椭圆题型总结

1、、焦点三角形椭圆题型总结21.设F1、F2是椭圆1右焦点，弦 AB过 巨求 ABF1的面积的最大值。（法一）解：如图，设xF2B(0)，|AF2|m, | BF21 n，根据椭圆的定义,| AFi| 2 3m , | BF1 | 2 3在A AFF1和A BF2F1中应用余弦定理,(2 . 3(2 32 2m)4 m 4mcos22n)4 nn，又 IF1F2I4n cosS F1AB|yB2m .3 cos12吋2|2.3 cos1yA | 2 2 (m n)sin(.3 22cos 3 cos)sin 24.3sin_2sin令sint，所以 0 t 1, m=t-1 ,S ABF1 =

2、4311，t 1,+)4t 4tf(t)=14t 4在t 1,+）上单调递增，且tf(t) 9,+)t=1即m=0时，A ABF1的面积的最大值为4.33AB的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况,注意：上述AB的设法：x=my+1,方程中的m相当于直线 即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。2.如图，M(-2 , 0)和N(2, 0)是平面上的两点，动点P满足:(1)求点P的轨迹方程;(2)若|PM| -PNPM=，求点p的坐1 cos MPNPN6.标.解：(1)由椭圆的定义,点P的轨迹是以MN为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=

3、2,长半轴a=3,从而短半轴b= a2 c25 , 所以椭圆vg.1ia1.由 |PM|gPN1 cosMPN,得 PM gPN cosMPN | PM gPN2.因为cosMPN 1,P不为椭圆长轴顶点，故P、MN构成三角形.在厶PMN中,MN | 4,由余弦定理有将代入，得42PMMNPMPN2 PM gPNcosMPN .2 PN2( PM gPN2).答(21)图故点P在以M N为焦点，实轴长为223的双曲线3由(I)知，点P的坐标又满足x251，所以由方程组5x22X9y23y245,解得3.即P点坐标为3,3/ 3 3(v，或(3.35、)2二、点差法2X定理在椭圆ra2 y b2

4、1 (a b 0)中，若直线l与椭圆相交于M N两点，点3/322 .P(Xo, yo)是弦 MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMNyoXo23.直线I经过点A(1 , 2)，交椭圆红1于两点P、36(1 )若A是线段P1P2的中点，求I16的方程；(2)求RF2的中点的轨迹.解：(1)设 Pi(xi, yi)、Pa(x2, y2),2X1则362X236(X12y12y216X2)(X1X2)36(%y2)(%y2)016 A(1 , 2)是线段 P1P2的中点， X1 +X2=2,2(X1 X2)364(% y2)160，即 *%X1 X2y1+y2=4. I的方程为29(

5、x1) 2，即 2x+9y-20=0 .(2)设P1P2的中点M(x,y)，贝U X1 +X2=2x, y1+y2=2y,代入*式，得k %X1X2空，又直线I经过点A(1 ,9y整理，得4x(x-1)+9 y(y-2)=0 , P1P2的中点的轨迹:1 2(x 2)524.在直角坐标系xOy中，经过点(0, .2)且斜率为k的直线I与椭圆Q.(1 )求k的取值范围;y(y 1)2107x2(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数AB共线如果存在，求 k的取值范围；如果不存在，请说明理由解:直线I的方程为y kx -.2.11有两个不同的交点 P和k，使得向量OP

6、 OQ与kx2,得:1.(2k21)x24、2kx 20.直线l与椭圆1有两个不同的交点,32k28(2k21) 0.解之得：k V 或 k 2、2 2k的取值范围是2(2)在椭圆221中，焦点在x轴上，a .2,b1 ,A(.2,0),B(0,1),AB( .2,1).设弦PQ的中点为M(xo，y。)，则0M (冷，0).由平行四边形法则可知：OP OQ2OMX。y。，从而yoJ 221xo2由kPQ匹b2得:：k21X。a22pMpLOP OQ与AB共线，OM与AB共线.由( 1)可知k时，直线I与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意的常数 k.三、最值问题25. 已知P为椭圆 y2 1上任

7、意一点，M( m 0) (m R),求PM的最小值。4目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设P(x,y)，用距离公式表示出 PM利用二次函数思想求最小值。解：设 P(x,y) , PM= (x m)2y22x px2(x m) 1=2mx 14 V 43 4m 24(x 丁)2m , x -2,2，结合相应的二次函数图像可得(1)如-2 ,3m2,l卩 m3 时，(PM)min=|m-2|.32(1)类似的，亦可求出最大值；(2)椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b，最远的a-c，最远的点是长点是长轴端点，最大值为a; (3)椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点

8、，最小值为 轴右端点，最大值为 a+c;x26. 在椭圆y2 1求一点P,是它到直线I : x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。4目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题 处理方法。的一般线与直提示：(1)可等价转化为与直线I平行的椭圆的切 线I之间的距离；(1)也可以用椭圆的参数方程。2x 2y m 0解法一：设直线 m x+2y+m-0与椭圆 y:225(2)| OF| I X1-X(Sl ABF1 )MaX=12o| V25 9k1相切，则2X2，消去X,得 8y2+4my+rr-4-0,4匸y21 -0,解得 m- 2.2.当m-2 2时，直线与椭圆的切点 P与直线I的距

9、离最近，最近为|1022|-25兰 ,此时点P的坐55标是（.2 ,+ ）；当m=-2.2时，直线与椭圆的切点P与直线I的距离最远，最远为|10 2 2|=2 5，此时点P的455坐标是（.2 ,2）。2解法二：设椭圆上任意一点 P（2cos 0 ,sin 0 ）,0,2）12cos 2sin 101 2sin（10则P到直线I的距离为|2cos 2s 101 =4一V5亦当0二一时，p到直线i的距离最大，最大为 2 5 2卫此时点p的坐标是（.2,丄；452当0 = L时，P到直线|的距离最小，最小为 2 5，此时点P的坐标是（.2 , 2 ）。452说明：在上述解法一中体现了 “数形结合”

10、的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成 两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多 变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。2 27. 设AB是过椭圆 乂 1中心的弦，Fi是椭圆的上焦点，925（1 ）若厶ABF面积为4 .5，求直线 AB的方程；（2）求厶ABF面积的最大值。2 2解：(1)设 AB： y=kx，代入椭圆 1，得 x2=225 2 X1=-X2= |225 2 ,9251 L 25 9k2V 25 9k925又，SL abf1= - | O冋x 仁 X2|=2| x 仁 X2|=4 丁5 ,

11、 I X1-X2F2 75 ,2 225 2 =5,. k=,直线 AB的方程为 y=X。25 9k338. （ 2014金山区一模23题）已知曲线C1专讦= 1（a b 0）所围成的封闭图形的面积为 4 5 ,曲线2、b0,解得：a2=5, b2=4,因此所求的椭圆的标准方程为54（2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（kz 0）, A（xa, yA）,54 ，得 盂:二7，必二t , | OA =,3斗十肿川4 + 5疋4 + 5疋设 Mx, y），由题意得：|MO2=m|OA2, （n0），即：门 J,因为I是AB的垂直平分线，所以直线 I的方程为-厶，代

12、入上式消去 k得:”*,十0,整理得：（m0）,Am当k=0或斜率不存在时，上式仍然成立,综上所述，点M的轨迹方程为XV厂0)10分(3)当k存在且不为零时，由(2):一1 二，* 二，得:-Xy=-13分|AB2=4|OA2=1 ,4+肿400(1 +，)14分(4 + 加)(3 + 砒)40DC1+砂1600(1+P)此时 ABM勺面积的最小值为一-,当且仅当4+5k2=5+4k2时，即k= 1时，等号成立,16分当k=0时，:一、=_ ,-，当k不存在时，w”一 = J =二 1 ,，综上所述,40 ABM勺面积的最小值为918分9.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0,B(O,)是它的两个

13、顶点，直线 y kx(k 0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.uiuuuur(1 )若ED 6DF，求k的值;求四边形AEBF面积的最大值.(1)解：依题设得椭圆的方程为直线 AB, EF 的方程为 x 2y 2, y kx(k 0)如图，设D(Xo, kxo), E(为，kxj, F(X2, kx?),2 2其中X1 X2 ,且X1, X2满足方程(1 4k )x 4，故Vk2 .10 ；uur uur由 Ed 6Df 知 x01Xi 6(X2 Xo)，得 Xo(6X2Xi)7、1 4k由D在AB上知x021 2k22kXo 2，得 x0- 所以1 2k化简得24k225k2 )解

14、法hiAB T22 112 AB(h1360，解得k 或k 38根据点到直线的距离公式和式知，点E, F到AB的距离分别为2kx2 22(1 2k . 1 4k2)2(1 2k 1 4k2)_, h?5(1 4k2)X25(1 4k2)5，所以四边形AEBF的面积为h2)如西；：4k2)2(12k)一厂4k2当2k1，即当k1-时，上式取等号所以2解法二由题设，BO1,AO2 设y1kx1, ykx2,由得x20,y2S的最大值为22BEFSaAEFX22 y2y 0，故四边形 AEBF的面积为、(X2 2y2)2x| 4y； 4x?y2 2m 4k即 2 m20 ,又 m 0，得 m 2 ,

15、故存在m2，使得在其对应的椭圆 x22y2上，对任意的k 0，都有PQPH。图1图 2 (0 m 1)NOQ图 3 (m 1)解法 2:如图 2、3,Xi (0,1)，设 P(x,yJ , H (x2, y2)，则 Q(yj , N(0, yj ,9因为P , H两点在椭圆C上，所以2 2m X122m X222y22m,两式相减可得2m ,2/2 2、m (X1x2 )(y12 y22) 0。依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且 P， H不重合,故(XiX2 )(XiX2) 0。于是由式可得(y1 y2)(y1 y2)(XX2)(XiX2)m2。又Q , N , H三点共线,所

16、以kQNkQH，即竺X1yy2X X2于是由式可得kPQ kPHyy2X1X2而PQ PH等价于kPQ kPH1，即122 m T(y1y2)(y1y2)(X1 X2)(X1 X2)1，又 m 0，故存在m2，使得在其对应的椭圆13.(10浙江/21)已知m 1,直线l:右焦点.(1)当直线I过右焦点F2时，求直线I(2)设直线I与椭圆C交于A B两点,的圆内，求实数m的取值范围.【解】(I)因为直线l : x my又因为m 1,所以m 2 , 故直线(H)设 Ad,%), B(X2,y2)my2 X2m则由2m。2得 m -,/2 ,2壬上，对任意的k 0 ,都有PQ PH2x my的方程;

17、22mx0,椭圆c: r2mVAF1F2，VBFE的重心分别为0经过F2( -m21,0)，所以l的方程为x . 2y2m2，消去X得：2y21c,0), F2 (c,0),1 0.my2m1 04y21 , h,F2分别为椭圆G,H .若原点O在以线段C的左、GH为直径2m 80，知8，且有y1my2,y1y2由重心坐标公式可知G(P?),H(X2,?).GH(为X2)2(% y2)29设M是GH的中点，贝U M (X1X26y1y26由题意可知2 MO|GHX1X2 2y1y2 2即4f(亍门(X1X2)29(y142而 X1X2 y2 (my)(my?22/ 2 m 1m(m 1)()，

18、所以=8 2 81 2-0 ,即m又因为m 1且 0 ,所以1m 2，所以m的取值范围是（1,2）.14.(09山东/22 )设椭圆E:(a, b0)过 M2 , 2) , N、6 , 1)两点,O为坐标原点.(1)求椭圆uuuOAB,且E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆iuuOB若存在，写出该圆的方程，E恒有两个交点A,【解】因为椭圆2E- 2a所以4-a6-a2b71b71，解得11-a118，所以14并求 | AB的取值范围；若不存在，说明理由(a，2 ab2b0)过 M(2, J2 ), N( J6 , 1)两点,8. 椭圆E的方程为兰42y- 1.4

19、假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,厂uju B,且 OAOB，设该圆的切线方程为ykxy解方程组 x28kx2y4，得2卄222(kx m) 8，即(1 2k )x24kmx 2m 8X1设 A（x,y），B(x2,y2)，X1X24kmx2-1 2k2,2m 81 2k2要使OU OB，需使X1X2y2y2 (kx1m)(kx2 m)2k x1x2 km(x1 x2)k2(2m2 8)2k24k2m21 2 k2m2 8k212k22即2m 81 2k2m2 8k21 2 k20，所以 3m2 8k2 8因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的

20、半径为m1 k22m1 k22m 3m 81 -8此时圆x2 y23都在椭圆的内部,所以圆的切线与椭圆必有两个不同的交点，且uuuOAuuu OB .而当切线的斜率不存在时，切线6与椭圆工1的两个交点为3842、632.6 亠 uun uiu )，满足 OA OB .3综上，存在圆心在原点的圆 x28 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点uuA, B,且 OAuuu OB .| AB| .1 k2 为4) (1 2k2)22 8(8k m32k24k4 4k2当k34k2，因为4所以0所以323324k2所以4亦| AB |N X2, y2 ，则 XiX28km3 4k2 片x24m2

21、123 4k2由已知,AMAN,且椭圆的右顶点为A (2,0)x12x22yiy2010分1 k24m2124k2整理得7 m216mk2 x1x2 km 2 x18kmkm 23 4k224k 0 .解得m2k时，直线I的方程为X2m2 42ky kxm2 42k ,2k仝，均满足7过定点（2,0），不符合题意舍去;2k时，直线I的方程为72，过定点（2,0），故直线I过定点，且定点的坐标为(2,0)-13分222由题意8km 4 3 4k 4m 12 0,整理得:20.在直角坐标系xOy中，点M到F1（、3,0）、冃（-、3,0）的距离之和是4,点M的轨迹C与x轴的负半 轴交于点A，不过点A的直线I : y kx b与轨迹C交于不同的两点 P和Q .uuu uuur（1）求轨迹C的方程；（2