椭圆及其性质知识点题型总结

1、椭圆知识清单1.椭圆的两种定义: 平面内与两定点 Fi, F2的距离的和等于定长 2a 2a RF2的动点P的轨迹，即点集M=P| |PF i|+|PF 2|=2a，2a |F 丘| ； ( 2aF1F2 时为线段 RF? , 2aF1F2 无轨迹)。其中两定点Fi, F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=P| PF e, Ov e b0);焦点 F1 (- c, 0), F 2(c, 0)。其中 c ja2 b2 (一个 Rt三角形)2 2(2)焦点在y轴上，中心在原点： X-1 ( a b0);a2 b2焦点 F1

2、 (0, c), F2 (0, c)。其中 c 荷b7注意： 在两种标准方程中，总有 a b 0 , cab并且椭圆的焦点总在长轴上； 两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2-1 (A 0 , B 0 ,心B),当AB时焦点在y轴上。3参数方程：x焦点在x轴，ya cos bsi n(为参数)4 一般方程：Ax2By21(A0,B0)5.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点:2 2:(a b0)有以下性质2 2a b坐标系下的性质： 范围：|x| w a, |y| w b; 对称性：对称轴方程为x=0, y=0,对称中心为 0( 0, 0); 顶点：A1 (-a , 0) , Aa ( a

3、 , 0), B (0 , -b), B (0 , b),长轴 |AA|=2a ,短轴 |B1B|=2b ;(a半长轴长，b半短轴长);2 2 2 2 椭圆的准线方程：对于鶴 1 ,左准线11 : x ;右准线12 : x a bcc焦点到准线的距离2x21,下准线ii: y2；上准线丨2: ycb2(焦参数)c椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短焦半径公式：P ( X0, yo)为椭圆上任一点。|PF1|= r左=a+ex0, |PF 2|= r右 =a-ex 0 ；IPF1F r下 =a+ey0, |PF 2|= r上 =a-ey 0PFmaxa c, PF m

4、in a c，左加右减，上减下加通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,2b 2 径最短=丝_a离心率:。2c e= a平面几何性质:20,1 ； e越大越扁，e 0b (焦距与长轴长之比)a是圆。焦准距pb2准线间距2a2两个最大角F1PF 2 maxF1B2 F2 ,A1 PA2 maxAi B? A?焦点在y轴上，中心在原点:2y_2 ax2P 1 (a b 0)b2的性质可类似的给出。6.(1)2=(2 c)面积：S pf 1f2 = 1 r 1r 2 sin1 22(其中P(x0,y。)为椭圆上一点，丄2c|27.共焦点的椭圆系设法：|PF1| = r

5、1,2把椭圆互2a2y01= c | y |= b tan 2|PF2| = r2,/F 卩艮=)y 1( a b 0 )的共焦点椭圆设为b2焦点三角形应注意以下关系:定义：r i + r 2= 2a余弦定理：r： + r22 2r 1r 2cos2产 1(b2)2x-2a8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e 与坐标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶点坐标，与坐标系有关因此确定椭圆方程需要三个条件：两个定形条件 a,b, 一个定位条件焦点坐标或 准线方程.9.弦长公式：AB J1 k2|x1 x2x1x2cX1X2a(a,b,c为方程的系数考点解析考点一椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运

6、用例1 .椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是()A. 4a B . 2(a c)C. 2(a+c)D.以上答案均有可能Q此焦点与长轴上较近的端点距离为4 2 4，求此椭圆方程2 x例2点P为为椭圆a2y2 1(a b 0)上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求:b2PF1 PF2取得最值时的P点坐标。题型2求椭圆的标准方程 例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴

7、为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且2 x例5.已知实数x, y满足4若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点,F是C的一个焦点，考点二椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例4.在厶ABC中，A 30,|AB| 2,Sabc 3 若以A, B为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e 题型2：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）2y 4I 222,求x yx的最大值与最小值考点三椭圆的最值问题题型1:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值2 2 丄L 1例6.椭圆169 上的点到直线I： x y 90的距离的最小值为题型2.刊 + - PF1、象 的最

8、值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心F-PF率，求目的最小值。Ci +- = 1例7.已知椭圆石 16 内有一点A （2, 1） , F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上|则+ 丹1的动点，求孑的最小值。 的最值。8已知椭圆一 .:内有占八、A (2, 1), F为椭圆的左焦点,P是椭圆上动点，求11 + I刃1的最大值与最小值。3、刊+曲的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P至的距离为d,求m的最小值。+ 1例9.已知椭圆石 16 外一点A (5, 6), d为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点 P2到/的距离为d，求了的

9、最小值。4、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例10.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆宕亠寻刊八占弋上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。考点四 直线与椭圆相交问题题型1直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但0这一制约条件不同意。bi Lx.x2AB丁1 k2xx2J1占% y2 J1 ka (a,b,c 为V kacX|X2a方程的系数)例11.已知直线l过椭圆8x2 9y2 72的一个焦点，斜率为2, l与椭圆相交于 M N两点,求弦MN的长。题型2 “点差法”解题。“设而不求

10、”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直 线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设A(xi,yi) B(x 2,y 2)分别代入椭圆方程；2.设p(xo, yo)为AB的中点。两式相减,%y2XiX2b2(% X2) a2(yi y2)b2Xoa2yo3. 得出k仏一垃XiX2注：一般的，对椭圆2X2 a2 y b2i上弦AB及中点，M，有Kab Komb22 aX2例i2.已知椭圆一2yi，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程2考点五.轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。i.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应

11、满足的方程。2代入法：一个是动点Q(xo,y 0)在已知曲线 F(x,y)=O，上运动，而动点 P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式Xo f (x,y)y。 y(x, y)3. 定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义 求出方程。4. 参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用X f(t为参数)y y(t)来反映x，y之间的关系。常用的参数有斜率k与角等。例13: ABC的一边的的顶点是B（0,6）和C（0,-6），另两边斜率的乘积是4，求顶点A9的轨迹方程：考点六 综合性问题，与平面向量结合（201

12、1四川卷理）（本小题满分12分）椭圆有两顶点 A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0, 1）的直线I 与椭圆交于 C D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于 点Q3（I） 当| CD | =.2时，求直线I的方程；2（ii） 当点p异于A b两点时，求证：OOP OOq为定值。1，设I的方程为y 1 k（x 0）, k为I的斜率.则y kx 12y2彳X12(2 k解：由已知可得椭圆方程为)x2 2kx 102 2(X1 X2)(y1 y2)X 0,得 k2.2由可知，X1 + X2=?k , X1X2=62k212k21代入中并化简，得 x218.10k23因为点Q在直线y= kx + 2上，所以k，代入中并化简，得10(y 2)2 3x2= 18.x由及k2 -，可知0vx2v 3