第2讲　解析几何中的“瓶颈题”

1、第2讲 解析几何中的“瓶颈题”【突破解析几何】第2讲 解析几何中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第8188页)数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、解析几何(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇).其中三角函数和立体几何属于基础问题，若能够拿下应用问题和解析几何题，就攻下全部中下档题目，便锁定了128分，应该认为这已打了一个大胜仗，基本上已经进入了“第一方阵”(本科行列).解析几何重点考查的内容是：直线与方程，圆方程，圆锥曲线的定义，标准方程及其应用，离心率、焦点、准线和渐近线等简单的几何性质以及

2、数学学科内在的联系和综合.解析几何解答题重点考查的内容是：圆锥曲线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系.常考常新的题型有轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几何证明、实际应用和探究性问题等.圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，其难度往往体现在运算上，尤其是代数式的运算，“降低运算量”应视为解答解析几何综合问题的首要理念，只有将运算量有效地降下来，才能回避繁重的计算.因而，如何降低其运算量是突破解析几何问题的关键.【解法概述】举题说法 突破瓶颈回归定义，追根溯源定义是事物本质属性的概括与反映.圆锥曲线的定义不但是推导圆锥曲线方程的依据，也是常用的解题方法.事实上，圆锥曲线的很多性质都是由定义派生出来

3、的.对某些圆锥曲线问题、甚至一些从表面上看并不是圆锥曲线问题的问题，若采取“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的，这样可使计算量大大减少.例1 如图，圆C：(x+2)2+y2=36，P是圆C上的任意一动点，点A的坐标为(2，0)，线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.求点Q的轨迹G的方程.(例1)【分析】因为QA=QP，所以QC+QA=QC+QP=CP=r=6，再根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C，A为焦点，长轴长等于6的椭圆.【解答】圆C的圆心为C(-2，0)，半径r=6，CA=4，

4、连接QA.由已知得QA=QP，所以QC+QA=QC+QP=CP=r=6CA.根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C，A为焦点，长轴长等于6的椭圆，即a=3，c=2，b2=a2-c2=9-4=5，所以点Q的轨迹G的方程为+=1.【点评】应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感.定义法是解析几何中最朴素、最基本的数学思想方法，能够说它是求动点轨迹或其方程的重要方法之一.练习1 如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是椭圆C1和双曲线C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则双曲线C2的离

5、心率为 .(练习1)【分析】在RtAF1F2中使用椭圆的定义、双曲线的定义及勾股定理求解.【答案】【解析】设双曲线的方程为-=1(a0，b0)，则AF2+AF1=4，AF2-AF1=2a，得AF2=2+a，AF1=2-a，而c=，由题意得(2)2=(2-a)2+(2+a)2，解得a=，所以e=.【点评】也能够通过椭圆C1与圆x2+y2=3(以F1F2为直径的圆)求得交点A后，把点A的坐标代入双曲线C2求其离心率，但运算量较大.练习2 如图，已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若=4，则|= .(练习2)【分析】过点Q作QM直线l于点M，

6、设直线l与x轴交于点N，由PQMPFN求QM，再利用抛物线的定义求QF.【答案】3(练习2)【解析】如图，过点Q作QM直线l于点M，设直线l与x轴交于点N，因为=4，所以=.又FN=4，则=，所以QM=3，由抛物线定义知QF=QM=3.【点评】本题也可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线FP：y=k(x-2)与y2=8x联立求y1，y2(含k)，再通过=求k的值，然后求出点Q的坐标，最后求QF，但运算非常大.所以若能灵活地使用圆锥曲线的定义考虑问题，可使解答更为直观、运算量更低.设而不求，多思少算例1 已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：(x-1)2+(y-1)2=1，求两圆公共弦所在

7、直线的方程.【分析】容易想到联立两个方程求得两圆的交点坐标，并利用“两点式”求出直线方程.不过明显计算量较大.事实上，考虑设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A同时满足圆C1和圆C2的方程，即+=1且(x1-1)2+(y1-1)2=1，所以+-(x1-1)2+(y1-1)2=1-1=0，即得x1+y1-1=0，所以点A的坐标满足方程x+y-1=0为一个直线方程，同理，点B亦满足这个直线方程.综上可知，点A与点B均在直线x+y-1=0上，故而两圆公共弦即交点连线所在直线方程就是x+y-1=0.上述分析似乎很烦，但若能明白其中的道理，可以简化解题过程.【解答】设C1和C2的交点为A

8、(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，B(x2，y2)同时满足x2+y2-(x-1)2+(y-1)2=0，即x+y-1=0，所以lAB：x+y-1=0就是所求.【点评】本题解题思路言简意赅，只是思考的过程多了，利用“设交点而不求交点，但利用它解题”便可以使解题过程简单明了.例2过椭圆+=1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在直线的方程.【解答】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).因为M(2，1)为AB的中点，所以x1+x2=4，y1+y2=2.又A，B在椭圆上，则+4=16，+4=16，以上两式相减得(-)+4(-)=0，所以(x1+x2

9、)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，所以=-=-=-，即kAB=-.故所求直线的方程为y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0.练习已知A，B是双曲线x2-=1上的两点，AB的中点为M(1，2).(1) 求直线AB的方程；(2) 如果线段AB的垂直平分线与该双曲线交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆?为什么?【解答】(1) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减，得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，由题意得x1x2，x1+x2=2，y1+y2=4，所以=1，即kAB=1.故直线AB的方程为y=x+1.(2) 假设A，B，C，D四

10、点共圆，且圆心为P.因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB的垂直平分线CD上.又弦CD过圆心P，故圆心P为CD的中点.下面只需证CD的中点P满足PA=PB=PC=PD，即只需证PA=PC.由得A(-1，0)，B(3，4)，求得直线CD的方程为y=-x+3.由得C(-3+2，6-2)，D(-3-2，6+2)，所以CD的中点P(-3，6).由PA=2，PC=2，即PA=PC，所以PA=PB=PC=PD，即A，B，C，D四点在以点P(-3，6)为圆心、2为半径的圆上.平几渗透，数形结合解析几何首先是几何问题，一味强调解析几何中的代数运算有时会导致繁琐的过程，而如果能在进行计算的同时综合考虑几何因素的话

11、，即在用代数方法研究曲线间关系的同时，充分利用好图形本身所具有的平面几何性质，常可得出简捷而优美的解法.例1已知A(3，0)是圆x2+y2=25内的一个定点，以A为直角顶点作RtABC，且点B，C在圆上，试求BC中点M的轨迹方程.【分析】B，C都为圆x2+y2=25上的动点，可引进角参数，设出B，C的坐标，然而这将导致繁复的运算.如果注意到由“垂径定理”知OMBC(O为原点)，那么再结合CAB=90，AM=BM=CM=BC，即可迅速解题.(例1)【解答】设M(x，y)，如图，连接OC，OM，MA，因为M为BC的中点，则由垂径定理知，OMBC，所以OM2+MC2=OC2.因为在RtABC中，AM

12、=BM=CM=BC，所以OM2+AM2=OC2，即x2+y2+(x-3)2+y2=25，所以点M的轨迹方程为x2+y2-3x-8=0.【点评】“垂径定理”的使用，让我们在寻找M的坐标中的x与y的关系时，跳过了两个动点B，C，而直达一个非常明确的结果OM2+AM2=OC2.这大大减少了运算量.例2如图，已知点P是圆O：x2+y2=1上第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线交椭圆C：+y2=1于Q(x1，y1)，R(x2，y2)(y1y2)两点，椭圆C的右焦点为F(，0).(例2)(1) 求证：PQ+FQ=2；(2) 求QR的最大值.【分析】(1) 由两点间的距离公式求QF(用x1表示)，由勾股

13、定理求PQ(用x1表示)；(2) 同理PR+FR=2，有QR+QF+FR=4，结合QRQF+FR求解.【解答】(1) 由点Q(x1，y1)在椭圆上得+=1，则QF=2-x1，PQ=x1，即PQ+FQ=2.(2) 由(1)同理得PR+FR=2，则QR+QF+FR=4.又QRQF+FR2QR4，即QR2，所以当QR过点F时取得最大值2.【点评】运用平面几何知识，可降低运算量、直观地解决问题.如：(1) 线段垂直平分线：已知线段AB，动点P满足PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上.(2) 三角形：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；等腰三角形的两底角相等，且两底角必为锐角；两个特殊直角

14、三角形.(3) 四边形：对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线之积的一半；平行四边形的对角线互相平分(反之也行)；菱形的对角线互相平分且互相垂直(反之也行)；矩形的对角线互相平分且相等(反之也行)；正方形的对角线互相平分、垂直、相等(反之也行)，其中含有等腰直角三角形.(4) 圆：直径所对的圆周角为直角(反之也行)；垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦(反之也行).练习1设抛物线x2=2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线x2-y2=3相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p=.【分析】由ABF为等边三角形，得到点B的坐标，再代入双曲线方程求p的值.【答案】6【解析】由ABF为等边三角形

15、，知B，代入x2-y2=3解得p=6.练习2已知点A(1，1)，B(2，2)，点P是x轴上一动点，则PA+PB的最小值为，|PA-PB|的最大值为.【分析】点A关于x轴的对称点为A(1，-1)，则PA+PB=PA+PBAB.【答案】【解析】点A关于x轴的对称点为A(1，-1)，则PA+PB=PA+PBAB=；|PA-PB|AB=.同理推算，整体代换例1(1) 如图，设抛物线P：y2=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，且OAOB，+=，求四边形AOBC面积的最小值.(例1)(2) 已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，-y1)是双曲线上不同的两个动点

16、，求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程.【分析】(1) 设直线OA：y=kx，与y2=x联立可求得点A的坐标(用k表示)，由OAOB，知OB为y=-x，只需将点A坐标中的k替换为-即得点B的坐标，再求S=OAOB的最小值.(2) 求得直线A1P与A2Q的方程后，将两方程相乘，结合-=1整体消去x1，y1，即得直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程.【解答】(1) 依题意，知直线OA，OB的斜率存在，设直线OA的斜率为k，由于OAOB，设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-x，由消去y，得k2x2-x=0，解得x=0或x=，所以点A，同理得点B(k2，-k)，由+=，知四边形AOB

17、C是平行四边形.又，则四边形AOBC是矩形，其面积S=|=2.当且仅当k2=，即k2=1时，等号成立，即四边形AOBC的面积的最小值为2.(2) 由A1，A2为双曲线的左、右顶点知，A1(-，0)，A2(，0)，直线A1P为y=(x+)，直线A2Q为y=(x-)，两式相乘得y2=(x2-2).又点P(x1，y1)在双曲线上，得-=1，即=，故y2=-(x2-2)，所以直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为+y2=1(xy0).【点评】在(1)中，得到点A后，只需用-替换k，即得B(k2，-k).遇到类似的东西，只需将结果作“同理推算”(替换)即可，不必重算一遍.在(2)中，也可联立A1P与A2

18、Q的方程，解得交点的坐标后，再消去x1，y1，求轨迹E的方程，但运算要大很多.“同理推算”与“整体运算”是降低运算量的有效方法，它可以化繁为简，直奔结果.练习1已知抛物线C：x2=4y，设点P(x0，y0)为直线l：x-y-2=0上一定点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程.【解答】由x2=4y得，y=x2，求导得y=x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，则x1x0-2y0

19、-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解，所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.练习2如图，已知A，B分别为曲线C：+y2=1(y0，a0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C于点T.点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点.试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(练习2)【分析】设S(a，2m)，求直线AS，求点T的坐标.若O，M，S三点共线，有BTOS.【解答】由题意得A(-a，0)，B(a，0)，设S(a，

20、2m)，则直线AS的方程为y=(x+a).由得(m2+1)x2+2am2x+a2(m2-1)=0，设T(x1，y1)，则-a与x1是方程的两个实根，有(-a)x1=，所以x1=-，而y1=(x1+a)=，有T，若O，M，S三点共线，则BTOS，即=0，所以(a，2m)=0，化简得(a2-2)=0，由m0，得a2=2，而a0，则a=.【点评】由所给的图形发现方程已有一个实根-a，结合韦达定理即可求得另一个根，比起用公式法求方程的根方便很多.【专题突破】分类解密专题突破 求曲线方程中的“瓶颈题”例1已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1，x2+(y-2)2=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点

21、与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0，1)与点M(x，y)的距离为n.(1) 求圆C的圆心轨迹L的方程；(2) 求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.【分析】(1) (条件)L上的点到两个已知圆的圆心距相等(目标)圆C的圆心轨迹L的方程(方法)根据平面几何知识作出推断，L为两圆圆心的垂直平分线.(2) (条件)点M的轨迹满足的几何条件(目标)点M的轨迹Q的方程(方法)归结为圆锥曲线定义，确定圆锥曲线方程的系数写出轨迹方程.【解答】(1) 两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1(0，-4)，C2(0，2)，由题意得CC1=CC2，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(

22、0，-1)，直线C1C2的垂直平分线的斜率等于零，故线段C1C2的垂直平分线方程为y=-1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2) 因为m=n，所以M(x，y)到直线y=-1的距离与到点F(0，1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y=-1为准线、点F(0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，所以轨迹Q的方程是x2=4y.【点评】本题命题立意是通过对已知条件的分析、逻辑推理判断曲线的类型后求出其轨迹方程，考查逻辑推理能力在求轨迹方程中的运用，其特点是解轨迹方程不以计算为主，而以推理为主.练习如图，动点P(x0，y0)为椭圆C：+=1外一点，且过点P作椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.(练

23、习)【解答】设其中的一条切线方程为y-y0=k(x-x0)，联立消去y，得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0，令=18k(y0-kx0)2-4(9k2+4)9(y0-kx0)2-36=0，即(y0-kx0)2-4-9k2=0，所以(-9)k2-2x0y0k+-4=0，设k1，k2为上述方程的两根，因为两切线相互垂直，所以k1k2=-1，当-90时，k1k2=-1，所以+=13；当-9=0时，此时P(3，2)也符合+=13，综上，所求点P的轨迹方程为+=13. 圆锥曲线中的最值与范围问题中的“瓶颈题”例1如图，在平面直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y

24、2=2px(p0)的准线的距离为.点M(t，1)是抛物线C上的定点，A，B是抛物线C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.(例1)(1) 求p，t的值；(2) 求ABP面积的最大值.【分析】(1) (条件)点M在抛物线上、点P到抛物线准线的距离(目标)求p，t(方法)根据已知列方程组，解方程组即得；(2) (条件)直线OM的方程、点P坐标、抛物线方程(目标)ABP面积的最大值(方法)利用AB的中点的坐标为参数建立ABP面积的函数关系式，通过函数的最值求解.【解答】(1) 由题意知(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)，由题意，设直线AB的斜率为k(k0).由

25、得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2，故k2m=1，所以直线AB的方程为y-m=(x-m)，即x-2my+2m2-m=0.由消去x，整理得y2-2my+2m2-m=0，所以=4m-4m20，y1+y2=2m，y1y2=2m2-m.从而AB=|y1-y2|=.设点P到直线AB的距离为d，则d=.设ABP的面积为S，则S=ABd=|1-2(m-m2)|.由=4m-4m20，得0m1.令u=，0u，则S=u(1-2u2).设S(u)=u(1-2u2)，00)，即-=1，其一个焦点为(0，)，则()2=4+，得=1，所以双曲线C的标准方程为-x2=1.(2) 因为双曲线C的两条渐近线方程为y=2

26、x，设A(m，2m)，B(-n，2n)，m0，n0，P(x，y)，由=，得点P的坐标为，将点P的坐标代入-x2=1，化简得mn=.设AOB=2，因为tan=2，所以tan =，sin =，sin 2=.又OA=m，OB=n，则SAOB=OAOBsin 2=2mn=+1.记f()=+，f()=1-=，由f()=0得=1，当1时，f()0，f()递减；当10，f()递增.又f=，f(1)=2，f(2)=，即f()，则SAOB，所以AOB面积的取值范围是.【点评】考虑点坐标的求解与图形结构的特征是解决解析几何综合问题的两种有效途径，在解决问题的过程中，若能将两种思路渗透到解题当中，灵活结合，效果更佳

27、. 圆锥曲线中定点与定值问题中的“瓶颈题”例1已知中心在原点、焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线y2=-4x 的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆的两条切线，切点分别是A，B.(1) 求椭圆的方程；(2) 若在椭圆+=1(ab0)上的点(x0，y0)处的椭圆的切线方程是+=1，求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标.【分析】通读题目，可以发现出题者要我们做的是寻求圆锥曲线中的“动中之静”.本题突出了直线与椭圆方程联立后消元的方向，使得问题得到简化.【解答】(1) 设椭圆方程为+=1(ab0).抛物线y2=-4x的焦点是(-1，0)，故c=1.又=，所以a=2，b=

28、，所以所求的椭圆方程为+=1.(2) 设切点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l上一点M的坐标为(4，t)，则切线方程分别为+=1，+=1.又两切线均过点M，即x1+y1=1，x2+y2=1，即点A，B的坐标都适合方程x+y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是x+y=1，显然对任意实数t，点(1，0)都适合这个方程，故直线AB恒过定点C(1，0).【点评】此解法按题目的叙述经过逐步解决，将问题叙述翻译为数学语言，翻译完成，题目也就解决了.可见，此题涉及的是直线与椭圆相交的位置关系，且有一交点已确定，因而点P的坐标容易求得.练习在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动

29、点，已知点A(，0)，B(-，0)，且直线PA与PB的斜率之积为-.(1) 求动点P的轨迹E的方程；(2) 过点F(1，0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M，Q不重合)，求证：直线MQ过定点.【分析】(1) (条件)PA与PB的斜率之积为-(目标)求点P的轨迹方程(方法)直接设点代入.(2) (条件)椭圆方程、直线系过点(1，0)等(目标)直线MQ恒过定点(方法)以参数表达直线系方程、代入椭圆方程，设出M，N的坐标，得出点Q坐标，设出直线系MQ的方程，证明直线过定点.【解答】(1) 由题意知=-，化简得+y2=1(y0)，即为轨迹E的方程.(2) 方法一：设M(x1

30、，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，-y2)，l：x=my+1，代入+y2=1(y0)，整理得(m2+2)y2+2my-1=0，所以y1+y2=，y1y2=，MQ的方程为y-y1=(x-x1)，令y=0，得x=x1+=my1+1+=+1=2，所以直线MQ过定点(2，0).方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，-y2)，l：y=k(x-1)，代入+y2=1(y0)，整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0，x1+x2=，x1x2=，MQ的方程为y-y1=(x-x1)，令y=0，得x=x1+=x1+=2.所以直线MQ过定点(2，0).【点评】解析几何中证明直线过定点，

31、一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时，方程的成立与参数没有关系，得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.定值问题与此思路基本相同. 探究性问题中的“瓶颈题”例1(2014福建卷)已知双曲线E：-=1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x.(例1)(1) 求双曲线E的离心率.(2) 如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.【分析】(1

32、) 由渐近线求的值，根据c2=a2+b2消去b；(2) 由从图形的结构入手，当直线lx轴时，算得直线l：x=2，它与双曲线-=1相切，当直线l与x轴不垂直时，双曲线也应为-=1，再验证直线l与双曲线相切.【解答】(1) 因为双曲线E的渐近线分别为y=2x，y=-2x，所以=2，有=2，即c=a，于是双曲线的离心率e=.(2) 方法一：由(1)知，双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C，当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则OC=a，AB=4a，又因为OAB的面积为8，所以OCAB=8，即a4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为-=1.若存在满足条件的双曲线E，则E的

33、方程只能为-=1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：-=1也满足条件.设直线l的方程y=kx+m，依题意，得k2或k-2，则C，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y1=，同理y2=.由SOAB=OC|y1-y2|，得=8，即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0，而4-k20，所以=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16).又m2=4(k2-4)，所以=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程只能为-=1.方法二：由(1)知，双曲线E的方程

34、为-=1.设直线l的方程为x=my+t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得-m，由得y1=，同理y2=，设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)，由SOAB=OC|y1-y2|=8，得|t|=8，即t2=4(1-4m2)，由得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.又4m2-12或k-2，由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0，由4-k20，得x1x2=.又因为OAB的面积为8，所以OAOBsinAOB=8，而sinAOB=，所以=8，化简得x1x2=4，所以=4，即m2=4(k2-4)，由(1)得双曲线E的方程为-=1，由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0

35、，因为4-k2b0)的离心率为，定点M(2，0)，椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1MB2.(1) 求椭圆C的方程.(2) 设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，试问：x轴上是否存在定点P，使得PM平分APB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1) (条件)椭圆离心率、MB1MB2(目标)得出椭圆方程(方法)列方程求解椭圆方程需要求出a，b的值.(2) (条件)椭圆方程(目标)直线与椭圆交于两点A，B，判断x轴上是否存在定点P，使PM平分APB(方法)判断点P是否存在，先假设其存在，把几何条件转化为代数条件后得关于点P坐标的方程，这个方程对任意变动的直线恒成立

36、时，若点P的坐标有解则存在，否则不存在.【解答】(1) 由题意得=1-=，即=.依题意，得MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3，所以椭圆C的方程为+=1.(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x=my+2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x，得(4m2+9)y2+16my-20=0，所以y1+y2=，y1y2=.若PM平分APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB=0.设P(n，0)，则有+=0，将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得=0，所以2my1y2+(2-n)(y1+y2)=0.将y1+y2=，y1y2=代入上式，整理得(-2n+9)m=0.由于上式对任意实数m都成立，所以n=.综上，存在定点P，使得PM平分APB.【点评】本题立意是通过圆锥曲线问题考查对数学问题的抽象概括能力、化归转化的思想意识.题目按照解析几何解答题的基本模式进行命制，解题中需要把已知的几何条件逐步转化为代数条件，充分体现了等价转化思想的应用. 解析几何中的证明问题例1如图，已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C过点M(2，1)，离心率为.抛物线C的顶点在原点且过点M.(例1)(1) 当直线l0经过椭圆C的左焦点且平行于OM时，求直线l0的方程；(2) 斜率为-的直线l不过点M，与抛物线C交于A，B两个不同的