的主截面,晶体表面的法线和光线方向组成的平面被称为入射面,当入射面与主截面重合一致时，e光偏折依然在入射面内,或者说，沿此方向传播时o光与e光的区别已经失去意义,这个特殊方向称为晶体的光轴,当入射面与主截面不一致时，e光有可能不在入射面内,105,二 平面光波在晶体表面上的反射和折射,界面上的任意矢径,入射光波、反射光波和折射光波的波矢量均位于同一平面， 这个平面与分界面正交，即通常所说的入射面,单色平面光波自真空射向晶体,106,此即几何光学中的反射和折射定律表达式,反射和折射定律， 在形式上与各向同性介质 的情况并无不同 但在实质上 它们有很多的不

39、同,107,反射波和折射波的波法线在入射面内， 但它们的光线却可能不在入射面内,在各向异性介质中波法线方向与光线方向一般不同,而上述反射和折射定律表达式中的入射角,反射角 和折射角 ，都是对波法线而言的,介质,晶体,O,108,在各向异性介质中，光的折射率因电矢量的振动方向而异。 光沿不同方向传播时，电矢量的振动方向一般不同， 所对应的折射率也不同,如果光从各向异性 介质内部入射，则,不是常数,折射率 分为 和,由于 一般不等于,所以反射角不等于入射角,即使是光波,109,由于双折射和双反射现象的存在， 所以满足反射和折射定律的,都有两个可能值,110,由晶体内部入射到 均匀介质表面时 的双反

40、射,和是晶体中反射的,两个光波的折射率,和是相应的反射角,111,由均匀介质入射到 晶体表面的双折射,和分别为晶体中,两个折射光波的折射率,和为相应的折射角,112,一般情况下,只有在单轴晶体中,各向异性晶体中的,故通常将各向异性晶体中的折射或反射光波称为非常光,或 为非常数,才可能存在着一种折射或反射光波(某一方向,其波矢量大小为恒定值,双轴晶体有两个这样的方向,因而,故称之为寻常光,或 也为恒定值,113,既然一般情况下,只有对单轴晶体，或双轴晶体的一些特殊方向,即使已确定出了 或 的方向,晶体中 或 并非常数，因此,要从给定的 来确定 或 并不容易,才有可能比较容易地确定出 或,还要通过

41、一定的数学换算,才能得到折射或反射光波的光线方向,114,三 光在晶体界面上的全反射,无论光从各向同性介质射向各向异性介质(晶体)， 或是光从晶体中射向各向同性介质， 只要入射侧介质的折射率大于折射侧介质的折射率， 都可能发生全反射现象,所谓全反射，是指 入射光能量全部反射回入射侧 而不能进入折射一侧,一块方解石棱镜， 光轴与棱镜表面垂直， 当一束自然光正入射到此棱镜时， 在棱镜斜面上将发生双全反射现象,115,对于光从晶体中射向各向同性介质， 情况比较简单，因为透射侧是各向同性介质， 因此，透射波的波法线方向和光线方向是一致的,若折射侧为空气， 折射侧的倒法线面为球面,球面半径为,为入射点,

42、为入射光波法线 的延长线,长度为,为 方向上的一个相速度,只要过 点的垂线不与,折射侧的倒法线面相交， 则会发生全反射,116,过端点 而垂直于界面 的直线与晶体折射率面(双层曲面)中,一层曲面的关系无非有三种情况，即相交、相切、不相交,相交有两个交点， 连接入射点与其中一个交点的方向为透射波波法线方向， 另一个在入射侧而远离界面的交点无意义,不相交则无交点， 说明透射波波法线不存在， 此时已发生全反射,相切时只有一个交点， 说明刚好发生全反射， 切点有可能在晶体内部， 也可能在晶体外部， 与此相对应的入射角即为临界角,因此可由过 点的垂线,与球面相切的条件来决定 发生全反射的临界角,三种情况

43、晶体中折射率面未画,117,需要注意的是， 由于在晶体内部不同方向上的相速度是不相同的， 而且，即使在同一方向上一般也有两个相速度， 它们取决于晶体内部的偏振态， 因此对某一偏振态的光产生全反射时， 有可能对另一偏振态的光并不产生全反射,另外，要发生全反射， 入射侧的折射率必大于折射侧的折射率， 或者说，折射侧的相速度一定要大于入射侧的相速度， 因此，折射侧的倒法线面球面一定在晶体的倒法线面的内侧,只有这样，过 点的垂线才可能不与球面相交,118,当光从各向同性介质射向晶体表面时， 如果要产生全反射现象，情况稍复杂一点。 在这种情况下，入射侧的各向同性介质必定不是空气， 否则不能满足入射侧介质

44、折射率大于折射侧介质折射率条件,另外需要注意的是， 所谓全反射是指全部光能量被反射回入射侧， 即只有光线不再进入透射一侧时，才会发生全反射。 因此决定发生全反射的临界角，不能简单地利用折射定律,令折射角 ( )为 来确定,折射定律是描述折射波和入射波的波法线之间的方向关系, 由于透射侧是晶体,而晶体中光线 和波法线 的方向一般不一致,全反射的临界角应由折射光线在分界面上为条件来确定,利用斯涅耳作图法、倒法线面（折射率面）作图法 和惠更斯作图法都可以确定临界角,119,四 斯涅尔作图法确定波法线和光线的方向,以反射和折射定律为依据,用波矢面确定 反射光、折射光传播方向的几何作图法,120,作图步

45、骤（1,以界面 上的入射点 为原点，在晶体一侧,按同一比例画出入射光所在介质中的波矢面,单位圆和晶体中的波矢面(双壳层曲面,121,作图步骤（2,延长入射光线方向，与入射光单位圆波矢面相交于,入射波矢,122,作图步骤（3,则折射波矢,123,作图步骤（4,124,作图步骤（5,125,光波在晶体表面的折射和反射是非常复杂的， 折射率还与光波的传播方向有关。 要想一般性讨论清楚是很困难的， 只能就具体的应用问题，进行具体的分析。 巧妙地应用光波在晶体表面的折射和反射， 可以制作出各种晶体光学器件。 例如，适当地选择折射率和光波的入射方向， 可以使两束光波中的一束全反射， 另一束折射， 从而制作

46、成偏振器件,126,127,大连理工大学 物理与光电工程学院 詹卫伸,128,6 立方晶系晶体的光学性质,波法线菲涅耳方程,在立方晶系晶体中， 沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率,光波折射率与传播方向无关,立方晶系晶体是各向同性介质,对于立方晶系晶体，其主介电常数和主折射率为,129,一 立方晶体的折射率椭球,椭球蜕化成球,各个方向上的折射率都相等,不会有双折射 与各向同性介质没有区别,130,二 立方晶体的折射率面,双层曲面退化为一个球面,131,三 立方晶体的法线面,双层曲面退化为一个球面,132,四 立方晶体的光线面,各个方向的光速相等，相速度与光线速度相等,双层曲面退化为球面,1

47、33,五 立方晶体中光的传播特性,各量共面,134,对电场强度方向没有约束，沿任意方向传播的光波， 允许的两个传播速度相同的线性不相关的偏振态 (偏振方向正交)， 相应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上,135,7 单轴晶体的光学性质,一 单轴晶体中的双折射,二 单轴晶体的折射率椭球,三 单轴晶体的折射率面,四 单轴晶体的法线面,五 单轴晶体的光线面,六 单轴晶体双折射的斯涅尔作图法,七 晶体界面全反射的斯涅尔作图法,八 惠更斯作图法确定波射线的方向,136,三角晶系、四角晶系、六角晶系,正单轴晶体：石英,负单轴晶体：方解石,这类晶体为什么称为单轴晶体,马上回答,注意：对特定的晶体

48、 和 是常数,137,一 单轴晶体中的双折射,1 主折射率,给定波矢量的方向， 存在着两种具有不同 折射特性的光波,寻常光,非常光,138,选取合适的 轴方向,使给定的波法线方向,位于 平面内,并与 轴夹角为,X、Y轴可以任选 只要X垂直于Y 并与Z垂直,139,当光波沿 轴传播时,光的传播特性如同在各向同性介质中一样， 因此这时单轴晶体只有一种折射率， 光波在这个方向上传播时不发生双折射,表明当光波波法线沿 方向时,光波沿 轴方向传播时,所以对于单轴晶体来说,方向为单轴晶体的光轴方向,晶体内只存在一种光波 寻常光， 不发生双折射现象,140,垂直光轴入射,传播方向相同折射率不同偏振光学基础,

49、当光波垂直于 轴传播时,表明当光波波矢量垂直晶体光轴时， 晶体内将同时存在两种光波,此时 折射率与波矢量在垂直于光轴的平面上的方向无关,和,等于一常数,141,当光波垂直于 轴传播时,一般情况下， 的折射率不是常数,而是随光波波矢量方向不同而在 和 之间变化,当光波沿 轴传播时,142,2 单轴晶体中寻常光与非常光的偏振状态,设坐标轴 分别,波面法线方向矢量,且 与 轴夹角为,由菲涅耳法线方程的分量式得,代表晶体的3个介电主轴,有一单色平面光波,平行于 平面,143,1）寻常光波的偏振方向,方程第二式与第三式构成二元齐次方程组，其系数行列式为,故只有0解,这表明，整个电磁场有非0解的条件是,寻

50、常光波,144,寻常光波,于是 光的电场强度矢量可以表示为,相应的电位移矢量为,单轴晶体中寻常光的电位移矢量与电场强度矢量方向一致,两者同时垂直于晶体光轴与波矢量所在的平面(yz,同时寻常光的波法线与光线方向重合,145,2）非常光波的偏振方向,非常光波,由第一式，因 ，故,对于第二式和第三式构成的二元齐次方程组，系数行列式为,故 和 有非0解， 和 不同时为0,146,非常光波,和 不同时为0,和 不同时为0,在单轴晶体中， 光的 矢量和 矢量均位于,波矢与晶体光轴构成的平面内（ 平面,因而其分别与 光的 矢量和 矢量垂直,光的 矢量在平面内的具体方向,但 矢量与 矢量并不一定重合,可由 和

51、 之比来确定,147,电位移矢量 与 轴之间夹角,电场强度矢量与 轴之间夹角,148,电场强度与电位移、光线与光波法线 可能不同向,非常光,149,非常光,非常光电场强度与电位移 同向、光线与光波法线 同向,注意：非常光与寻常光的电位移矢量垂直 非常光与寻常光的电场强度矢量垂直,非常光与寻常光的光线和光波法线方向相同,当光波沿 方向传播时,沿光轴方向,150,非常光,当光波沿垂直于 方向传播时,在 平面内，沿 轴方向,非常光的电场强度矢量与电位移矢量同方向 非常光的光线（能流）与光波法线同方向,寻常光与非常光光线方向相同,注意：寻常光与非常光的折射率不同,151,3 离散角,光波波法线方向 与

52、光线方向 之间的夹角,这实际上，就是矢量 与矢量 之间的夹角,寻常光离散角,对于 光， 矢量与 矢量一般不平行,光和 光的光线方向 和 与 轴的夹角分别为 和,所以 光的离散角一般不为零,由于 光的光线方向 与波法线方向 一致,所以 光和 光的光线方向 和 之间的夹角,就是 光光线方向 与波法线方向 之间的夹角,光的离散角,对于单轴晶体， 光的 矢量与 矢量平行,152,当或,即光波法线方向平行或垂直于光轴时,这相当于沿光轴入射或垂直于光轴入射,这时，与方向重合、与方向重合,光和光的光线方向重合,153,对于正单轴晶体,非常光的光线较其波法线更靠近光轴,对于负单轴晶体,非常光的光线较其波法线更

53、远离光轴,154,当光波矢量与光轴间的夹角满足,有最大离散角,石英正单晶,方解石负单轴晶,155,156,157,大连理工大学 物理与光电工程学院,158,4 单轴晶体中电磁波的传播特性,在单轴晶体中，对于给定的波矢方向， 可能存在着两种不同的传播特性， 即存在着两种特定偏振方向的光波,寻常光,非常光,对应于某一波法线方向 有两条光线,寻常光线( )和非寻常光线(,159,折射率不依赖于,电场强度矢量 与,电位移矢量 总是平行的,并且始终垂直于波矢量,与光轴 构成的平面,波矢量的方向,光线方向 与,寻常光(,与光在各向同性介质中的传播特性一样， 所以称为寻常光波,波法线方向 重合,160,非常

54、光(,电场强度矢量 和,位移矢量 一般不平行,但始终平行于波矢量 与,晶体光轴 构成的平面,其折射率随波矢量 的方向改变,但仍位于波矢 与光轴 构成的平面内,光线方向 与波法线方向 不重合,光线方向与波矢方向存在一定夹角,这种特性与光在各向同性介质中传播的特性不一样， 所以称为异常光波或非寻常光波,161,162,对于三斜晶系、四斜晶系、六斜晶系的晶体， 这样的晶体方向（光轴）只有一个，因此称为单轴晶体,163,一个直接推论是,164,二 单轴晶体的折射率椭球,以 轴为对称轴的旋转椭球面,正单轴晶体,负单轴晶体,对单轴晶体，其对称特点是只有一个高次轴,即3，4，6次旋转轴或旋转倒反轴,通常取为

55、 轴,165,正单轴晶体,负单轴晶体,1)椭球在 平面上的截线是一个圆，其半径为 。 这表示当光波沿 轴传播时，只有一种折射率的光波， 其电位移矢量 可取垂直于 轴的任意方向。 因此 轴就是单轴晶体的光轴,166,2)椭球在 平面或其他包含 轴的平面内的截线是一个椭圆， 它的两个半轴长度分别为 和 。 这表示波法线方向垂直光轴方向时， 可以允许两种线偏振光波传播， 一种光波的 矢量平行于光轴方向，折射率为 ； 另一种光波的 矢量垂直于光轴和波法线方向，折射率为 。 前者就是 光波，后者是 光波,正单轴晶体,负单轴晶体,167,波法线方向与光轴成角,通过椭球中心且垂直于波法线的平面 与椭球的截线

56、是一个椭圆， 它的两个半轴长度，一个为 ，另一个介于 和 之间。 椭圆截线的两个半轴的方向，是对应于波法线方向的 两种允许的线偏振光波的电位移矢量方向,正单轴晶体,负单轴晶体,168,波法线方向与光轴成 角时的折射率,过椭球中心且垂直于波法线的平面与椭球 的椭圆截线的长短半轴， 就是在波法线方向双折射的两个折射率,169,光波的 矢量沿 轴方向，相应的折射率为,170,光波， 矢量在 平面内，相应的折射率,波法线方向 (在 平面内) 与光轴成 角,171,三 单轴晶体的折射率面,对于单轴晶体，则折射率面方程变为,表示的半径为 的球面,说明在单轴晶体中，沿任一方向传播的两光波中,即 光的折射率曲

57、面是球面,总有一个波的折射率与方向无关，其值为 ，这就是 光,表示旋转椭球面,说明另一光波的折射率与波法线方向与 轴的夹角有关,这就是 光,可见 光的折射率曲面是个以 轴为旋转轴的旋转椭球面,172,正单轴晶体,单轴晶体的折射率曲面,即对于单轴晶体，双层曲面化为个半径为 的球面,由一个球面和一个以 为轴的旋转椭球构成,和一个长、短半轴长度分别为 和 的旋转椭球面,球面和旋转椭球面在 方向相切，切点位于 处,前者即 光折射率面，后者即 光折射率面,173,正单轴晶体,负单轴晶体,对于正的单轴晶体,球面内切于椭球,对于负的单轴晶体,球面外切于椭球,光和 光的折射率才相等,因此， 轴为光轴,即只有当

58、波法线沿 轴时,两种情况的切点均在 轴上,折射率曲面,174,光的折射率,当波法线方向 与 轴成 角时,由波法线与双层曲面的交点，可以确定折射率,由于,波法线与球面的交点可以得到 光的折射率,得到 光的折射率,可见， 光的折射率是常数,175,波法线方向 与 轴成 角时光的折射率,波法线 在 平面内,波法线 与椭球（椭圆）相交于,则 就是 光,在该波法线方向的 折射率,折射率曲面,176,波法线方向 与 轴,折射率曲面,成 角时 光的折射率,177,不发生双折射,产生双折射,折射率曲面,178,四 单轴晶体的法线面,曲面方程为,负)单轴晶体的法线面在坐标平面上的投影,179,在 平面上的投影,

59、圆和一个四次卵形线,除此之外，两者没有交点,因此晶体光轴与 轴重合,卵形线与圆在 轴上相切,180,在 平面上的投影,圆和一个四次卵形线,除此之外，两者没有交点,因此晶体光轴与 轴重合,卵形线与圆在 轴上相切,181,在 平面上的投影,182,将3个平面上的图形综合在一起，即得单轴晶体法线面形状,法线面是由一个球面和,一个与球面在 轴上相切的旋转卵形面构成的 双层曲面,两曲面在轴上相切，故光轴只有一个 轴方向,球面是 寻常光法线面， 旋转卵形面是 非常光的法线面,183,对于正单轴晶体， ，球面在外,对于负单轴晶体， ，球面在内,负)单轴晶体的法线面在坐标平面上的投影,184,五 单轴晶体的光

60、线面,球面:寻常光光线面,旋转椭球面：非常光光线面,两曲面只在 轴方向相切,表明单轴晶体的光线面只有一对交点， 因而也只有一个光线轴,且光线轴与光轴重合，都沿 方向,185,在 平面上的投影,在 平面上的投影,在 平面上的投影,186,六 单轴晶体双折射的斯涅尔作图法,在单轴晶体中， 包含光轴与界面法线的平面，称为主截面,在下面的例子中， 设晶体的上下通光表面互相平行,光由空气经界面进入晶体，这一界面称为晶面,斯涅尔作图法,由折射率曲面（波矢面）， 用作图法确定某一入射波矢量下,晶体中折射光波的波矢量方向（ 、 光,然后确定晶体中折射光的光线方向,187,下面要注意：折射率曲面,188,光波要