(完整)(浙大四版)概率论与数理统计知识点总结,推荐文档

1、（1）排列组合公式pn =m!从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数m(m - n)!cn =m!从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数mn!(m - n)!（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个）顺序问

2、题（4）随机实验和随机事件如果一个实验在相同条件下可以重复进行，而每次实验的可能结果不止一个，但在进行一次实验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种实验为随机实验。实验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个实验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次实验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用a来表示。 基本事件的全体，称为实验的样本空间，用w 表示。一个事件就是由w 中的部分点（基本事件a）组成的集合。通常用大写字母 a，b，c，表示事件，它们是w

3、的子集。w 为必然事件， 为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件 a 的组成部分也是事件 b 的组成部分，（a 发生必有事件b 发生）： a b如果同时有 a b ， b a ，则称事件 a 与事件 b 等价，或称 a等于 b：a=b。a、b 中至少有一个发生的事件：a u b，或者 a+b。属于 a 而不属于 b 的部分所构成的事件，称为 a 与b 的差，记为a-b，也可表示为 a-ab 或者 ab ，它表示 a 发生而 b 不发生的事件。a、b

4、同时发生：a i b，或者 ab。a i b=，则表示 a 与b 不可能第 1 章随机事件及其概率29 / 29同时发生，称事件 a 与事件 b 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。w -a 称为事件 a 的逆事件，或称 a 的对立事件，记为 a 。它表示a 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：a(bc)=(ab)ca(bc)=(ab)c分配率：(ab)c=(ac)(bc)(ab)c=(ac)(bc)i ai = u ai 德摩根率： i=1i=1a u b = a i b ， a i b = a u b（7）概率的公理化定义设w 为样本空间， a 为事件，对每一个事件 a 都有一个

5、实数p(a)，若满足下列三个条件： 1 0p(a)1，2 p() =13 对于两两互不相容的事件 a1 ， a2 ，有 pu ai = p( ai) i=1i=1常称为可列（完全）可加性。则称 p(a)为事件 a 的概率。（8）古典概型1 w = a1,a2 lan ，2 p(a) = p(a ) = lp(a ) = 1 。12nn设任一事件 a ，它是由a1 ,a2 lam 组成的，则有p(a)= (a1 ) u (a2 ) ulu (am ) = p(a1 ) + p(a2 ) +l + p(am )= m = a所包含的基本事件数n基本事件总数（9）几何概型若随机实验的结果为无限不可数

6、并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机实验为几何概型。对任一事件 a，p( a) = l( a) 。其中 l 为几何度量（长度、面积、体积）。 l(w)（10）加法公式p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)当 p(ab)0 时，p(a+b)=p(a)+p(b)（11）减法公式p(a-b)=p(a)-p(ab)当 b a 时，p(a-b)=p(a)-p(b)当 a= 时，p( b )=1- p(b)（12）条件概率定义设 a、b 是两个事件，且 p(a)0，则称 p( ab) 为事件 a 发生条p( a)件下，事件 b 发生的

7、条件概率，记为 p(b / a) = p( ab) 。p( a)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 p(/b)=1 p( b /a)=1-p(b/a)（13）乘法公式乘法公式： p( ab) = p( a)p(b / a)更一般地，对事件 a1，a2，an，若 p(a1a2an-1)0，则有p( a1 a2 an) = p( a1)p( a2 | a1)p( a3 | a1 a2) p( an | a1 a2 an - 1) 。（14）独立性两个事件的独立性设事件 a 、 b 满足 p( ab) = p( a)p(b) ，则称事件 a 、 b 是相互独立的。若事件 a

8、、 b 相互独立，且 p( a) 0 ，则有p(b | a) = p( ab) = p( a)p(b) = p(b) p( a)p( a)若事件 a 、 b 相互独立，则可得到 a 与 b 、 a 与 b 、 a 与 b 也都相互独立。必然事件w 和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 abc 是三个事件，如果满足两两独立的条件，p(ab)=p(a)p(b)；p(bc)=p(b)p(c)；p(ca)=p(c)p(a)并且同时满足 p(abc)=p(a)p(b)p(c)那么 a、b、c 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件 b1, b2,l,

9、 bn 满足1 b1, b2,l, bn 两两互不相容， p(bi) 0(i = 1,2,l, n) ，na u bi2i=1， （分类讨论的则有p( a) = p(b1)p( a | b1) + p(b2)p( a | b2) +l + p(bn)p( a | bn) 。（16）贝叶斯公式设事件 b1 ， b2 ， bn 及 a 满足1 b1 ， b2 ， bn 两两互不相容， p(bi) 0， i = 1，2，n ，a un bip( a) 02i=1，（已经知道结果 求原因则p(b / a) =p(bi )p( a / bi )，i=1，2，n。in p(bj )p( a / b j )

10、j =1此公式即为贝叶斯公式。p(bi ) ，（ i = 1 ， 2 ， n ），通常叫先验概率。p(bi / a) ，（ i = 1 ， 2 ， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了n 次实验，且满足u 每次实验只有两种可能结果， a 发生或 a 不发生；u n 次实验是重复进行的，即 a 发生的概率每次均一样；u 每次实验是独立的，即每次实验 a 发生与否与其他次实验a 发生与否是互不影响的。这种实验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利实验。用 p 表示每次实验 a 发生的概率，则 a 发生的概率为1 - p =

11、 q ，用pn(k ) 表示n 重伯努利实验中 a 出现k (0 k n) 次的概率，pn(k ) = ck pk qn-kk = 0,1,2,l, nn，。（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 x 的可能取值为 xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(x=xk)的概率为p(x=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 x 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： x| x1, x2,l, xk ,lp( x = xk )p1, p2,l, pk ,l 。显然分布律应满足下列条件： pk = 1pk = 1,2,l（1）k 0 ，（2） k =1。（2）连续型随

12、机变量的分布密度设 f (x) 是随机变量 x 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有xf (x) = - f (x)dx ，则称 x 为连续型随机变量。 f (x) 称为 x 的概率密度函数或密度函数， 简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1f (x) 0 。+2 - f (x)dx = 1。（3）离散与连续型随机变量的关系p( x = x) p(x x x + dx) f (x)dx积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与p( x = xk ) = pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。第二章随机变量及其分布（4）分布函数设 x 为

13、随机变量， x 是任意实数，则函数f (x) = p( x x)称为随机变量 x 的分布函数，本质上是一个累积函数。p(a x b) = f (b) - f (a)可以得到 x 落入区间(a, b 的概率。分布函数 f (x) 表示随机变量落入区间（，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 0 f (x) 1, - x + ；2 f (x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2) ；3 f (-) = lim f (x) = 0 ， f (+) = lim f (x) = 1；x-x+4 f (x + 0) = f (x) ，即 f (x) 是右连续的；5 p( x

14、 = x) = f (x) - f (x - 0) 。对于离散型随机变量， f (x) = pk ；xk xx对于连续型随机变量， f (x) = f (x)dx 。-（5）八大分布0-1 分布p(x=1)=p, p(x=0)=q二项分布在n 重贝努里实验中，设事件 a 发生的概率为 p 。事件a 发生的次数是随机变量，设为 x ，则 x 可能取值为0,1,2,l, n 。p( x = k ) = pn(k ) = c k pk qn-k ，其中nq = 1 - p,0 p 0 ， k = 0,1,2l，k!则称随机变量 x 服从参数为a的泊松分布，记为x a(a) 或者 p(a)。泊松分布为

15、二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布ck cn-kk = 0,1,2l, l p( x = k ) =m cn n -m , = min(m , n)ln随机变量 x 服从参数为 n,n,m 的超几何分布，记为h(n,n,m)。几何分布p( x = k ) = qk-1 p, k = 1,2,3,l ，其中 p0，q=1-p。随机变量 x 服从参数为 p 的几何分布，记为 g(p)。均匀分布设随机变量 x 的值只落在a，b内，其密度函数f (x) 在a，b上为常数 1，即b - a 1,axbf (x) = b - a其他，0,则称随机变量 x 在a，b上服从均匀分布，记为xu(a，b

16、)。分布函数为0，xb。当ax1x2b 时，x 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为p(x x x ) = x2 - x1 。12b - a指数分布ae-ax ,x 0 ,f (x) =0,x 0 ，则称随机变量 x 服从参数为a的指数分布。的分布函数为1 - e-ax ,x 0 ,f (x) =0,x0。记住积分公式：+ xne -x dx = n!0正态分布设随机变量 x 的密度函数为21-( x-a)f (x) =e2a2 ， - x 0 为常数，则称随机变量 x 服从参数为a、a的正态分布或高斯（gauss）分布，记为x n (a,a2 ) 。f (x) 具有如下性质：1f (x)

17、 的图形是关于 x = a对称的；2 当x = a时， f (a)=1为最大值；2aa 若 x n (a,a2 ) ，(t -a)x2 的分布函数为 f (x) = 1x e- 2a2 dt2aa -。参数a= 0 、a=1时的正态分布称为规范正态分布，记为 x n (0,1) ，-其x 2 密度函数记为a(x) =1e 2 2a， - x + ，分布函数为21x - tf(x) = e 2 dt 。 2a -f(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且 (0) 1 。x - a2如果x n(a,a2) ，则a n (0,1) 。p(x aa)a。（7）函离散型

18、已知 x 的分布列为xx1, x2, l, xn, l ， p( x = xi) p1, p2, l, pn, ly = g( x ) 的分布列（ yi = g(xi ) 互不相等）如下：p(yy y ) g(x1), g(x2), l, g(xn), l ，= ip1,p2,l,pn,l若有某些 g(xi) 相等，则应将对应的 pi 相加作为 g(xi) 的概率。数分布连续型先利用 x 的概率密度 fx(x)写出 y 的分布函数 fy(y)p(g(x)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fy(y)。yxy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jmmmmmxipi1pijmmm

19、mm第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分布离散型如果二维随机向量a（x，y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称a为离散型随机量。设a=（x，y）的所有可能取值为(xi , y j )(i, j = 1,2,l) ， 且事件a= (xi , y j ) 的概率为 pij,称p( x , y ) = (xi , y j ) = pij (i, j = 1,2,l)为a=（x，y）的分布律或称为 x 和y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：这里 pij 具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2） pij = 1.ij连续型对于二维随机向量a=

20、( x , y ) ，如果存在非负函数f (x, y)(- x +,- y +) ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 d，即 d=(x,y)|axb,cyd有p( x ,y ) d = f (x, y)dxdy,d则称a为连续型随机向量；并称 f(x,y)为a=（x，y）的分布密度或称为 x 和y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)0 。+ +（2） - - f (x, y)dxdy = 1.（2）二维随机变量的本质a( x = x, y = y) =a( x = x i y = y)（3）联合分布函数设（x，y）为二维随机变量，对于任意实

21、数 x,y,二元函数f (x, y) = px x, y y称为二维随机向量（x，y）的分布函数，或称为随机变量 x 和y 的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(a1 ,a2 ) | - x (a1 ) x,- x1 时，有 f（x2,y）f(x1,y)。当 y2y1 时，有 f(x,y2)f(x,y1)。（3）f（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即f (x, y) = f (x + 0, y), f (x, y) = f (x, y + 0);（4） f (-,-) = f (-, y) = f (x,-) = 0, f (+,+) = 1.（5）对于 x1 x2

22、，y1 y2f (x2，y2 ) - f (x2，y1 ) - f (x1，y2 ) + f (x1，y1 ) 0 .（4）离散型与连续型的关系p( x = x，y = y) p(x x x + dx，y 0,a2 0, | a| 1是 5 个参数，则称（x，y）服从二维正态分布，记为（x，y）n（ a, a a2 ,a2 , a).12, 12由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 xn（a,a2 ),y n(aa2).112, 2但是若 xn（ a,a2 ),y n (aa2 ) ，(x，y)未必是二维正态分布。112, 2正态分布（10）函z=x+y根据

23、定义计算： fz (z) = p(z z) = p( x + y z)+对于连续型，fz(z) f (x, z - x)dx-两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ a + a ,a2 +a2 ）。1212n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。a= c a ， a2 = c 2a2i iiiii数分布z=max,min(若 x 1 , x 2 l x n 相互独立，其分布函数分别为fx (x)，fx (x)l fx (x) ，则 z=max,min(x1,x2,xn)的分布12n函数为：fmax (x) = fx (x) fx (x)l fx (x)12nfmin (x) = 1

24、- 1 - fx (x) 1 - fx (x)l1 - fx (x)12nx1,x2,xn)a2 分布设 n 个随机变量 x 1 , x 2 ,l, x n 相互独立，且服从规范正态分布，可以证明它们的平方和nw = x 2ii =1的分布密度为1u n -1e-uu 0, n22f (u) = 2 2 g n 2 0,u 0.我们称随机变量 w 服从自由度为 n 的a2 分布，记为 wa2 (n) ，其中 n + n -1g = x 2 e -x dx. 2 0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。a2 分布满足可加性：设yi - a (2n ),i则kz

25、= y a2 (n + n + l + n ).i12ki =1t 分布设 x，y 是两个相互独立的随机变量，且x n (0,1),y a2 (n),可以证明函数t =xy / n的概率密度为g n + 1- n+1f (t) =2 1 + t 2 2(- t +). nag nn 2 我们称随机变量 t 服从自由度为 n 的t 分布，记为 tt(n)。t1-a(n) = -ta(n)f 分布设 x a2 (n ), y a2 (n ) ，且 x 与y 独立，可以证明12f = x / n1 的概率密度函数为y / n2 g n1 + n2 n1n1 + n2n- 2 n 21 -1 + n2

26、f ( y) = 1 y 211 y , y0g n1 g n2 n2 n2 2 20, y 2)n - 2（5）二维随机变量的数字特征期望ne( x ) = xi pii =1ne(y ) = y j p j j =1+e( x ) = xf x (x)dx-+e(y ) = yfy ( y)dy-函数的期望eg( x , y ) g(xi , y j ) pijijeg( x , y ) + + g(x, y) f (x, y)dxdy 方差d( x ) = x - e( x )2 piiid(y ) = x - e(y )2 pj jj+d( x ) = x - e( x )2 f (x

27、)dxx-+d(y ) = y - e(y )2 f ( y)dyy-协方差对于随机变量 x 与y，称它们的二阶混合中心矩a11 为 x 与y 的协方差或相关矩，记为axy或cov(x , y ) ，即axy = a11 = e( x - e( x )(y - e(y ).与记号axy相对应，x 与y 的方差 d（x）与 d（y）也可分别记为axx 与ayy 。相关系数对于随机变量 x 与 y，如果 d（x）0, d(y)0，则称axyd( x ) d(y )为x 与y 的相关系数，记作axy（有时可简记为a）。| a|1，当| a|=1 时，称 x 与y 完全相关：p( x = ay + b

28、) = 1正相关，当a= 1时(a 0)，完全相关负相关，当a= -1时(a 0)而当a= 0 时，称 x 与y 不相关。以下五个命题是等价的： axy= 0 ；cov(x,y)=0。e(xy)=e(x)e(y)。d(x+y)=d(x)+d(y)。d(x-y)=d(x)+d(y).协方差矩阵aa a xxa xy yxyy 混合矩对于随机变量 x 与y，如果有 e( x ky l ) 存在，则称之为 x 与y 的k+l 阶混合原点矩，记为akl ；k+l 阶混合中心矩记为：ukl = e( x - e( x ) (ky - e(y ) l.（6）协方差的性质(i) cov (x, y)=cov

29、 (y, x)。(ii) cov(ax,by)=ab cov(x,y)。(iii) cov(x1+x2, y)=cov(x1,y)+cov(x2,y)。(iv) cov(x,y)=e(xy)-e(x)e(y).（7）（i）（ii）若随机变量 x 与 y 相互独立，则axy = 0 ；反之不真。若（x，y）n（ a, a ,a2 ,a2 , a），1212则 x 与 y 相互独立的充要条件是 x 和 y 不相关。独立和不相关第五章大数定律和中心极限定理（1）大数定律切比雪设随机变量 x1，x2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 c 所界：d（xi）c(i=1,2,),则对于任意的正数 ，有

30、 1 n1 n lim p x i - e( x i ) a = 1. n n i =1n i =1特殊情形：若 x1，x2，具有相同的数学期望 e（xi）=，则上式成为 1 nlim p x i -a a = 1.n n i =1x a夫大数定律伯努利设 是 n 次独立实验中事件 a 发生的次数，p 是事件 a在每次实验中发生的概率，则对于任意的正数 ，有lim p a p = 1.-an n伯努利大数定律说明，当实验次数 n 很大时，事件 a 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即lim p a p = 0.-an n这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。大数定律辛钦大设 x1，x2

31、，xn，是相互独立同分布的随机变量序列， 且e（xn）=，则对于任意的正数 有 1 nlim p x i -a a = 1.n n i =1数定律（2）中心极限定理x n (a, a2 ) n列维设随机变量 x1，x2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：e( x ) = a, d( x ) =a2 0(k = 1,2,l) ，则随机变量kkn x k - nayn = k =1na的分布函数 fn(x)对任意的实数 x，有 n x k - na1t 2x -lim f (x) = lim p k =1 x = e 2 dt.n nnna2a -此定理也称为独立同分布的中心极限

32、定理。林德伯格定理棣莫弗设随机变量 x n 为具有参数 n, p(0p 0 ，则kkn-kakcn p (1 - p) k! e其中 k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。-a(n ).第六章 样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品 x1 , x2 ,l, xn 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下， 总是把样本看成是 n 个相互独立的且

33、与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， x1 , x2 ,l, xn 表示 n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， x1 , x2 ,l, xn 表示 n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设 x1 , x2 ,l, xn 为总体的一个样本，称a=a（ x1 , x2 ,l, xn ）为样本函数，其中a为一个连续函数。如果a中不包含任何未知参数，则称a（ x1 , x2 ,l, xn ）为一个统计量。常见统计量及其性质1 n样本均值x = xi .n i =1样本方差 1ns 2 =n - 1 (xi - x)

34、2 .i =11n样本规范差s =n - 1 (x - xi ) 2 .i =1样本 k 阶原点矩1 nm= xk , k = 1,2,l.knii =1样本 k 阶中心矩1nm = (x - x) k , k = 2,3,l.knii =1e( x ) = a， d( x ) = a2 ，ne(s 2 ) =a2 ， e(s *2 ) = n - 1a2 ,n21 n2其中 s * =( x i - x ) ，为二阶中心矩。n i =1（2）正态总体下的四大分布正态分布设 x , x ,l, x 为来自正态总体 n (a,a2 ) 的一个样本，则样12n本函数def x - au n (0,

35、1).a/nt 分布设 x1 , x2 ,l, xn 为来自正态总体 n (a,a2 ) 的一个样本，则样本函数def x - at t(n - 1),s /n其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。a2分布设 x1 , x2 ,l, xn 为来自正态总体 n (a,a2 ) 的一个样本，则样本函数def (n - 1)s 22w a (n - 1),a2其中a2 (n - 1) 表示自由度为 n-1 的a2 分布。f 分布设 x , x ,l, x 为来自正态总体 n (a,a2 ) 的一个样本，而12n1y , y ,l, y 为来自正态总体 n (a,a2 ) 的一个样本，

36、则样本12n2函数fdef s 2 /a211 f (n -1, n -1),2s 2 /a2122其中21n1221n22s1 = n - 1 (xi - x) , s 2 = n - 1 ( yi - y) ;1i =12i =1f (n1 - 1, n2 - 1) 表示第一自由度为 n1 - 1，第二自由度为n2 - 1的 f 分布。（3）正态总体下分布的性质x 与 s 2 独立。第七章参数估计（1） 点估计矩估计设总体 x 的分布中包含有未知数a1 ,a2 ,l,am ，则其分布函数可以表成 f (x;a ,a ,l,a ). 它的 k 阶原点矩v = e( x k )(k = 1,2

37、,l, m) 中12mk也包含了未知参数a1 ,a2 ,l,am ，即vk = vk (a1 ,a2 ,l,am ) 。又设x1 , x2 ,l, xn 为总体 x 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为1 n xik (k = 1,2,l,m).n i =1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程，即有1 nv1 (a1 ,a2 ,l,am ) = n xi ,i =1v ( , , ) = 1 n x 2 , 2 a1 a2 l amn i i =1lllllllll1 nv (a,a,l,a ) = xm . m12mn =ii 1由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数(a1 ,a2 ,l,am ) 即为参数（a1 ,a2 ,l,am ）的矩估计量。若a 为a的矩估计， g(x) 为连续函数，则 g(a)为g(a)的矩估计。极大似然估计当总体 x 为连续型随机变量时，设其分布密度为f (x;a1 ,a2 ,l,am ) ，其中a1 ,a2 ,l,am 为未知参数。又设 x1 , x 2 ,l, xn 为总体的一个样本，称nl(a1 ,a2 ,l,am ) = f (xi ;a1 ,a2 ,l,am )i =1为样本的似然函数，简记为 ln.当总体 x 为离