隐形圆解决最值及面积问题-含答案

1、定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。）【一般解题步骤】让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45、60或者一个确定的三角函数的对角等）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。确定圆心位置，计算隐形圆半径。求

2、出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。典型例题讲解1.如图，ABC中，AC3，BC，ACB45，D为ABC内一动点，O为ACD的外接圆，直线BD交O于P点，交BC于E点，弧AECP，则AD的最小值为（ ）A1B2CD解：CDPACB45BDC135（定弦定角最值） 如图，当AD过O时，AD有最小值 BDC135BOC90 BOC为等腰直角三角形 ACO454590 AO5又OBOC4 AD5412.如图，AC3，BC5，且BAC90，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（ ）ABC5D解：连

3、接AE AD为O的直径AEBAED90E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心O时，CE有最小值为3.如图，在ABC中，AC3，BC，ACB45，AMBC，点P在射线AM上运动，连BP交APC的外接圆于D，则AD的最小值为（ ）A1B2CD解：连接CD PACPDCACB45BDC135如图，当AD过圆心O时，AD有最小值BDC135BOC90OBOC4又ACO90AO5 AD的最小值为5414.如图，O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，ACAP交直线PB于点C，则ABC的面积的最大值是（ ）ABCD5.如图，O的半径为1，弦AB1，点P为优弧AB上一动点，ACAP交直线PB于

4、点C，则ABC的最大面积是（）ABCD6.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作M，射线OF交M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点当射线绕O点旋转时，CD的最小值为_解：连接DM D是弦EF的中点 DMEF 点D在以A为圆心的，OM为直径的圆上运动当CD过圆心A时，CD有最小值，连接CMC为弧AB的中点CMAB CD的最小值为7.如图，AB是O的直径，AB2，ABC60，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为_ 解：连接ODD为弦AP的中点ODAP点D在以AO为直径的圆上运动当CD过圆心O时，CD有最小值，过点C作CMAB于MOBOC，ABC60OBC为

5、等边三角形OM，CMOCCD的最小值为8.如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连结BD，则BD的最小值是（ ）A B.6 C. D.4 【思路探究】根据E为AB中点，BEBE可知，点A、B、B在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B是动点，当E、B、D三点共线时，BD的长最小，此时BDDEEB，问题得解.【解析】AEBE，BEBE，由圆的定义可知，A、B、B在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. BD的长最小值= DEEB.故选A【启示】此题属于动点（B）到一定点（E）的距离为定值（“定点定

6、长”），联想到以E为圆心，EB为半径的定圆，当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E、B、D三点共线时，等号成立.9.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF，连接CF交BD于点G，连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得AHB90，故点H在以AB为直径的圆上.取AB中点O，当D、H、O三点共线时，DH的值最小，此时DHODOH，问题得解.【解析】由ABEDCF，得ABEDCF，根据正方形的轴对称性，可得DCFDAG，ABEDAG，所以AHB90

7、，故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中点O，OD交O于点H，此时DH最小，OH，OD，DH的最小值为ODOH.【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H在以AB为直径的圆上，点D在圆外，DH的最小值为DOOH.当然此题也可利用的基本模型解决.如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连结BD，则BD的最小值是（ ）A B.6 C. D.4 【思路探究】根据E为AB中点，BEBE可知，点A、B、B在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B是动点，当

8、E、B、D三点共线时，BD的长最小，此时BDDEEB，问题得解.【解析】AEBE，BEBE，由圆的定义可知，A、B、B在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. BD的长最小值= DEEB.故选A【启示】此题属于动点（B）到一定点（E）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E为圆心，EB为半径的定圆，当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E、B、D三点共线时，等号成立.【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF，连接CF交BD于点G，连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是

9、. 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得AHB90，故点H在以AB为直径的圆上.取AB中点O，当D、H、O三点共线时，DH的值最小，此时DHODOH，问题得解.【解析】由ABEDCF，得ABEDCF，根据正方形的轴对称性，可得DCFDAG，ABEDAG，所以AHB90，故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中点O，OD交O于点H，此时DH最小，OH，OD，DH的最小值为ODOH.【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H在以AB为直径的圆上，点D在圆外，DH的最小值为DOOH.当然此题也可利用的基本模型解决.【针对训练 】1. 如图，在

10、ABC中，ACB90，AC2，BC1，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在轴正半轴上运动时，点C随之在轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（ ）.A B C D3 作AC的中点D，连接OD、BD，OBOD+BD，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，BD=，OD=AD=AC=1，点B到原点O的最大距离为1+故选C2.如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，E是矩形内部的一个动点，且AEBE，则线段CE的最小值为（ ）.A B. C. D.43. 如图，在ABC中，AB10，AC8，BC6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的运点，连接PQ，则PQ

11、长的最大值与最小值的和是（ ）.A.6 B. C.9 D. 优质解答如图，设 O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交 O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，AB=10，AC=8，BC=6，AB2=AC2+BC2，C=90，OP1B=90，OP1ACAO=OB，P1C=P1B，OP1=AC=4，P1Q1最小值为OP1-OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值=5+3=8，PQ长的最大值与最小值的和是9故答案为：94.如图，AC3，BC5，且BAC90，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（ ）.A. B. C.5 D.5如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BFAE交CD于点F，垂足为G，连结CG，则CG的最小值为（ ）A B C. D. 6如图，ABC、EFG是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FG相交于点M，当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是 A B C. D. 7如图，在边长为2的菱形ABCD中，A60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连结AC，则AC长度