周世勋量子力学答案

1、he1量子力学习题及解答第一章量子理论基础m与温1. 1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 度T成反比，即m T=b （常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 解根据普朗克的黑体辐射公式d 8 hv3vdv3c以及1hve讦c，-dv，1(1)(2)vdv(3)dvdcd -v(Fv()c8 he 15hce肯1这里的的物理意义是黑体波长介于入与入+d入之间的辐射能量密度。本题关注的是入取何值时，取得极大值，因此，就得要求对入的一 阶导数为零，由此可求得相应的入的值，记作m。但要注意的是，还需要验证对入的二阶导数在 m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求

2、得的m就是要求的，具体如下：8 hc 1hckThckT1hckTkTheTt5(1hee市)hekT如果令x二匹，则上述方程为kT5（1 e x） x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0,但经过验证，此解是平庸的； 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此hexk310 m K解正是所要求的，这样则有mT把x以及三个物理常量代入到上式便知mT 2.9这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定 温度的高低。1. 2在OK附近，钠的价电子能量约为3eV

3、,求其德布罗意波长 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv,如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动 eC2 ），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pe注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于电子的质量与光速平 方的乘积，即0.51 106eV，因此利用非相对论性的电子的能量一一动量关系式, 这样，便有h2 eEhe2 eC2E1.24 10 6,m2 0.51 106 390.71 10 m0.71 nm在这里，利用了he 1.24 10 6 eV m以及ee20.51 106eV最后，对he2 eC2E作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的

4、波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒 象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。31. 3氦原子的动能是E |kT （k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德 布罗意波长。解根据31k K 10 eV，知本题的氦原子的动能为33E kT k K 1.5 103eV,22显然远远小于 核c2这样，便有1.24 10 61m.2 3.7 1 09 1.5 1 0 30.37 10 9m0.37 nm这里，

5、利用了269核 c 4 93110 eV 3.7 10 eV最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论， 由某种粒子构成的温度 为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT,这样，其相庆的德布罗意波 长就为hehe2 c2E2 ke2T据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波 动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时， 粒子间的相干性 就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布， 而必须 用量子的描述粒子的统计分布 玻色分布或费米公布。1. 4利用玻尔索末菲的量子化条件，求：(1) 一维谐振子的能量；(2) 在均匀磁场中作圆周

6、运动的电子轨道的可能半径已知外磁场H=10T玻尔磁子Mb 9 10 24J T 1，试计算运能的量子化间隔AE,并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较 解玻尔索末菲的量子化条件为pdq nh其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿 运动轨道积一圈，n是正整数。(1)设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为卩，于是有这样，便有P2Pkx2)21kx这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据E -kx22可解出2E这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔一一索末菲的量子化条件, 有1 22

7、(Ekx )dx22 (E1kx)dxv2xxxxxxxX 2 (E 1 kx2)dxi 2()、2 (E ；kx2)dx nhx2(E1 2kx )dx nh2为了积分上述方程的左边，作以下变量代换;x ,2EsinV k这样,便有22E cos2 d2E . sink这时,这样,2 E2令上式左边的积分为便有；2E cos kcos2 d kcos d2E2A,此外再构造一个积分2八十驯d2 2E2nh2E22E k(1)2 2E2cos2 d k这里=2 这样，就有sin 0B E(2)E BMB根据式（1）和（2）,便有这样，便有其中h 2最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能

8、量被量子化了；其次, 这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有pqBR这时，玻尔索末菲的量子化条件就为qBRd(R )nhqBR2 2 nhqBR2 nh2又因为动能耐E夕，所以，有2(qBR)22 2 2qBR2qBn2nBNB,nB2其中，MB 是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且具体到本题，有E109 10 24 J9 10 23 J根据动能与温度的关系式E 3kT2以及1kK310 eV 1.610 22 J可知，当温度T=4K时，E1.541.6 10 22 J9.6 10 22 J当温度T=100K时，E1.51001.6 10 22

9、J2.4 10 20 J显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔 1. 5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等， 问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概 率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算， 修正当涉及到这个过程的运动学方面， 如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用 那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时， 转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有E hv ec此外，还有于是，有hc 2

10、eChc2 eC1.24 100.51 1062.4 10 12m2.4 103nm尽管这是光子转化为电子的最大波长， 知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子,但从数值上看，也是相当小的，我们如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小， 这从某种意义上 告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。 能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是 世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波 函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令(r，

11、t) (r)f(t)J-Et(r)eJ 2m(iiEt2mi(r)eiEt(r)e )Et(r)eiEt(r)e )2m(r)*(r)*(r)(r)可见J与t无关。2.2 由下列定态波函数计算几率流密度:(1) i1 ikrer(2) 2ikr从所得结果说明1表示向外传播的球面波,2表示向（即向原点）传播的球面波。解：J,和J2只有r分量在球坐标中1e rsinr e -r ri(1)Ji2m( ii)i r1 e 2m ri 1 ( 2m rk 訂0 mrikr/ 1 ikr 、1 ikr(_e ) er rr111-ik)-( rrrk 3r mr/ 1 ikr 、(e )r r r1 i

12、k )ro心与r同向。表示向外传播的球面波J2ir 1ikr/ 1 ikr 、e -(e )2mrr rir1 11(2ik)2mr rrkk2 r3 rmrmr*22m( 21 ikr1ikre( e )ror r r1 1 1 -(p ik)r r r r可见，J?与r反向。表示向(即向原点)传播的球面波补充：设(x) eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化?dx dx波函数不能按I (x)2dx 1方式归一化。其相对位置几率分布函数为2 1表示粒子在空间各处出现的几率相同2.3 一粒子在一维势场,x 0 U (x)0, 0 x a,x a中运动，求粒子的能级和对应的波函数

13、。解：U(x)与t无关，是定态冋题。其定态 S 方程2 d2石衣(X) U(X) (X) E在各区域的具体形式为02 d22m dx21 (x)U(x) i(x) E i(x)n：2 d222m dx2（X）E 2(x)m：2m dx23(X)U(x) 3(x) E 3(x)由于（1）、（3）方程中，由于U(x) ，要等式成立，必须,X) 02（X）0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程（2）可变为2d 2 (x) 2mEdx222(X)d22(X)k2k2（X）0其解为2（X）Asin kx Bcoskx根据波函数的标准条件确定系数 A, B,由连续性条件，得2(0) 1(0)2(a)3(

14、a)Asin ka 0A 0 sinka ka n(n 1,2,3,2（X）As in 丄 xa由归一化条件2(x) dx 1A2“sin2- xdx 10 aa由 bsinsin xdxaa二 mn22anx a22(x)舊 sink22mE2En222ma(n 1,2,3,）可见E是量子化的。对应于En的归一化的定态波函数为-Ent2 . n,、 sin xea,n(x, t) . a a0,24 证明（2.6-14 ）式中的归一化常数是A sin(x a), x a a0,(2.6-14)由归一化，得2dx A 2sin2 (x a)dxaa2 a 1nA 1 cos (x a)dx a

15、2aa 2A 2 a2 aA22a2 A2 a . A asin2 nA2acos (xaa)dxa)解：(x)l(x)i(x)22x22 xe归一化常数A 1Ja2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。1 2x22 xe 222x2x e2xd 1(x) dx2x3e2x2令 d jx) V dx0，得由i(x)的表达式可知,0 ,x时，i(x)0。显然不是最大几率的位置。2x222 3 (22x(2x 22x3)e 2x2可见x -4x4)e 2xi(x)dx2x是所求几率最大的位置。22.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U( x) U(x)，证明粒子的定态波函数具有确

16、定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为2 . 2厂丽(x) U(x)(x) E (x)将式中的X以(X)代换,2 2厂 d7 ( x)U ( x)(x) E (x)利用U( x) U(x)，得2 .2厂丽(x) U(x)(x) E (x)比较、式可知,(X)和(X)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此(X)和(X)之间只能相差一个常数C。方程、可相互进行空间反演(XX)而得其对方，由经X X反演，可得，(x) c (X)由再经X X反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。(X) C ( X)乘,得(X)( X)C2(X) ( X

17、)可见，C21C1当C1时，(X)(X)，(X)具有偶于称,当C1时，(X)(X)，(x)具有奇宇称,当势场满足u( x) U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#2.7 粒子在一维势阱中U(x) U00,0,运动，求束缚态（0 EUo）的能级所满足的方程。解法一：粒子所满足的S-方程为22厂衣(x)U(x) (x) E (x)按势能U（x）的形式分区域的具体形式为n：2 d2_di(x)U0 i(x)i(x)d2dx22(x)E 2(x)dx23（X）U。3（X）3（X）整理后，得n：.(U02E)2 E2_m：E)令ki22 (U。 E)ki2n：k；m：ki2 ikixkix各方程

18、的解为1 Ae 1 Be2 Csi nk2x Dcosk2x3 Ee “ Fe由波函数的有限性，有kixkix1 ()有限3()有限A 0E 0因此1 Bek1x3 Fe k1x由波函数的连续性，有1( a)2( a),Be k1aCsin k2aD cosk2a(10)1( a)2( a),&Be k1ak2Ccosk2a k2Ds in k2a(11)2(a)3(a),Csin k2aDcosk2aFe k1a(12)2 (a)3(a),k2Ccosk2a k2Ds ink2ak1 Fe k1a(13)整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得ek1aB sin k2

19、aC cosk2aD 00ke k1aB k2 cosk2aCk2 sink2aD 000 sink2aC cosk2aD e k1aF00k2 cosk2aC k2 sink2aD k1e0解此方程即可得出B、C、D F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须e k1asink2acosk2a0k1e k1ak2cosk2ak2 sin k2a000si nk2acosk2ak ae 10k2 cosk2ak2 sin k2a k1 Be k1a0 e kiak2 cosk2asin k2ak2 cosk2ak2 sin k2a cosk2a e k2 sink2a k1e0kak

20、asin k2asin k2a k2 cosk2a e k1a k1k2e k1a cos2 k2a k1k2e k1a sin2 k2a k；ek 1ak 1ak1e 1 k1e 1kak1eak1ecosk2a cosk2a k2 sin k2a2 k1ak2e0kiaekiak1esin k2acosk2ak1a sin k2acosk2a sin k2acosk2a k2e k1a cos2 k2a k2e k1a sin2 k2ak2 sin2k2a k12 sin2k2a2k1k2 cos2k2asin k2acosk2ae 2k1a 2k1k2 cos2k2a e 2k1a(k2

21、 kf)sin2k2a2kia二（k；kJ sin 2k2a2k!k2 cos2k2a 0即（k；k12)tg2k2a2k1k20为所求束缚态能级所满足的方程。#解法二：接(13)式Csin k2a D cosk2ak2k2Ccosk2a Dsin k2ak1k1Csin k2a D cosk2ak 2k1Ccosk2a2 Ds in k2ak1#解法三:k-2cosk2a sin k2a kik2 cosk2a sin k?a ki(k2cosk2aki(k2cosk2aki(电 cosk2akik2 sin k2a ki(k(sin k?a kicosk2acoskza)sin k2a)(

22、-k2sin k?akik2sin k2a)( sin k2akik2 .,sin k2a)( -sin k2akik；.2sin k2acosk2aki2sin 2k2aki(kfW)s in 2kfa kiki2coskza)cosk2a)cosk2a)k-2coskik2a sin k2acosk2a 0)sin 2k2a2k 1 k2cos2k2a(ii)-(i3)2k2Dsin k2akie(i0)+(i2)2D cosk2a ekia(B(ii) (i3)k2tgk2a ki(iO) (i2)(ii)+(i3)2k2C cosk2aki (i2)-(i0)2Csi nk2a (FB

23、)f(ii) (i3)k2ctgk2akiikiaF)F B)ekia(BF)(a)ikia令k?a,k2a,则tg(c)或ctg(d)22 Zl 2 |_2、 2Ua2(f)i22合并(a)、(b):2kik?d f2tgk?atg2k2a2 1 2利用 tg2k2a$k； k；1 tg2k2a#解法四：（最简方法-平移坐标轴法）I:21Uo1E 12n：22E22m：23Uo3E 321(Uo2E)1 02E022223(Uo2E)3 01k2 10(1)kf2k；20k；3k：301Ae k1XBekx2C sink 2xD cos k2 x3Ee k1XFex1(）有限3 (）有限因此

24、1kAe1x3Fek1 x由波函数的连续性，有(X匕 0)(0x 2a )2 (Uo E)22 E 2 束缚态0 E UoB 0E 0i(0)i(0)2(2a)2(2a)(4)(5)XFe 2k1a(6)2(0), A D2(0), k1A k2C3(2a),k2Ccos2k2a k2Dsin2k2a3(2a),Csin2k2a Dcos2k2a Fe 2(7)代入Csin 2k2a D cos2k2ak2kiC cos2k2ak 2 .-Dsin 2k2a ki利用、（5），得kik2A sin2k2aA cos2k2aA cos2k2ak2kiDsi n2k2akik22 dx2(x) U

25、(x) (x)E (x)k2)si n2k2a 2cos2k2a 0ki(-k2)si n2k2a 2cos2k2a 0 k 2 k i两边乘上(kik2)即得2 2(k2 ki )sin2k2a 2kik2cos2k2a 02.8分子间的德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为,x0 ,u。，0x a,U(x)Ui,ax b,0,bx ,求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解 定态S-方程为对各区域的具体形式为2i U (x) i E i2(x 0)2n：2 U0 2 E 2(0 x a)22m：3 Ui 3 E 3(a x b)2对于区域I, U(x)，粒子不可能到达

26、此区域，故1(X)02 (Uo E)2 2 22 (U12E)对于束缚态来说,2 k1 2k22 (U0 E)22 (Ui E)2k422 E/ 2各方程的解分别为2 Aek1XBek1X3 Csin k2x D cosk2xk3Xk3 x4 Ee 3 Fe由波函数的有限性，得4()有限，E 04 Fek3X由波函数及其一阶导数的连续,1(0)2(0) BA2A(ek3X e k3X)2(a)3(6A(ek3x e k3x)C sin k2aD cosk2a3(a)3(a)Ak1(ek3a e k3a) Ck2cosk2aDk2sin k2a3(b)4(b)Csin k2b D cosk2b

27、Fe k3bk3b3(b)4(b)Ck2 sin k2b Dk2 cosk2bFk3e(11)由、，得ki aki ak1 e ekkaki a2 e 1 e1Ccosk2a Dcosk2aC sin k2a Dcosk2a由 、得(k2cosk2b)C (k2sin k2b)D ( k3sin k2b)C (k3 cosk2b)Dk2k2(一coskzb sink2b)C( 一coskzb sin k2b)D 0(12)k3k3令 e1 e 1 ek1a e k1a k2k乞，则式变为(sin k2a cosk2a)C ( cosk2a sin k2a)D 0联立(12)、(13)得，要此方

28、程组有非零解，必须k2k2(cosk2b sin k2b) (sin k2bk3k3(sink?a coskza)( coskzacosk2b)sin k2a)k即( cosk2a sin k2a)( 2cosk2bk3sin k2b)(sin k2a cosk2a)k( sin k2b cosk2b) 0 k3k2cosk2bcosk2ak3sin k2bsin k2acosk2bsin k2asin k2(b a)($sin k2bsin k2a k3邑 si nk2bsi nk2a k3cosk2bcosk2ak)cosk2(bk/ isin k2bcosk2ak2-sin k2bcos

29、k2a)k3a)(邑1) 0k3tgk2(b a) (1代入即得k 1ak 1ak2 e 1 e 1 tgk2(b a) (1 严一k 3 e ekakak1 e e )kkqak 1a2 e 1e 1即为所要求的束缚态能级所满足的方附：从方程之后也可以直接用行列式求解。见附页(ekiaekia(ekia(ekiae kia)kia)k2sin k2ak2 cosk2asin k2bk2 cosk2bcosk2ak2 sin k2a cosk2b k2sin k2bk3e00kqae 3k3a(ekaki a)k2 cosk2asin k2bk2 coskzbk2 sin k2a coskzb

30、 k2 sin k2bek3e0k3ak3akiakia、ki(ee )sin k2asin k2bk2 cosk2bk3acosk2a cosk2b k2 sin k2b20k3ae(ekiaek3e k3ak 3asin k2akiakia(e e )( kzksecosk2b k2k3e k3a sin k2asin k2b k；e k3a cosk2asin k2b)ki (ekib e kib)(k2k3e k3bsin k2acosk2b k2e k3b cosk2acoskzb kse k3b coskzasin k?b k?e k3bsin k?asin kzb)cosk2ac

31、osk2b k22k3a(kikia(kikia) k2k3cosk2(b a) k| sin k2(b a)e k3bk akbe i )kik3Sin k2(b a) kik2cosk2(b a)e 32k bk3)k2cosk2(b a) (k2 kik3 )sin k2(b a)e 32k3)k2 cosk2(b a) (k2 kik3)sin k2(b a)ek3bk3)k2 (k；k3)k22ka(ki(ki(k2 kik3)e(kik3 )k2kik3)tgk2(b a)e(k2kk3)tgk2(b a)ek3b0(k； kk3)tgk2(b a) 0k3b(kik3)k2e2k

32、ia此即为所求方程。补充练习题一i、设（x） Ae解：由归一化条件,为常数），求A = ？有i A22X22 ix d(x) A2 2 2x d(X）A2-2e y dy利用a，则有2 2 1a2Eo2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。1解：基态能量为E0-2设基态的经典界限的位置为1ao在界限外发现振子的几率为aoe 2xdxaoe 2x2dx2T2T2T2x2dxx)2d(dyx)（偶函数性质）e y2dy2 t2 /2 ,e dt(令 y12t)1式中1/2dt为正态分布函数（x）e /2dt当x . 2时的值C.2）。查表得 C、2）0.92 0.922(1 0.92)0

33、.16在经典极限外发现振子的几率为0.16 。3、试证明(x)3 x）是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。证：线性谐振子的S-方程为2 d22 dx(x)2x2 (x)E (x)把(x)代入上式,dx2(2x)d2 (x)dx2(4x(x)x(2 3x33e22.2x:1e2dxdx2xe21 25x4x)(61 2x:)e23x17 2、3.訂27) (x)(x)代入式左边,左边272右边 E2x(2(x)2dx2222(x)(x)时，左边=右边。(x)3 x)2.18 3x)(x)(x)(x)24x22 2x (x)2 2x (x)2 2x (x)(x)(x)(x).3 dxe；

34、V(2 3x3 3 x)，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为7第三章量子力学中的力学量3.1一维谐振子处在基态(x)t，求:(1)势能的平均值U动能的平均值T动量的几率分布函数解:1(1) U 22x2x2e2x dx2 p1221J22J22eT(x) ?2(x)dxdx2 (12x2)e2 2x dx2 edx 22 2x dx2一32_214E U 12(3) c(p)p(x) (x)dx1e22(X12 ,12 eX21e 2丄Pxe dx丄Pxdx=)p22 2 2p2r22 dx动量几率分布函数为2(p) |c(p)#3.2.氢原子处在基态 (r, , ) f 1 e ，求:V

35、a3(1)r的平均值；2势能的平均值；r最可几半径；动能的平均值； 动量的几率分布函数。解：(1) r r(r,re 2r/a。r2 sin drd d4昭02r / a。drn ax in!x e dxn 10an143!3a。32a。ao2()2e3a。4e2a；4e23a。2e3a。2r/ aosindrd2r/ao0 e 0rsin drd2r/a。a。r dra。电子出现在(r)drd (r)drri0,0,d2叶dr球壳出现的几率为(r,2 2)r sindrd42r / a03 e r dr a。(r)43ea。2r/a0r2d (r)dr4 (23a。0,时,(r)d2dr22

36、r )re a。2r /aa。0为几率最小位置4 (23a。8ra。Jyr2)e a。2r/a。(r)dr2r a8ea。r a是最可几半径2L?21(sin )2sin2 1 2 12 2 (r 一)r r r sin1小 r/a0 eao1 r / a e a2 a；a2 a：2(2a42(e r/a)r2sin drd d4Qr29(er2 dr drr /a2.)r sindrd d(2r2乎)2rr/a,)e dr a c(p) P(r) (r, , )dc(p)1(2 )3/2sin202 r/ar e dripr cos(2 )3/2. a3d ( cos )r/ a3/23(2

37、 ) 一 ar2e，/adr eipripr cos(22x 3/23 i).a iprer/aipr(eipr)dr(22、3/23).a丄p)2xne axdx 马an1_7iip z 1 i 2(p)a12a； 3 ipa ( 2a4ip2咕 2 2 244a(2a 严(ao2p22)2动量几率分布函数2(p) c(p)2(aoP22)#3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer Je 0Jee mrsin证：电子的电流密度为Je eJ在球极坐标中为1r sinJeeJe2n m(q -*n m (er -1 e r r1 e - r rie*er( n mn

38、mn m2rr* 1 1n mn m )e(rr sinnm中的r和部分是实数为单位矢量式中er、e、ee1*)r sinn me1_ rsi nn mn m)e ( n1*mrn m*1 *n m)n mn m.n mr sine m2n m e r sinie2.2Je小 .(im n mim n m )e2 r sin可见，Jer Je 。e m2.n mrsi n3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的(1) 求一圆周电流的磁矩。(2) 证明氢原子磁矩为me2(SI)me2 c(CGS)原子磁矩与角动量之比为(SI)(CGS)这个比值称为回转磁比率。0解：(1)

39、 一圆周电流的磁矩为dM iA Je dS A ( i为圆周电流，A为圆周所围面积)e mr sin2dS (rsin)2r sin2dSr2 sin2drd(dS rdrd )氢原子的磁矩为M dM 02r2sindrd2 2r sin drdMz匚原子磁矩与角动量之比为(CGS)3.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是L2H 2I,L为角动量,哈米顿算符2 d222I d其本征方程为属定态问题)2I2dh)dd2 ()d 22IE (取其解为Aeimm可正可负可为零由波函数的单值性,应有eim( 2)eim求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:(1) 转子绕一固定

40、轴转动：(2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有L；L2i2m em= 0, 土 1,转子的定态能量为Em2 2m2I(m= 0, 1, 2,)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为m AeimA为归一化常数，由归一化条件12* 2 2 2m mdA2 o dA22A、12转子的归-一化波函数为nr iimm 2 e综上所述，除m=0外,能级是二重简并的。(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为H丄L22IH?与t无关，属定态问题，其本征方程为存Y( , ) EY(,)( 式中丫(，)设为F?的本征函数，E为其本征值)L?2Y( , ) 2IEY (,)令2IE 2，则有?Y( , )2