北师大版九年级下册数学全册教学课件

1、北师大版数学九年级下册,全册教学课件,1.1 锐角的三角函数,第一章 直角三角形的边角关系,第1课时 正切与坡度,1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点） 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； (重点) 3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.（难点,学习目标,智者乐水，仁者乐山,图片欣赏,导入新课,思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢,陡,陡意味着倾斜程度大,想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法,铅直高度,水平宽度,梯子与地面的夹角称为倾斜角,从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度,从梯子的底端

2、B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度,A,C,B,讲授新课,正切的定义,相关概念,问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法,A,B,C,D,E,F,倾斜角越大梯子越陡,合作探究1,问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的,当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡,当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡,甲,乙,问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的,当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡,3m,6m,D,E,F,问题4:你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡,当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡,3m,2m,6m,5m,A,B,C,D,E,F,倾斜角越大，

3、梯子越陡,总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度,若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计,A,C1,B1,合作探究2,两个直角三角形相似,1)RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系,3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢,思考：由此你得出什么结论,相等,相似三角形的对应边成比例,想一想,在RtABC中,如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做A的正切,记作tanA,即,结论：tanA的值越大，梯子越陡,归纳总结,定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在

4、直角三角形中定义的， A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切. 但BAC的正切表示为:tanBAC.1的正切表示为:tan1. 3.tanA0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角A的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 5.tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关,A,B,C,锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗,对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应,解：可以等于1，此时为等腰直角三角形； 也可以大于1，甚至可逼近于无穷大,议一议,例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个

5、自动扶梯比较陡,解:甲梯中,乙梯中,tantan,乙梯更陡,提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度,典例精析,1. 在RtABC中，C=90，AC=7，BC=5， 则 tan A=_，tan B =_,互余两锐角的正切值互为倒数,2.下图中ACB=90，CDAB,垂足为D. 指出A和B的对边、邻边,BC,AD,BD,AC,练一练,4.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍, tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定,C,3.已知A,B为锐角， (1)若A=B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则A B,正切

6、通常也用来描述山坡的坡度,坡度越大，坡角越大，坡面就越陡,坡度、坡角,例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m, 那么山坡的坡度(即tan)就是,坡角：坡面与水平面的夹角称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切,概念学习,例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为13，坝高BC2米，则斜坡AB的长是(,解析：ACB90，坡度为13,B,方法总结理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键,BC2米，AC3BC326(米,1)在RtABC中C=90，BC=5, AC=12,tanA=(,2)在RtABC中C=90，BC=5,

7、 AB=13,tanA=( ),tanB=(,3)在RtABC中C=90，BC=5,tanA= , AC=(,1.完成下列填空,当堂练习,2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （,A. B. C. D,D,3.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为 ，则 =_,记得构造直角三角形哦,4.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m,解,5.在等腰ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB,提示:过点A作AD垂直于BC于点D. 求锐角三角函数时,

8、勾股定理的运用是很重要的,解：如图，过点A作ADBC于点D， 在RtABD中， 易知BD=5，AD=12,6.在RtABC中,C=90, AB=15,tanA= ,求AC和BC,4k,3k,7.如图,正方形ABCD的边长为4,点N在BC上,M、N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tanADN的值,解：由正方形的性质可知， ADN=DNC，BC=DC=4,M、N两点关于对角线AC对称, BN=DM=1,如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，PAO 的面积为S. （1）求S与x的函数关系式； （2）当S=10时,求tanPA

9、O 的值,解：(1)过点P作PMOA于点M,能力提升,2）当S=10时,求tanPAO 的值,解,又点P在直线y=-x+6上,x=2,AM=OA-OM=5-2=3,课堂小结,正切,定义,坡度,A越大，tanA越大, 梯子越陡,与梯子倾斜程度的关系,1.3 三角函数的计算,第一章 直角三角形的边角关系,1.复习并巩固锐角三角函数的相关知识. 2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算. (重点) 3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点,学习目标,导入新课,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表,三角 函数,回顾与思考,问题: 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行

10、注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗,这里的tan42是多少呢,讲授新课,1.求sin18,第二步：输入角度值18,屏幕显示结果sin18=0.309 016 994,也有的计算器是先输入角度再按函数名称键,用计算器求三角函数值,2.求cos72,第二步：输入角度值72,屏幕显示结果cos72=0.309 016 994,3.求 tan3036,第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用 键,屏幕显示答案：0.591 398 351,第二步：输入角度值30.6 （因为303630.6,屏幕显示答案：0.

11、591 398 351,第一种方法,第二种方法,例1：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47； (2)sin1230； (3)cos2518；(4)sin18cos55tan59,解：根据题意用计算器求出： (1)sin470.7314； (2)sin12300.2164； (3)cos25180.9041； (4)sin18cos55tan590.7817,典例精析,如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角,利用计算器由三角函数值求角度,已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作,还以以利用 键，进一步得到 A300708.97

12、,第一步：按计算器 键,2nd F,sin,第二步：然后输入函数值0. 501 8,屏幕显示答案： 30.119 158 67,2nd F,操作演示,例2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B的度数 (结果精确到0.1)： (1)sinA0.7，sinB0.01； (2)cosA0.15，cosB0.8； (3)tanA2.4，tanB0.5,解：(1)由sinA0.7，得A44.4；由sinB0.01，得B0.6； (2)由cosA0.15，得A81.4；由cosB0.8，得B36.9； (3)由tanA2.4，得A67.4；由tanB0.5，得B26.6,cos55= cos70=

13、 cos7428,tan38 = tan802543,sin20,sin35,sin1532,0.3420,0.3420,0.5736,0.5736,0.2678,0.2678,5.930,0.0547,角度增大,正弦值增大,余弦值减小,正切值增大,比一比，你能得出什么结论,拓广探索,正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小,余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大,正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小,归纳总结,例3：如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC10千米， CAB25，CBA45.因城市规划的需要， 将在A、B两地之间修建一条笔直的公路,1)求改直后的公路AB

14、的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1),利用三角函数解决实际问题,1)求改直后的公路AB的长,解：(1)过点C作CDAB于点D， AC10千米，CAB25， CDsinCABACsin25100.42104.2(千米)， ADcosCABACcos25100.91109.1(千米) CBA45，BDCD4.2(千米,ABADBD9.14.213.3(千米) 所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米,2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1),2)AC10千米，BC5.9千米， ACBCAB105.913.32.6(千米) 所以，公路改直后该段

15、路程比原来缩短了约2.6千米,方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长,例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直他们在A处测得塔尖D的仰角为45，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角DBN61.4，小山坡坡顶E的仰角EBN25.6.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米 (结果精确到个位,解：延长DE交AB延长线于点F，则DFA90. A45， AFDF. 设EFx， tan25.6 0.5， BF2x，则DFAF502x， 故tan61.4 1.8， 解得x31. 故DED

16、FEF503123181(米) 所以，塔高DE大约是81米,解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形,方法总结,当堂练习,1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角,1）sinA=0.627 5，sinB0.6175； （2）cosA0.625 2，cosB0.165 9； （3）tanA4.842 8，tanB0.881 6,B=388,A=385157,A=511811,B=80272,A=781958,B=412358,2.已知：sin232+cos2=1，则锐角等于（） A32 B58 C68

17、 D以上结论都不对,A,3.用计算器验证，下列等式中正确的是（） Asin1824+sin3526=sin45 Bsin6554-sin3554=sin30 C2sin1530=sin31 Dsin7218-sin1218=sin4742,D,A,4.下列各式中一定成立的是（ ） A.tan75tan48tan15 B. tan75tan48tan15 C. cos75cos48cos15 D. sin75sin48sin15,5.sin70，cos70，tan70的大小关系是() Atan70cos70sin70 Bcos70tan70sin70 Csin70cos70tan70 Dcos7

18、0sin70tan70,解析：根据锐角三角函数的概念，知sin701，cos701， tan701.又cos70sin20， 锐角的正弦值随着角的增大而增大，sin70sin20cos70. 故选D,方法总结】当角度在0cosA0.当角度在45A90间变化时，tanA1,D,6.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米,解析 (1)利用ABC是等腰直角三角形易得AC的长； (2)在RtBDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用A

19、B的长减去BE的长度即可,课堂小结,三角函数的计算,用计算器求锐角的三角函数值或角的度数,不同的计算器操作步骤可能有所不同,利用计算器探索锐角三角函数的新知,正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小,余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大,正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小,1.4 解直角三角形,第一章 直角三角形的边角关系,1.掌握解直角三角形的概念；（重点） 2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解题. (重点、难点,学习目标,1) 三边之间的关系:a2+b2=_,2)锐角之间的关系：A+B=_,3)边角之间的关系：sinA=_，cosA=_， tanA=_,在RtABC中

20、，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中C=90，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢,c2,90,导入新课,复习引入,讲授新课,问题1 如果已知RtABC中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗,已知两边解直角三角形,例1 如图，在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素,解：在RtABC中，a2+b2=c2,在RtABC中,典例精析,在如图的RtABC中，根据AC2.4，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗,A,B,C,6,2.4,练一练,问题2 如果已知RtABC中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗,已知一边及一锐角解

21、直角三角形,例2 如图，在RtABC中，C90，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，B35，b=20, 求这个直角三角形的其他元素(结果保留小数点后一位,解,在图中的RtABC中，根据A75，斜边AB6， 你能求出这个直角三角形的其他元素吗,A,B,C,6,75,练一练,事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素,由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程， 叫做解直角三角形,归纳总结,例3 如图，在ABC中，B=30，C=45，AC=2，求BC,D,解：过点 A作 ADB

22、C于D. 在ACD中，C=45，AC=2， CD=AD=sinCAC=2sin45= . 在ABD中，B=30， BD= BC=CD+BD=,构造直角三角形解决问题,如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC=4， sinB ，则菱形的周长是（） A10 B20 C40 D28,C,练一练,1.如图，在RtABC中，C=90，B=30， AB=8，则BC的长是（,D,当堂练习,2.在ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_,3.如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB= ，则AC的长为（） A3 B3.75 C4.8 D5,B,4.在RtABC中，C90，根据

23、下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20,解：根据勾股定理得,2) B72，c = 14,解,5. 如图，在RtABC中，C90，AC=6， BAC的平分线 ，解这个直角三角形,6,解,AD平分BAC,6. 如图，在RtABC 中，C=90，cosA = ， BC = 5， 试求AB的长,解,A,C,B,设,AB的长为,7. 如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米,解：如图所示，依题意可知，当B=600 时,答：梯子的长至少4.62米,C,A,B,图,当ABC为锐角三角形时，如图， BC=B

24、D+CD=12+5=17,图,解：cosB= ，B=45,当ABC为钝角三角形时，如图,AC=13，由勾股定理得CD=5,BC=BD-CD=12-5=7,BC的长为7或17,当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论,8. 在ABC中，AB= ，AC=13，cosB= ， 求BC的长,解直角三角形,依据,解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素,勾股定理,两锐角互余,锐角的三角函数,课堂小结,2）两锐角之间的关系,AB90,3）边角之间的关系,1）三边之间的关系,勾股定理,在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系,1.5 三角函数的应用,第一章

25、直角三角形的边角关系,1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角 的问题.(难点,我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向,那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗,情境引入,引例 如图，一船以20 n mile/h 的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60方向上，继续航行 1 h 到达B处，再测得灯塔C在北偏东30方向上.已知灯塔C四周 10 n mile内有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全,讲授新课,D,分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于 10 n m

26、ile,北,东,与方位角有关的实际问题,解：由点C作CDAB,设CD= x,则在RtACD中,在RtBCD中,解得,所以，这船继续向东航行是安全的,A,C,B,D,30,60,北,东,由AB=AD-BD,得,如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）,65,34,P,B,C,A,试一试,解：如图 ，在RtAPC中,PCPAcos（9065,80cos25,800.91,72.8,在RtBPC中，B34,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距

27、离灯塔P大约130.23海里,65,34,P,B,C,A,利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题 （画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案,方法归纳,例1 如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30，ACBC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45, 求山高(结果保留根号,分析：要求AC，无论是在RtACD中，还是在RtABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要

28、用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD1000m建立关于AC的方程，从而求得AC,仰角和俯角问题,解：在RtABC中,在RtACD中,BDBCDC,例2 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30，则地面目标B，C之间的距离是_,解析：由题意可知，在RtABC中，B90，CCAD30，AB1000m,方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形,例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m

29、,分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，=30,=60.RtABD中， =30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC,仰角,水平线,俯角,解：如图， = 30,= 60， AD120,答：这栋楼高约为277.1m,建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m,解：在等腰三角形BCD中ACD=90,BC=DC=40m,在RtACD中,AB=ACBC=55.240=15.2,答：旗杆的高度为15.2m,练一

30、练,例4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽（精确到0.1米,45,30,4米,12米,A,B,C,D,利用坡角解决实际问题,解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米）， CDEF12（米） 在RtADE中， 在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFBF4126.9322.93（米） 答： 路基下底的宽约为22.93米,1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=_米. 2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为3

31、0米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑物CD的高为_米,100,当堂练习,图1,图2,B,C,B,C,3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45和30，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留,4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，CAB=45， 则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留,5.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为_,解析：如图，过点A作ADOB于D 在RtAOD中，ADO=9

32、0，AOD=30，OA=4km， AD= OA=2km 在RtABD中，ADB=90，B=CAB-AOB=75-30=45， BD=AD=2km， AB= AD= km 即该船航行的距离为 km,6. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45角的方向继续飞行直到终点这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少,解：过点C作CDAB于点D,ADBDAB,在RtBCD中,ACBC,在RtACD中,750600150(km) 答：飞机的飞行路程比原来的路程60

33、0km远了150km,方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线,7.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角BOA为60，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号,解：在RtABO中， tanBOA= =tan60= AB=BO tan60=4 =4 （米） 答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米,8.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度为13，斜坡CD的坡度为12.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m

34、 ）; （2）斜坡CD的坡角（精确到 1,E,F,解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、 F,由题意可知,BE=CF=23m ， EF=BC=6m,E,F,在RtABE中,在RtDCF中，同理可得,69+6+57.5=132.5m,在RtABE中，由勾股定理可得,2) 斜坡CD的坡度为tan=1：2.5=0.4， 由计算器可算得,答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米 斜坡CD的坡角约为22,课堂小结,利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当

35、选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案,小结与复习,第一章 直角三角形的边角关系,要点梳理,一、锐角三角函数,1.如图所示，在RtABC中，C90， a，b，c分别是A，B，C的对边,2)A的余弦：cosA； (3)A的正切：tanA,2.梯子的倾斜程度与tanA、sinA和cosA的关系,tanA的值越大,梯子越陡; sinA的值越大,梯子越陡; cosA的值越小,梯子越陡,3.锐角三角函数的增减性： 当角度在090之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _,增大（或减小,减小（或增大,

36、30，45，60角的三角函数值,二、特殊角的三角函数,1.解直角三角形的依据 (1)在RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B,C的对边,三边关系： ； 三角关系： ； 边角关系：sinAcosB，cosAsinB ， tanA，tanB,a2b2c2,A90B,三、解直角三角形,2)直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素,解法：一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；斜三

37、角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题,1.利用计算器求三角函数值,第二步：输入角度值,屏幕显示结果,有的计算器是先输入角度再按函数名称键,四、锐角三角函数的计算,2.利用计算器求锐角的度数,还可以利用 键，进一步得到角的度数,第二步：然后输入函数值,屏幕显示答案（按实际需要进行精确,第一种方法,2nd F,第二种方法,第二步：输入锐角函数值,屏幕显示答案（按实际需要选取精确值,1.仰角和俯角,铅直线,水平线,视线,视线,仰角,俯角,在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角,五、三角函数的应用,以正南或正北方向为准，正南或正北方

38、向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角.如图所示,2.方向角,h : l,1）坡角,坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作,2）坡度（或坡比,坡度通常写成1m的形式，如16,3）坡度与坡角的关系,坡度等于坡角的正切值,坡面,水平面,3.坡角,利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题 （画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案,A,C,M,N,1)在测点A安置测倾器，测得M的仰角MCE,E,2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l,

39、3)量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度. MN=ME+EN=ltan+a,1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤,六、利用三角函数测高,2.测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢,1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角MCE,A,C,B,D,M,N,E,2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角MDE,3)量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b. 根据测量数据,可求出物体MN的高度,考点讲练,例1 在ABC中，C90，sinA ， 则tanB() A. B. C. D,解析】 根据sinA ，可设三角形的两边长分别为4k,5k， 则第三边长为3

40、k，所以tanB,B,考点一 求三角函数的值,1.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上， 则ABC的正弦值是_,针对训练,2.用计算器求下列各式的值： （1）cos6317_； （2）tan27.35_； （3）sin39576_,0.45,0.52,0.64,3.已知sin=0.2，cos=0.8，则+=_（精确到1,4824,例2,解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值,解：原式,考点二 特殊角的三角函数值,1) tan30cos45tan60,2) tan30 tan60 cos230,4. 计算,针对训练,例3.如图，在ABC中，C90，点D在

41、BC上，BD4，ADBC，cosADC= ， 求：（1）DC的长；（2）sinB的值,考点三 解直角三角形,分析】题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在RtACD和ABC中求得，由ADBC，图中CDBCBD，由此可列方程求出CD,解:(1)设CDx，在RtACD中，cosADC=,又 BCCDBD,解得x=6,CD=6,2) BC=BD+CD=4+6=10=AD,在RtACD中,在RtABC中,5.如图所示，在RtABC中，C90，AC .点D为BC边上一点，且BD2AD，ADC60.求ABC的周长(结果保留根号,针对训练,解：在RtADC中,BD2AD4,BCBDDC5,在RtAB

42、C中,ABC的周长ABBCAC,例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度 小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30， 然后向教学楼前进40 m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60. 求这幢教学楼AB的高度,考点四 三角函数的应用,分析】 设CF与AB交于点G，在RtAFG中，用AG表示出FG，在RtACG中，用AG表示出CG，然后根据CGFG40，可求AG,解：设CF与AB交于点G，在RtAFG中， tanAFG ，FG 在RtACG中，tanACG ， 又CGFG40， AG ，AB 答：这幢教学楼AB的高度为,6.如图某人站在楼顶观测对面的

43、笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离（即CE的长）为8米，测得旗杆顶的仰角ECA为30，旗杆底部的俯角ECB为45 ，则旗杆AB的高度是多少米,解：如图在RtACE和RtBCE中 ACE=30，EC=8米 tanACE= ,tanECB= 即：AE=8tan30= （米） EB=8tan45=8（米） AE+EB=(8+ )米,针对训练,锐角三角 函数,特殊角的三 角函数,解直角三 角形,简单实际 问题,课堂小结,2.1 二次函数,第二章 二次函数,1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点,导入新课,里约

44、奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗,你们是根据哪些特征猜出的呢,情景引入,下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包,通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢,数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.” -中科院数学与系统科学研究院 李邦河,问题1 我们以前学过的函数的概念是什么,如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数,函 数,一次函数,反比例函数,y=kx+b (k0,正比例函数) y=kx (k0,问题2 我们学过哪些函数,思考 一个边长为x的正

45、方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗,y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数,思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧,问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量,讲授新课,二次函数的定义,合作探究,2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子,3)如果要使得果园

46、橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树,4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式,果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子,y=(100+x)(600-5x) =-5x+100 x+60000,100+x)(600-5x)=60320 解得,对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数,问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为,y=6x2,此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数,问题3 某水产养殖户用长

47、40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗,设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有,此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数,前面求出的三个函数有什么共同点,函数都是用 自变量的二次整式表示的,y=6x2,y=-5x+100 x+60000,二次函数的定义,一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的形式，则称y是x的二次函数,a为二次项系数，ax2叫做二次项；

48、 b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项,归纳总结,温馨提示,1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项,例1 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数,解,1）由题可知,解得,2）由题可知,解得,m=3,第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件， 从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视,典例精析,1.下列函数中,哪些是二次函数,先化简后判断,是,不是,是,不是,练一练,2.把下列函数化成一元二次函数的一般式,1)y=

49、(x-2)(x-3); (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2,解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6; (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18,问题4：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么,y=(100+x)(600-5x)=-5x+100 x+60000,y=6x2,600-5x0，0 x0. 20-x0，0 x20,二次函数的自变量取值范围,二次函数的自变量的取值范围是所有实数， 但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制,归纳总结,例3一个正方

50、形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是 x的什么函数,解：由题意得y1222x(x+1)， 又x+12x12，1x6， 即y2x22x144(1x6)， y是x的二次函数,分析：本题中的数量关系是： 剩余面积=正方形面积-长方形面积,列二次函数关系式,当堂练习,2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m0 B . m,n是常数,且n0 C. m,n是常数,且mn D . m,n为任何实数,C,1.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax+bx

51、+c的形式，二次项为 _,一次项系数为_，常数项为,3下列函数是二次函数的是 ( ) Ay2x1 B Cy3x21 D,C,3x2,16,12,4. 已知函数 y=3x2m-15 当m=时，y是关于x的一次函数； 当m=时，y是关于x的二次函数,1,5.（1） n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系,2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是10（万元）,那么请你写出两年后的本息和y(万元)的表达式(不考虑利息税,y=10(x+1)=10 x+20 x+10,6.矩形的周长为16cm,它的一边长

52、为x cm,面积为y cm2.求 （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积,解：(1)y(8x)xx28x (0 x8,2)当x3时，y328315 (cm2,课堂小结,二次函数,定 义,y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数,一般形式,右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a 0,特殊形式,y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数,第二章 二次函数,2.2 二次函数的图象与性质,第1课时 二次函数y=x2和y=x2的图象与性质,学习目标,1知道二次函数的图象是一条抛物线. 2会画二次函数y=x2与y=-x2

53、的图象.（难点） 3掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用.（重点,1、一次函数y=kx+b(k0,导入新课,你还记得一次函数与反比例函数的图象吗,复习引入,2、反比例函数,2.通常怎样画一个函数的图象,列表、描点、连线,3.那么二次函数y=x2的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗,讲授新课,你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗,9,4,1,0,1,9,4,1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值,二次函数y=x2和y=-x2的图象和性质,合作探究,2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y,3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次

54、连接各点，就得到y = x2 的图象,问题1 你能描述图象的形状吗,二次函数y=x2的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上,观察思考,当x0时，y随x的增大而增大,问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么,有，(0,0,问题3 当x0 时呢,问题4 当x取何值时，y的值最小？ 最小值是什么,x=0时，ymin=0,3,3,o,3,6,9,x,y,对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点, 它是图象的最低点， 为(0,0,问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴 是什么,这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴,练一练：画出函数y=x2的图象，并仿照y=x2的性质说 出y=x

55、2有哪些性质,y,合作探究,抛物线关于y轴对称,顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点,图象是一条开口向下的抛物线,当x0时，y随x的增大而减小， 当x=0时，ymax=0,位置开 口方向,对称性,顶点 最值,增减性,开口向上,在x轴上方,开口向下,在x轴下方,关于y轴对称，对称轴方程是直线x0,顶点坐标是原点（0，0,当x=0时，y最小值=0,当x=0时，y最大值=0,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,要点归纳,例1 若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_,y2y1,例1变式 若点A(-1,

56、y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_,y1y2,典例精析,例2：已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积,解：由题意得 解得 所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1) 直线y3x4与y轴相交于点C(0，4)，即CO4. SACO CO48，SBOC 412， SABOSACOSBOC10,当堂练习,1.两条抛物线 与 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（） A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值,C,2二

57、次函数 y = -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而_,减小,3若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是,2，4,4设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象,解,S = a2(a0,列表,0,1,4,9,描点并连线,S=a2,5.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围,解：二次函数y=x2， 当x=0时，y有最小值，且y最小值=0， 当xm时，y最小值=0， m0,6.已知 是二次函数，且当x0时， y随x的增大而减小，则a=_,解析：由题意可知 解得a=3或a=-3. 又当x0时，y

58、随x的增大而减小， a=3,3,7.已知点(3，y1)，(1，y2)，( ，y3)都在函数yx2的图象上， 则y1、y2、y3的大小关系是_,解析：方法一：把x3， ，1，分别代入yx2中， 得y19，y21，y32，则y1y3y2； 方法二：如图，作出函数yx2的图象， 把各点依次在函数图象上标出由图象可知y1y3y2,y1y3y2,方法三：在对称轴的右边，y随x的增大而增大， 而点(3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1) 又3 1，y1y3y2,课堂小结,二次函数y=x2和y=x2图象与性质,画法,描点法,以对称轴为中心对称取点,图象,抛物线,轴对称图形,性质,重点关注4个方面,开口方向

59、,对称轴,顶点坐标,增减性,2.2 二次函数的图象与性质,第二章 二次函数,第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质,学习目标,1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点） 2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.（重点） 3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系,导入新课,门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗,羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出二次函数y=x2的性质吗,如果二次函数y=ax2的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧,情境引入,讲授新课,画出函数 的图象,列表,4.5,2,0.5,0,4.5,2,0.5,二次函数y=ax2的图象与性质,合作探究,描点，连线,问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状,二次函数y=2x2的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上,问题2 图象的对称轴是什