概率论与数理统计第01章习题解答

1、第一章随机事件及其概率1、解:(1)234,5,6,7(2)2,3,4,2、设A(3)(4)H,TH,TTH,HH , HT,T1,T2,T3,T4,T5,T611 1 B是两个事件，已知 P(A) ,P(B) ,P(AB) ，求 P(A B)，P(AB)，P(AB)， 4281解： P(A) -,P(B)42,p(ab)-2 8P(AB) P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(B) P(AB)P(AB)1 P(AB) 112181 38 878P(A B)(AB) P(AB) (AB)P(AB) P(AB)(ABA B)5 18 81”3、解：用A表示事件“取到的三位数不包含数字P(A)1

2、 1 1C8C9C99008 9 918900254、在仅由0，三位数，（1）解：用A表示事件“取到的三位数是奇心”1, 2, 3,该数是奇(1) P(A)c3c4c43 4 44，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个 数的概率；（2）求该数大于330的概率。数”，用B表示事件“取到的三位数大于 330” 2)P(B)吆C5 A5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球；（2）4只中至少有2只红球；（3）4只中没有白球解：用A表示事件“ 4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”(1) P(A)c；c4c

3、； _120 _ 8 C4495 33(2)用B表示事件“ 4只中至少有2只红球”P(B)22314C4 CgC4 C8C4165 或P(B)134C4C8 Cg =201C1249567165(3)用C表示事件“ 4只中没有白球”P(C)C74C235749599&解：用A表示事件“某一特定的销售点得到k张提货单”P(A)kCn(M1)n7、解：用A表示事件“ 3只球至少有1只配对”，B表示事件“没有配对”(1) P(A)(2) P(B)3 13 2 12 1 13 2 122或 P(A)8、( 1)设 P(A) 0.5,P(B) 0.3,P(AB)0.1，求 P(A B), P(B A),

4、 P(AUB), P(A AUB),P(AB AUB), P(A AB)；(2)袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球 且第三、四次取到红球的概率。解 P(A) 0.5,P(B) 0.3,P(AB)0.1(1) P(AB)込 011P(B) 0.33P(BA)込 01 1P(A) 0.55P(A B) P(A) P(B)P(AB) 0.5 0.3 0.10.7P(A AU B)PA(AU B)P(AU B)P(AU AB)P(AU B)P(A)0.5 5P(AU B)0.7 7P(A

5、B A B)P(AB)0.11P(A B)0.77P(AB)(A B)P(A B)P(AAB)他型鸣1P(AB) P(AB)(2) 设A第i次取到白球i 1,2,3,4，B = 第一、二次取到白球且第三、四次取到红球则, b AAA AP（B）p（AiA；A；）p（a）p（A2 a）p（A|AA2）p（A4|AA2A3）6 2 2 31i 12 13 12840205920.04089、解：用A表示事件“取到的两只球中至少有1只红球”，B表示事件“两只都是红球”方法1P(A) 1 寻 5， P(B)C46C；C41， P(AB)61p(b)6P(BA)P(AB)P(A)15方法2在减缩样本空间

6、中计算1P(BA)-5(1)A ABAB,AB与AB互斥P(A)P(ABAB)P(AB)P(AB) 0.050.450.5同理P(B)P(ABAB)P(AB)P(AB) 0.050.10.15(2)P(B A)P(AB)0.050.50.1(3)P(A)P(A)0.50.5, P(BA)辭0.10.50.2(4)P(B)P(B)0.150.85, P(AB)P(AB)0.459P(B)0.85 17(5)P(AB)P(AB)P(B)0.050.1511、解：用A表示事件“任取6张，排列结果为 gin ger10、解:A表示事件病人以为自己患了癌症，B表示事件 病人确头患了癌症由已知得，P(AB

7、) 0.05, P(AB)0.45, P(AB)0.10, P(AB) 0.40P（A） AA弩丄 A；924012、据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状 A、症状B,有20%勺人只有症状 A,有 30%勺人只有症状B,有10%勺人两种症状都有，其他的人两种症状都没有，在患这种疾病 的人群中随机的选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少有一种症状的概率；(3)已知该人有症状B,求该人有两种症状的概率。解：用A表示事件“该种疾病具有症状 A”，B表示事件“该种疾病具有症状 B ”由已知 P(AB) 0.2，P(AB) 0.3，P(AB) 0.1(1) 设C = 该人两种症状都没

8、有， C ABQS ABU ABUABUAB,且 AB, Ab, AB,AB 互斥P(C) P(A B) 1 P(AB) P(AB) P(AB) 1 0.2 0.3 0.10.4或 Q AU B AB U AB U AB，且AB、Ab、AB互斥P AUB P(AB) P(AB) P(AB) 0.2 0.3 0.1 0.6即 P(C) P(A B) P(AU B) 1 P(AU B) 1 0.60.4(2) 设D = 该人至少有一种症状， DAUBQ AU B AB U AB U AB，且aB、Ab、AB互斥即 P(D) P(AU B) P(AB) P(AB) P(AB) 0.2 0.3 0.1

9、0.6(3) 设E = 在已知该人有症状B,那么该人有两种症状， E AB BB AB AB， AB, AB 互斥P(B) P(AB AB) P(AB) P(Ab) 0.10.30.4日nel、P( AB)BP(AB)0.11即P(E)P(AB B)-P(B)P(B)0.4413、解：用B表示“讯号无误差地被接受”A表示事件“讯号由第i条通讯线输入”，i 1,2,3,4,P(A)0.4,P(A2)0.3,P(A3)0.1,P(A4)0.2;P(BAJ 0.9998，P(BA2)0.9999，P(B A3) 0.9997, P(BA0 0.9996由全概率公式得4P(B)P(Ai)P(B Ai)

10、 0.4 0.9998 0.3 0.9999 0.1 0.9997 0.2 0.9996 0.99978i 114、 一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患有关节炎的病人， 有85%合出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有 4%会认为他患关节炎，已知 人群中有10%勺人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却 患有关节炎的概率。解：用A表示事件“确实患有关节炎的人B表示事件“检验患有关节炎的人15、16、C表示事件:所求为P(C)则 P(A)“一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却患有关节炎”0.85， P(B A) 0.04P(A B)，由已

11、知 P(A) 0.1 , P(B A)0.9，P(B|A) 0.15， P(B A) 0.96由贝叶斯公式得P(A)P(B|A)P(AB)0.1 0.15P(A)P(B A) P(A)P(BA) 0.1 0.15 0.9 0.96。仃解：用D表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”ABC分别表示事件“程序交与打字机 A、B C打字”由已知得P(A)P(D A)由贝叶斯公式得P(AD)P(BD)P(AD)0.6，P(B) 0.3，P(C) 0.1 ；0.01，P(D B) 0.05，P(DC) 0.04P(A)P(D A)P(A)P(D A) P(B) P(D B) P(C)P(DC)6 0.24

12、0.6 0.01 0.3 0.05 0.1 0.0425P(B)P(DB)0.6 0.01P(A)P(D A) P(B)P(D B) P(C)P(DC)3 0.60.6 0.01 0.3 0.05 0.1 0.04 5P(C)P(DC)0.3 0.05P(A)P(D A) P(B)P(D B) P(C)P(DC)0.1 0.040.6 0.01 0.3 0.05 0.1004 25 16解：用A表示事件“收到可信讯息”，B表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得 P(A) 0.95，P(A)0.05，P(B A) 1，P(B A) 0.001由贝叶斯公式得P(A)P(B A)P(AB)0.95

13、1-0.999947P(A)P(B A) P(A)P(B A) 0.95 10.05 0.00117、解：用A表示事件“第一次得H ”，B表示事件“第二次得H ”,C表示事件“两次得同一面”1 1 1 1 1 则 P(A) 2，P(B) 2，P(C)2，1 1 1 1 1P(AB)豕-，P(BC)豕 4，P(AC) 2P(AB) P(A)P(B), P(BC) P(B)P(C), P(AC) P(A)P(C)A, B,C两两独立1而 P(ABC) , P(ABC) P(A)P(B)P(C)4代B,C不是相互独立的18、 解：用A表示事件“运动员A进球” B表示事件“运动员B进球”，C表示事件“

14、运动员C进球”，由已知得 P(A) 0.5，P(B) 0.7，P(C) 0.6贝U P(A) 0.5，P(B) 0.3， P(C) 0.4(1) 设 D, 恰有一人进球，则 Di ABC U ABC U ABC 且 ABC, ABC, ABC 互斥P( DJ P(ABC U ABC U ABC)P(ABC) P(ABC) P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) (A,B,C 相互独立)0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.4 0.5 0.3 0.6 0.29(2) 设 D2恰有二人进球，则 D2 ABC U ABC U ABC 且 ABC

15、, ABC, ABC 互斥P(D2) P(ABC U AbC U ABC)P(ABC) P(ABC) P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) (A,B,C 相互独立)0.5 0.7 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.3 0.60.44(3) 设D3至少有一人进球 ，则D3 AU BUCP(D3) P(AU BUC)i p(aB )i p(ABc)1 P(A)P(B)P(C) (Q A,B,C相互独立)1 0.5 0.3 0.4 0.9419、解：设B表示事件“病人能得救”Ai表示事件“第i个供血者具有A RH血型” i 1,2,3,则

16、 B A U AA2 UA A2AU a A2 A3Ah且 A, AA?, A A2A3, A Ag A3A4互斥，A|, A2, A3, A4相互独立P(B) P(A)p( A)p(AA2A) p(AA2AA4)230.4 0.6 0.4(0.6)0.4 (0.6)0.40.870420、一元件(或系统)正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性，如图设有 5个独 立工作的元件1, 2, 3, 4, 5按先串联后并 联的方式联接(称为串并联系统)，设元件 的可靠性为p，求系统的可靠性。1解：设B 系统可靠，A 元件i可靠, i 123,4,5由已知得P(A)法 1： B AA2 aA4 A5

17、P(B) P(AA2A3A4A5)PS1A2)P(A)P(A4A5)P(A1A2A0 P( A3A4A5)P(AA2A4A5)P(AA2AA4A5)p(ih2,3,4,5)A1, A2,A3,A4,A5相互独立A1, A2, A3, A4, A5 相互独立2p2c 3452p p p法 2： P(B)p(AA2 a A4AOP(AA)P(A3)P(A4A5)A1 , A2 , A3, A4, A5相互独立1p(AA2)1p( a)1P( A4A5)1P(A)P(A2)1 P(A3)P(A( As)A1,A2,A3,A4,A5 相互独立(122234p )(1p)(1 p ) p 2p 2p p21、用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下，若真含有杂质检验结果为含有的概率为；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为；根据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为，。今独立地对一产品进行了 3次检