研究生现代控制理论课件

1、3.4 离散时间系统的能控性与能观性,1,研究生现代控制理论,由于线性连续系统只是线性离散系统当采样周期趋于无穷小时的无限近似，所以离散系统的状态能控性/能观测性的定义与线性连续系统的极其相似，能控性/能观测性判据则在形式上基本一致,2,研究生现代控制理论,1. 线性离散系统的状态能控性定义,定义： 对线性时变离散系统 x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k) 若对任意非零初始状态x(l)，存在控制作用序列u(k)，使系统在第n步上达到到原点，即x(n)=0，则称状态在时刻l能控; 若状态空间中的所有状态都能控，则称系统状态完全能控; 若存在某个状态不能控,称此系统是状态不完全能控的，

2、简称系统为状态不能控,3,研究生现代控制理论,在上述状态能控性定义中，只要求在n步之内寻找控制作用，使得系统状态在第n步上到达原点。 这是因为,可以证明，若离散系统在n步之内不存在控制作用使得对任意初始状态控制到原点，则在n步以后也不存在控制作用使状态在有限步之内控制到原点。 故在上述定义中，只要求系统在n步之内寻找控制作用,4,研究生现代控制理论,定理 (线性定常离散系统能控性秩判据) 对线性定常离散系统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)，有如下状态能控性判据: 1) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则状态完全能控的充要条件为如下定义的能控性矩阵: Qc=H GH Gn-1H 满秩，即 rank

3、Qc=n 2) 若系统矩阵G为奇异矩阵，则系统状态完全能控的充要条件为 rankQc=rankQc Gn,2. 线性定常离散系统的状态能控性判据,5,研究生现代控制理论,证明 线性定常离散系统状态方程的解如下,设在第n步上能使初始状态x(0)转移到零状态，于是上式可记为,即,6,研究生现代控制理论,上式写成矩阵形式即为,这是一个非齐次线性代数方程组,由线性方程组解的存在性理论可知，上式存在控制序列u(0),u(1),u(n-1)的充要条件为 rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn x(0,7,研究生现代控制理论,考虑到系统的初始状态x(0)是属于n维状态空间中任意一个

4、状态，因此上式等价于 rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn 即证明了系统状态完全能控的充要条件为能控性矩阵满足 rankQc=rankQc Gn 即定理的结论2)得以证明,rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gnx(0,8,研究生现代控制理论,当系统矩阵G满秩时，显然有 rankGn=n 因此 rankH GH Gn-1H Gn=n 所以由结论1可知，在系统矩阵G满秩时，系统状态完全能控的充要条件为 rankQc=rankH GH Gn-1H=n 注意： 若离散系统能控，则经n个采样周期一定可以到达状态空间原点，即 x(n)=0； 若离散系统

5、能控，由任意初始状态转移到状态空间原点一般也可以少于n个采样周期,rankQc=rankQc Gn,9,研究生现代控制理论,解 由线性定常离散系统的能控性矩阵的定义有,但,因此 rankQc=rankQc G2 由定理的结论2可知，该系统状态完全能控,例: 试判断如下系统的状态能控性,10,研究生现代控制理论,解 G为非奇异阵，由系统状态能控性判据有,例: 试判断如下系统的状态能控性，若初始状态x(0)=2 1 0T，确定使x(3)=0的控制序列u(0), u(1), u(2)；研究使x(2)=0的可能性,故系统能控,11,研究生现代控制理论,令 ,可得状态序列,12,研究生现代控制理论,令

6、,有下列方程组,13,研究生现代控制理论,讨论x(2)=0可能性 , 解下列方程组,可见，其系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 的秩为3，两个秩不等，方程组无解，故不能在第二个采样周期内使给定初始状态转移至原点,14,研究生现代控制理论,2 线性离散系统的能观测性 与线性连续系统一样，线性离散系统的状态能观测性只与系统输出y(k)以及系统矩阵G和输出矩阵C有关, 即只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。 下面我们先引入线性离散系统状态能观测性的定义,15,研究生现代控制理论,对初始状态x(l)，根据在n个采样周期内采样到的输出向量y(k) 能唯一地确定系统的初始状态x(0)，则称状态x(l)能观； 若

7、对状态空间中的所有状态都能观，则称系统状态完全能观,简称为系统能观。若存在某个状态x(l)不能观，称此系统是状态不完全能观的，简称系统为状态不能观,定义： 若线性时变离散系统,16,研究生现代控制理论,在线性定常离散系统的状态能观测性定义中，只要求以在n个采样周期内采样到的输出来确定系统的状态。 这是因为，可以证明: 如果由n个采样周期内的输出向量序列不能唯一确定系统的初始状态，则由多于n个采样周期的输出向量序列也不能唯一确定系统初始状态。 对线性定常离散系统，存在与线性定常连续系统在形式上完全一致的状态能观测性判据,17,研究生现代控制理论,满秩,即 rankQo=n,定理：线性定常连续系统

8、(G,C)状态完全能观的充分必要条件为如下定义的能观测性矩阵,18,研究生现代控制理论,证明 本定理的证明可直接由线性代数方程组的解唯一性理论给出。 由线性定常离散系统的状态空间模型的求解公式,可得 y(0)=Cx(0) y(1)=Cx(1)=CGx(0) y(n-1)=Cx(n-1)=CGn-1x(0) 将上述n个方程写成矩阵的形式,有,19,研究生现代控制理论,因此,由线性方程的解存在性理论可知，无论输出向量的维数是否大于1，上述方程有x(0)的唯一解的充分必要条件为 rankQo=n 由能观测性的定义可知，上式亦为线性定常离散系统(G,C)状态完全能观的充要条件,20,研究生现代控制理论

9、,例： 试判断如下系统的状态能观测性,解 由状态能观测性判据有,系统完全能观测,注意：系统完全能观测意味着至多经n步便可由输出y(k),y(k+1),y(k+n-1)的测量值来确定n个状态变量,21,研究生现代控制理论,该系统为三阶系统，能观测意味着至多以三步便能由y（k），y（k+1），y（k+2）的输出测量值来确定三个状态变量,22,研究生现代控制理论,例： 试判断如下系统的状态能观测性,解 由状态能观测性判据有,系统不完全能观测,23,研究生现代控制理论,由输出方程,可看出三步的输出测量值中始终不含x2(k) ，故 x2(k)是不能观测状态变量。只要有一个状态变量不能观测，称系统不完全能

10、观测，简称不能观测,24,研究生现代控制理论,3 连续动态方程离散化后的能控性和能观测性 这里所要讨论的线性定常连续系统离散化后的状态能控性/能观测性问题，是指： 1. 线性定常连续系统经离散化后是否仍能保持其状态能控性/能观测性? 2. 离散化系统能控性和能观测性与原连续系统的能控性/能观测性之间的关系? 该问题是计算机控制中一个十分重要的问题。 在具体讨论之前，先看一个例子,25,研究生现代控制理论,解 1. 求原连续系统的能控性和能观测性。 因为,故原连续系统是状态完全能控且完全能观的,例： 判断如下线性定常连续系统离散化后的状态能控性和能观测性,26,研究生现代控制理论,2. 求连续系

11、统的离散化系统. 根据离散化方法有,27,研究生现代控制理论,即经离散化后的系统状态空间模型为,28,研究生现代控制理论,3. 求离散化后的系统的状态能控性和能观测性。 能控性矩阵和能观测性矩阵为,由于系统矩阵G非奇异矩阵，故离散化系统的状态完全能控和完全能观的充分必要条件为能控性矩阵Qc和能观测性矩阵Qo均满秩,29,研究生现代控制理论,因此，此时离散化系统是既不能控又不能观的。 若取Tk(k=1,2,)，即sinT0,cosT1，则有 |Qc|=sinT(-sin2T-cos2T+2cosT-1)=2sinT(cosT-1)0 |Qo|=sinT0 即Qc和Qo均为满秩矩阵，则此时离散化系

12、统状态完全能控又完全能观,若取T=k(k=1,2,),即sinT=0,cosT=1,则有,30,研究生现代控制理论,从上述例题中可以清楚地看出： 若连续系统是状态完全能控/能观的，经离散化后能否保持系统的状态完全能控/能观，这完全取决于系统采样周期的选择,31,研究生现代控制理论,经精确离散化的状态空间模型为,其中,对离散化系统的状态能控性/能观测性与原连续系统的状态能控性/能观测性以及采样周期T的选择的关系有如下结论: 设线性定常连续系统的状态空间模型为,32,研究生现代控制理论,则连续系统(A,B,C)和其离散化系统(G,H,C)两者之间的状态能控性和能观测性关系为: 1. 如果连续系统状态不完全能控(不完全能观)，则其离散化系统必是状态不完全能控(不完全能观)的； 2. 如果连续系统状态完全能控(能观)且其特征值全部为实数，则其离散化系统必是状态完全能控(能观)的； 3. 如果连续系统状态完全能控(能观)且存在共轭复数特征值，则其离散化系统状态完全能控(能观)的充分条件为： 对于所有满足Rei-j=0的A的特征值i和j应满足 T2k/Imi-j k=1,2,3, 其中符号Re和Im分别表示复数的实数部分和虚数部分,33,研究生现代控制理论,利用上述离散化系统能控性/能观测性结论，有