高中数学第二册上_第六章_不等式：_6.2算术平均数与几何平均数

1、课 题：算术平均数与几何平均数教学目的：1学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理2理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等3通过掌握公式的结构特点，使用公式的适当变形，提升学生分析问题和解决问题的水平，培养学生的创新精神，进一步增强学生的实践水平教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：ab，cb，那么ba，如果bb(对

2、称性) 即：abba；bb定理2：如果ab，且bc，那么ac(传递性) 即ab，bcac定理3：如果ab，那么a+cb+c 即aba+cb+c推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d(相加法则) 即ab， cd a+cb+d定理4：如果ab，且c0，那么acbc； 如果ab，且c0，那么acb 0，且cd0，那么acbd(相乘法则)推论2 若定理5 若二、讲解新课：1重要不等式：如果证明：当所以，即由上面的结论，我们又可得到2定理：如果a,b是正数，那么证明：，即显然，当且仅当说明：）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）成立的

3、条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数）“当且仅当”的含义是充要条件3均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD,那么，即这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立4关于“平均数”的概念如果 则：叫做这n个正数的算术平均数；叫做这n个正数的几何平均数推广： 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必

4、须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用三、讲解范例：例1已知a,b,cR，求证证明：，以上三式相加：例2 已知x,y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值证明：因为x,y都是正数，所以 （1）积xy为定值P时，有 上式当时，取“=”号，所以，当时，和有最小值（2）和x+y为定值S时，有 上式当x=y时取“=”号，所以，当x=y时，积xy有最大值说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：）函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；）等号成

5、立条件必须存有例3 已知：（ab）（xy）2（aybx），求证：分析：本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式ab2，但要注意条件a、b为正数故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题证明：（ab）（xy）2（aybx）axaybxby2ay2bxaxaybybx0（axbx）（ayby）0（ab）（xy）0，即ab与xy同号均为正数2(当且仅当时取“”号)2点评：我们在使用重要不等式a2b22ab时，只要求a、b为实数就能够了而使用定理：“”时，必须使a、b满足同为正数本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断与是正还是负，是我们今后解题中常用的

6、方法四、课堂练习：1 求证：2 比较大小3 若x-1,则x为何值时,有最小值,最小值为几?答案：当x=0时,有最小值1思考：已知a,b,x,yR+且x+y=1,求的最小值 5已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc分析：对于此类题目，选择定理：（a0，b0）灵活变形，可求得结果答案：a，b，c都是正数ab20；bc20；ca20（ab）（bc）（ca）222abc即（ab）（bc）（ca）abc6已知x、y都是正数，求证：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形

7、答案：x，y都是正数，0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2(2)xy20；x2y220；x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y37求证：（）2分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a2b22ab，恰当变形，是证明本题的关键答案：a2b22ab，2（a2b2）a2b22ab（ab）22（a2b2）（ab）2不等式两边同除以4，得（）2，即（）2五、小结 ：本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都

8、是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具六、课后作业：(1)“ab2”是“aR，bR”的(B )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件(2)设ba0，且ab1，则此四个数，2ab，a2b2，b中最大的是(A )Ab Ba2b2 2ab D (3)设a，bR，且ab，ab2，则必有( B )A1ab Bab1 Cab1D ab1(4)已知a，bR且ab4，则下列各式恒成立的是(B )A B1 2 D(5)若ab0，则下面不等式正确的是( C )A BC D(6)若a，bR且ab，在下列式子中，恒成立的个数为（D ）a23ab2b2 aba3b2

9、a2b3 a2b22（ab1） 2A4 B32 D1(7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且plogc，q，r，则p，q，r的大小关系是(C )Apqr BpqrCrPq Dprq(8)已知xy0，xy1，求证：2证明：xy0，xy1 22 ，即2(9)已知a2，求证：loga（a1）loga（a1）1证明：a2 loga(a1)0,loga(a1)0,loga(a1)loga(a1)loga（a1）loga（a1）2loga（a21）2（logaa2）21即loga（a1）loga（a1）1(10)已知a，bR，证明：log2（2a2b）证明：a，bRlog2（2a2b）log2（2）log2（22）1,即log2（2a2b）(11)若a，b，cR，且abc1，求证：证明：a，b，cR，且abc12（ab）（bc）（ca）（ab）（bc）（ca）（）33故