(完整)九年级上册数学知识点总结(2),推荐文档

1、九年级上册数学知识点总结归纳第二十一章一元二次方程1第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步17 / 23第二十一章一元二次方程知识点 1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程一般形式：ax2bx+c=0(a0）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。知识点 2：一元二次方程的解法1. 直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。bx+a= bb x1 =-a+x2 =-a-2. 配方法：用配方法解一元二次方程：ax

2、2bx+c=0(k0）的一般步骤是：化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；如果 b0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 b 0x 0 时， y 随 x 的增大而； x 0 时，y 随 x 的增大而； x = 0 时， y 有最 值a 0 时， y 随 x 的增大而； x 0x 0 时， y 随 x 的增大而； x 0 时，y 随 x 的增大而； x = 0 时， y 有最 值a 0 时， y 随 x 的增大而； x 0x h 时， y 随 x 的增大而；

3、 x h 时，y 随 x 的增大而； x = h 时， y 有最 值a h 时， y 随 x 的增大而； x 0x h 时， y 随 x 的增大而； x h 时，y 随 x 的增大而； x = h 时， y 有最值a h 时， y 随 x 的增大而； x 0)【(k0)【( h0)【( h0)【( k0)【( h0)【(k 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a当 x - b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b时， y 有最2a2a2a4ac - b2小值4abb4ac - b2 b2. 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x

4、 = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何4a 当 x -2a七、二次函数解析式的表示方法时， y 随 x 的增大而减小；当 x = -2a时， y 有最大值4a1. 一般式： y = ax2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；2. 顶点式： y = a(x - h)2 + k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；3. 两根式（两点式）： y = a(x - x1)(x - x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与

5、 x 轴有交点，即b2 - 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y = ax2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； 当 a 0 的前提下，当b 0 时， - b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2a当b = 0 时， - b = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2a 在 a 0 时， - b 0 ，即抛物线的对称轴

6、在 y 轴右侧；2a当b = 0 时， - b = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b 0 时， - b 0 ，在 y 轴的右侧则 ab 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ； 当c 0 时，图象与 x 轴交于两点 a(x ，0，) ，b (x0) (x x ) ，其中的 x ，x 是一元二次121212方程 ax2 + bx + c = 0(a 0)的两根这两点间的距离 ab = x2b2 - 4ac a- x1 =. 当d = 0 时，图象与 x

7、 轴只有一个交点； 当d 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ；2 当 a 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0抛物线与 x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根d = 0抛物线与 x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根d 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=x2x2y=2x2y= -2y= -x2y=2 x2y=-2x2y=2 x2+2y=2 x2y=2 x2-4y=3 (x+4)2y=3 x2y=3 (x-2)2y=-2(

8、x+3)2y=2 x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=-2x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用何何何何二次函数应用何何何何何何何何何何何何何何何二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m2 - m - 2 的图像经过原点， 则 m 的值是 2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx

9、 - 1的图像大致是（）y10xayo-1 xby10cxy0 -1 xd3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x =5，求这条抛物线的解析式。34. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：3已知抛物线 y = ax2 + bx + c （a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是2（1） 确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专

10、项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （1）二次函数 y = ax2 + bx + c 的图像如图 1，则点 m (b,c) 在 （ ）aa第一象限b第二象限c第三象限d第四象限（2） 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示， 则下列结论：a、b 同号；当 x=1和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（ ）a1 个b2 个c3 个d4 个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，

11、o)、(x1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(o，2)的下方下列结论：abo；4a+co，其中正确结论的个数为 ( )a 1 个b. 2 个c. 3 个 d4 个会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为()a(2，-3)b.(2，1)c(2，3)d(3，2)例 4、如图（单位：m），等腰三角形 abc 以 2 米/秒的速度沿直线 l 向正方形移动，直到 ab 与 cd 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（

12、1） 写出 y 与x 的关系式；（2） 当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3） 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.15例 5、已知抛物线 y= x2+x- 22（1） 用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2） 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 a、b，求线段 ab 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 p(4，10)，交 x 轴于 a(x1,0) ， b(x2 ,0) 两点(x1 aco?若存在，请你求

13、出m 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由例 7、 “已知函数 y = 1 x 2 + bx + c 的图象经过点 a（c，2），2求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1） 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程， 并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2） 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“

14、图象经过点 a（c，2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。用二次函数解决最值问题例 1某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元） 与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1） 求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系

15、式；（2） 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ 此时每日销售利润是多少元？【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2） 问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 2.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则

16、学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()a15 mb1625 mc166 md167 m分析：本题考查二次函数的应用第二十三章旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点 o 转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中 o 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质（1） 对应点到旋转中心的距离相等。（2） 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2、性质（1） 关于中心对称的两个图形是全等形。（2） 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过

17、对称中心，并且被对称中心平分。（3） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。考点五、坐标系中对称点的特征（3 分）1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 p（x，y）关于原点的对称点为 p（-x，-y）2、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于 x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即

18、点 p（x，y）关于 x 轴的对称点为 p（x，-y）3、关于 y 轴对称的点的特征两个点关于 y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点 p（x，y）关于 y 轴的对称点为 p（-x，y）一、知识回顾第二十四章圆圆的周长： c=2r 或 c=d、圆的面积：s=r圆环面积计算方法：s=r-r或 s=（r-r）(r 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等

19、于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 o 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。adrobdc二、点与圆的位置关系1、点在圆内 d r 点 b 在圆上； 点 a 在圆外；18 / 23三、直线与圆的位置关系1、直

20、线与圆相离2、直线与圆相切rdd=rrd3、直线与圆相交 d r d = r d r + r ； d = r + r ； r - r d r + r ； d = r - r ； d r - r ；drr周 1drr周 2drr周 3drr周 4drr周 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中

21、2 个即可推出其它 3个结论，即： ab 是直径 ab cd ce = de 弧 bc = 弧 bd 弧 ac = 弧 adaoecdbcdoab中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 o 中， ab cd弧 ac = 弧 bd六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。efodacb圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论， 即： aob = doe ； ab = de ； oc = of ； 弧 ba =

22、弧 bd七、圆周角定理cboa顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： aob 和acb 是弧 ab 所对的圆心角和圆周角 aob = 2acb2、圆周角定理的推论：dcboa推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在 o 中， c 、d 都是所对的圆周角 c = doc推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 o 中， ab 是直径或 c = 90ba c = 90 ab 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么

23、这个三角形是直角三角c形。ba即：在 abc 中， oc = oa = obo abc 是直角三角形或c = 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形cdbae圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 o 中，四边形 abcd 是内接四边形 c + bad = 180dae = cb + d = 180九、切线的性质与判定定理（1） 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可oman即： mn oa 且 mn 过半径oa 外端 mn 是

24、o 的切线（2） 性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：bopa从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： pa 、 pb 是的两条切线 pa = pbpo 平分bpadbopca十一、圆幂定理（1） 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 o 中，弦 ab 、cd 相交于点 p ， pa pb = pc p

25、dcbo ead（2） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 o 中，直径 ab cd ，ce2 = ae beadepocb（3） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 o 中， pa 是切线， pb 是割线 pa2 = pc pb（4） 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在 o 中， pb 、 pe 是割线 pc pb = pd pe十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。ao1o2

26、b19 / 23如图： o1o2 垂直平分 ab 。即： o 、 o 相交于 a 、 b 两点12 o1o2 垂直平分 ababco1o2十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：o1o2 2 - co221（1） 公切线长： rtdo1o2 c 中， ab2 = co 2 =；（2） 外公切线长： co2 是半径之差；内公切线长： co2 是半径之和。23 / 23cobdabcoaed十四、圆内正多边形的计算（1） 正三角形在 o 中 abc 是正三角形，有关计算在 rtdbod 中进行：；（2） 正四边形同理，四边形的有关计算在 rtdoae 中进行，：（3） 正六边形3同理，六边形的有关

27、计算在 rtdoab 中进行， ab : ob : oa = 1: 2 .od : bd : ob = 1:obaoe : ae : oa = 1:1:aoslb十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式npr1、扇形：（1）弧长公式： l =180；npr21（2）扇形面积公式： s =lr3602n ：圆心角r ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长s ：扇形面积add1周 周 周周 周 周 周 周bcc1b1orcarb2、圆柱：（1）a 圆柱侧面展开图s表底= s侧 + 2s = 2prh + 2pr2b 圆柱的体积：v = pr 2h（2）a 圆锥侧面展开图s表底= s侧 + s =prr

28、+pr 2b 圆锥的体积：v = 1pr 2h3一、概率的概念第二十五章概率初步某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型：必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件. 3、概率的计算一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 a 包含其中的m 中结果，那么事件 a 发生的概率为 （1） 列表法求概率当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。（2） 树状图法求概率