随机变量及其函数概率分布

1、第二章 随机变量及其函数的概率分布2.1 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其概率分布.三、 计算下列各题1. 袋中有10个球，分别编号为110，从中任取5个球，令表示取出5个球的最大号码，试求的分布列。 解 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且 所以的分布列为 5 6 7 8 9 10 2. 一批元件的正品率为，次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第次首次测到正品，试求的分布列。解 的取值为1，2，3， 且 . 此即为的分布列。3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令为取出的球的号码，试求的分布列及分布函数。 解 的分布列为 1 2 3

2、由分布函数的计算公式得的分布函数为 4. 设随机变量的分布律为。 求 解 5. （1）设随机变量的分布律为为常数，试确定。（2）设随机变量只取正整数值，且与成反比，求的分布律。 解 （1）因为 及，所以（2）令类似上题可得 。所以的分布律为 6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求的概率分布解 =0, 1, 2, 3, =“汽车在第个路口遇到红灯.”，=1，2，3.=, =，= 01231/21/41/81/8为所求概率分布7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出

3、现6点为止, 试求抛掷次数的概率分布律.四、证明题试证明： 2.3 连续型随机变量及其概率密度函数三、计算下列各题1. 设连续型随机变量的密度函数为；求的分布函数。解 ， 2. 设随机变量的分布函数为；求的密度函数。解 3. 设连续型随机变量的密度函数为；（1） 求常数，使； （2）求常数，使。解 （1）因为 ，所以故。（2） 因为 4. 在半径为，球心为的球内任取一点，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。 解 当时，设，则点落到以为球心，为半径的球面上时，它到点的距离均为，因此，所以，的分布函数为的密度函数为 5. 设随机变量的分布函数为,+,试求 (1) 系数与, (2) P (

4、11), (3) 的概率密度函数.解 6. 设随机变量的概率密度为, 以Y表示对进行三次独立观察中出现的次数,求概率P(=2).解 p = P ()=, 由已知 (3, )所以 7. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从，问（1） 要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？（2） 要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？解 （1）因为 所以走第二条。 （2）类似的走第一条。2.4 随机变量函数的分布三、计算下列各题1. 设随机变量的分布律如下，求的分布律。 -2 -1 0 1 2 解 1 2 5 2. 设随机变量在上服从均匀分布，求的密度函数。解 的密度函数为 （1） 设，则有 。 所以 ，因此当及时，由知；当时，由知，所以所求密度函数为（2） 类似的可得：3. 设，求的密度函数。解 （1）的密度函数为 ，的分布函数为 所以的密度函数为 （2）的分布函数为 所以的密度函数为 4. 设随机变量的概率密度为；求的概率密度。解 所以 5. 若球的直径D的测量值在上均匀分布，求球的体积V的概率密度。6. 将长度为2的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的概率。四、证明题1. 设 证 2. 设随机变量X服从参数为0.5的指数分布, 证明