中考数学复习第2章 方程（组）与不等式（组）第1节 一次方程(组)及其应用

1、第二章方程(组)与不等式(组)第一节一次方程(组)及其应用考 点 易错自纠易错点1忽略除数不能为0的条件1.下列四个选项中,不一定成立的是( B )A.若x=y,则2x=x+yB.若ac=bc,则a=bC.若a=b,则a2=b2D.若x=y,则2x=2y易错点2整体代入时,忽略各整式之间的倍数关系及符号变化2.若x=2是关于x的一元一次方程ax-2=b的解,则3b-6a+2的值是( B )A.-8B.-4C.8D.4易错点3去分母时,方程中的常数项漏乘分母的最小公倍数3.小明在解关于x的方程2x-13=x+a3-1,去分母时,方程右边的-1没有乘3,因而求得的解为x=2,则原方程的解为( A

2、)A.x=0B.x=-1C.x=2D.x=-2易错点4混淆不同数量关系中的单位1而出错4.某商贩在一次买卖中,同时卖出两件上衣,售价都是135元,若按成本计算,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,在这次买卖中他( C )A.不赚不赔B.赚9元C.赔18元D.赚18元方 法 提分特训1.2020重庆A卷解一元一次方程12(x+1)=1-13x时,去分母后正确的是( D )A.3(x+1)=1-2xB.2(x+1)=1-3xC.2(x+1)=6-3xD.3(x+1)=6-2x2.2020四川乐山解二元一次方程组:2x+y=2,8x+3y=9.解:2x+y=2,8x+3y=9.方法一:-3,得2x

3、=3,解得x=32,把x=32代入,得y=-1,原方程组的解为x=32,y=-1.方法二:由,得y=2-2x,把代入,得8x+3(2-2x)=9,解得x=32,把x=32代入,得y=-1.原方程组的解为x=32,y=-1.3.2020江苏扬州中考节选阅读感悟:有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:已知实数x,y满足3x-y=5,2x+3y=7,求x-4y和7x+5y的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组,解得x,y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形

4、整体求得代数式的值,如由-可得x-4y=-2,由+2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题:(1)已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=-1,x+y=5.(2)某班级组织活动购买小奖品,买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元?解:(1)-15解法提示:2x+y=7,x+2y=8,-,得x-y=-1;+,得 3x+3y=15,x+y=5.(2)设每支铅笔x元,每块橡皮y元,每本日记本z元,由题意得20x+3y+2z=32,39x+5y+3z=58

5、,2-,得x+y+z=6,则5(x+y+z)=30.答:购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.4.2020合肥蜀山区模拟九章算术是中国传统数学最重要的著作之一,其中均输卷记载了这样一道有趣的数学问题:“今有凫(注释:野鸭)起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫、雁俱起,问何日相逢.”译文:“野鸭从南海起飞,7天飞到北海;大雁从北海起飞,9天飞到南海.现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞,问经过多少天相遇.”请列方程解答上面的问题.解:设经过x天相遇,依题意得x7+x9=1,解得x=6316.答:经过6316天相遇.5.2020广东广州粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶

6、出租车应用落地工作,无人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9 000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元,预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%.(1)求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元;(2)求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆.解:(1)50(1-50%)=25(万元).答:明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元.(2)设明年改装的无人驾驶出租车是x辆,则今年改装的无人驾驶出租车是(260-x)辆,由题意得,50(260-x)+25x=9 000,解得x=160.答:明年改装的无人驾驶出租车是16

7、0辆.6.2020江苏徐州本地某快递公司规定:寄件不超过1千克的部分按起步价计费;寄件超过1千克的部分按千克计费.小丽分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如下表:收费标准目的地起步价/元超过1千克的部分/(元/千克)上海ab北京a+3b+4实际收费目的地质量/千克费用/元上海29北京322求a,b的值.解:依题意,得a+(2-1)b=9,a+3+(3-1)(b+4)=22,解得a=7,b=2.真 题 考法 一次方程(组)的实际应用(10年6考)1.2020安徽,19某超市有线上和线下两种销售方式.与2019年4月份相比,该超市2020年4月份销售总额增长10%,其中线上销售额增长43%,

8、线下销售额增长4%.(1)设2019年4月份的销售总额为a元,线上销售额为x元,请用含a,x的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果);时间销售总额/元线上销售额/元线下销售额/元2019年4月份axa-x2020年4月份1.1a1.43x1.04(a-x) (或1.1a-1.43x)(2)求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值.解:(2)由题意,得1.1a-1.43x=1.04(a-x),解得x=213a.于是,2020年4月份的线上销售额为1.43x=0.22a,所以,2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.22a1.1a=0.2.变式训练2.某

9、织布厂有180名工人,为了提高经济效益,增设制衣项目,已知每人每天能织布30 m,或利用所织布制衣4件.制衣一件需要布1.5 m,将布直接出售,每米布可获利2元,将布制成衣后出售,每件可获利25元.若每名工人只能做一项工作,且不计其他因素,设安排x名工人制衣(制衣后,布仍有剩余).(1)一天中制衣所获利润为100x元(用含x的式子表示).(2)一天中销售剩余的布所获利润为(10 800-72x)元(用含x的式子表示).(3)一天当中安排多少名工人制衣时,所获总利润为13 712元?解:(1)100x解法提示:安排x名工人制衣,则一天共制衣4x件,254x=100x.故一天制衣所获利润为100x

10、元.(2)(10 800-72x)解法提示:由题意可知,安排(180-x)名工人织布,则一天共织布30(180-x)m.制衣后,剩余的布为30(180-x)-1.54x=(5 400-36x)(m),2(5 400-36x)=(10 800-72x)(元),故一天销售剩余的布所获利润为(10 800-72x)元.(3)由题意可知100x+(10 800-72x)=13 712,解得x=104.答:一天当中安排104名工人制衣时,所获总利润为13 712元.3.2019安徽,17为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难问题,当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由

11、甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲、乙两个工程队还需联合工作多少天?解:设甲工程队每天掘进x米,乙工程队每天掘进y米.根据题意,得x-y=2,3x+y=26,解得x=7,y=5.(146-26)(7+5)=10(天).答:甲、乙两个工程队还需联合工作10天.4.2018安徽,16孙子算经中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问:城中家几何?大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头

12、,恰好取完.问:城中有多少户人家?请解答上述问题.解:设城中有x户人家,根据题意,得x+x3=100,解得x=75.答:城中有75户人家.5.九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数,物价各几何?译文为:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元,每人出7元,则还差4元,问共有多少人,这个物品的价格是多少?请解答上述问题.解:设共有x人,根据题意,可列方程8x-3=7x+4.解得x=7,所以物品的价格为87-3=53(元).答:共有7人,这个物品的价格为53元.作 业 基础分点练(建议用时:45分钟)考点1一次方程(组)及其解法

13、1.2020合肥地区模拟下列根据等式的性质变形正确的是( C )A.若4x+5=3x-5,则x=0B.若3x=2,则x=1.5C.若x=2,则x2=2xD.若3x+12-1=x,则3x+1-1=2x2.2020湖南益阳同时满足二元一次方程x-y=9和4x+3y=1的x,y的值为( A )A.x=4,y=-5B.x=-4,y=5C.x=-2,y=3D.x=3,y=-63.2019山东菏泽已知x=3,y=-2是方程组ax+by=2,bx+ay=-3的解,则a+b的值是( A )A.-1B.1C.-5D.54.2020浙江衢州一元一次方程2x+1=3的解是x=1.5.2020四川凉山州解方程:x-x

14、-22=1+2x-13.解:去分母,得6x-3(x-2)=6+2(2x-1),去括号,得6x-3x+6=6+4x-2,移项,得6x-3x-4x=6-6-2,合并同类项,得-x=-2,系数化为1,得x=2.6.2020广西玉林解方程组:x-3y=-2,2x+y=3.解:x-3y=-2,2x+y=3,3,得6x+3y=9,+,得7x=7,x=1.把x=1代入,得2+y=3,y=1,原方程组的解为x=1,y=1.7.解方程组3x+2y=16,4x+3y=23.解:3,得9x+6y=48,2,得8x+6y=46,-,得x=2,将x=2代入,得6+2y=16,解得y=5.故原方程组的解为x=2,y=5.

15、考点2一次方程(组)的实际应用8.2020贵州黔南州某超市正在热销一种商品,其标价为每件12元,打8折销售后每件可获利2元,该商品每件的进价为( C )A.7.4元B.7.5元C.7.6元D.7.7元9.2020内蒙古呼和浩特中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是:有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到关口.则此人第一天和第六天这两天共走了( D )A.102里B.126里C.192里D.198里10.2020江苏盐城把19这9个数填入3

16、3的方格中,使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数字之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛书”(图(1),是世界上最早的“幻方”.图(2)是仅可以看到部分数值的“九宫格”,则其中x的值为( A )A.1B.3C.4D.611.2020宿州一模如图,小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每个长条的面积为( C )A.16 cm2B.20 cm2C.80 cm2D.160 cm212.2020山东临沂孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书大约在一千五百年前.其中一道题,原文是:

17、“今三人共车,两车空;二人共车,九人步.问人与车各几何.”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余2辆车;若每辆车乘坐2人,则有9人步行.问人与车各多少.设有x人,y辆车,可列方程组为( B )A.x3=y+2,x2+9=yB.x3=y-2,x-92=yC.x3=y+2,x-92=yD.x3=y-2,x2-9=y13.2020黑龙江齐齐哈尔母亲节来临,小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支2元,百合每支3元.小明将30元钱全部用于购买这两种花(两种花都买),小明的购买方案共有( B )A.3种B.4种C.5种D.6种14.2020浙江绍兴同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶

18、210 km.它们各自单独行驶并返回的最远距离是105 km.现在它们都从A地出发,沿笔直公路行驶,行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶,然后甲车再行驶返回A地,而乙车继续行驶,到B地后再行驶返回A地,则B地最远可距离A地( B )A.120 kmB.140 kmC.160 kmD.180 km15.2020湖南衡阳某班有52名学生,其中男生人数是女生人数的2倍少17人,则女生有23名.16.2019江苏宿迁下面3个天平左盘中“”“”分别表示两种质量不同的物体,则第三个天平右盘中砝码的质量为10.17.2020浙江绍兴有两种消费券:A券,满60元减20元;B券,满

19、90元减30元,即一次购物大于等于60元、90元,付款时分别减20元、30元.小敏有一张A券,小聪有一张B券,他们都购了一件标价相同的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款150元,则所购商品的标价是100或85元.18.2020海南某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售,刚开始每天加工3吨,后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法,每天加工5吨,前后共用6天完成全部加工任务,问该合作社改进加工方法前后各用了多少天.解:设改进加工方法前用了x天,改进加工方法后用了y天.依题意,得x+y=6,3x+5y=22,解得x=4,y=2.答:该合作社改进加工方法前用了4天,改进加工方法后

20、用了2天.19.2019内蒙古呼和浩特滴滴快车是一种便捷的出行工具,计价规则如下表:计费项目里程费时长费远途费价格1.8元/公里0.3元/分0.8元/公里注:车费由里程费、时长费、远途费三部分构成,其中里程费按行车的实际里程计算;时长费按行车的实际时间计算;远途费的收取方式为:行车里程7公里以内(含7公里)不收远途费,超过7公里的,超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车,在同一地点约见,已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里,两人付给滴滴快车的乘车费相同.(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟.(2)实际乘车时间较少的人,由于出发时间比另一人早,所

21、以提前到达约见地点在大厅等候.已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍,且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟,计算两人各自的实际乘车时间.解:(1)设小王的实际行车时间为x分钟,小张的实际行车时间为y分钟.由题意得1.86+0.3x=1.88.5+0.3y+0.8(8.5-7),10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3(x-y)=5.7,x-y=19,这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟.(2)由(1)及题意得x-y=19,1.5y=0.5x+8.5,解得x=37,y=18,故小王的实际乘车时间为37分钟,小张的实际乘车时间为18分钟.20.2020湖北黄石我国传统

22、数学名著九章算术记载:“今有牛五、羊二,直金十九两;牛二、羊五,直金十六两.问牛、羊各直金几何.”译文:“假设有5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两.”根据以上译文,提出以下两个问题:(1)求每头牛、每只羊分别值多少两银子.(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊,且银两须全部用完),请问商人有几种购买方法.列出所有的可能.解:(1)设每头牛值x两银子,每只羊值y两银子.根据题意,得5x+2y=19,2x+5y=16,解得x=3,y=2.答:每头牛值3两银子,每只羊值2两银子.(2)设买牛a头,买羊b只.则3a+2b=19

23、,即b=19-3a2.a,b均为正整数,a=5,b=2;a=3,b=5;a=1,b=8.故有三种购买方法: 买牛5头,买羊2只;买牛3头,买羊5只;买牛1头,买羊8只.综合提升练(建议用时:15分钟)1.2020浙江嘉兴用加减消元法解二元一次方程组x+3y=4,2x-y=1时,下列方法中无法消元的是( D )A.2-B.(-3)-C.(-2)+D.-32.2020湖南常德2020年新冠肺炎疫情初期,口罩供应短缺,某地规定:每人每次限购5只.李红出门买口罩时,无论是否买到,都会消耗家里库存的口罩一只,如果有口罩可以买,他将买回5只.已知李红家原有库存15只,出门10次购买后,家里现有口罩35只.

24、则李红出门没有买到口罩的次数是4次.3.某公司2019年使用自主研发生产的甲、乙、丙三类芯片共280万块,其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍,丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多40万块.这些芯片占据了该公司2019年生产的设备所需芯片的50%(1台设备需要使用1块芯片).(1)求2019年甲类芯片的产量.(2)该公司计划扩大这三类芯片的产量,使2020年生产的设备全部使用这三类芯片,其中,甲类芯片的产量比上一年增长m%,乙类芯片的产量增长的百分数比m%小1,丙类芯片的产量增加n万块.2019年和2020年,丙类芯片两年的总产量达到376万块.这样,2020年该公司设备的产量比2019年

25、全年的设备产量多10%.求m,n的值.解:(1)设2019年甲类芯片的产量为x万块,则x+2x+(x+2x)+40=280,解得x=40.故2019年甲类芯片的产量为40万块.(2)2019年丙类芯片的产量为3x+40=160(万块),则160+160+n=376,解得n=56,故丙类芯片2020年的产量为160+56=216(万块).2019年该公司设备的产量为28050%=560(万台),则由题意得40(1+m%)+240(1+m%-1)+216=560(1+10%),解得m=300.全国视野创新练1.新情境2020浙江金华如图,在编写数学谜题时,“”内要求填写同一个数字,若设“”内数字为

26、x,则列出方程正确的是( D )A.32x+5=2xB.320x+5=10x2 C.320+x+5=20xD.3(20+x)+5=10x+22.开放型2020浙江绍兴若关于x,y的二元一次方程组x+y=2,A=0的解为x=1,y=1,则多项式A可以是x-y(答案不唯一)(写出一个即可).3.新形式2020辽宁朝阳已知关于x,y的方程组2x+y=2a+1,x+2y=5-5a的解满足x+y=-3,则a的值为5.参考答案考点【易错自纠】1.B若ac=bc,当c0时,a=b;当c=0时,a=b不一定成立,故选B.2.B将x=2代入一元一次方程ax-2=b,得2a-2=b,则2a-b=2,3b-6a+2

27、=-3(2a-b)+2=-32+2=-4.3.A根据题意,可知x=2满足2x-1=x+a-1,则3=2+a-1,解得a=2,代入原方程,得2x-13=x+23-1,去分母,得2x-1=x+2-3,移项、合并同类项,得x=0.4.C设盈利的衣服成本为x元,根据题意可列方程(1+25%)x=135,解得x=108,135-108=27(元),故盈利27元.设亏本的衣服成本为y元,根据题意可列方程(1-25%)y=135,解得y=180,135-180=-45(元).27+(-45)=-18(元),故这次买卖中赔了18元.作业基础分点练1.C若4x+5=3x-5,则x=-10.若3x=2,则x=23

28、.若x=2,则x2=4,2x=4,故x2=2x.若3x+12-1=x,则3x+1-2=2x.2.A联立x-y=9,4x+3y=1,解得x=4,y=-5.3.A将x=3,y=-2代入ax+by=2,bx+ay=-3,得3a-2b=2,3b-2a=-3,+得a+b=-1.4.12x+1=3,移项、合并同类项,得2x=2,系数化为1,得x=1.57.略8.C设该商品每件的进价为x元,依题意,得120.8-x=2,解得x=7.6.故选C.9.D设第六天走的路程为x里,则第五天走的路程为2x里,第四天走的路程为4x里,第三天走的路程为8x里,第二天走的路程为16x里,第一天走的路程为32x里,依题意,得x+2x+4x+8x+16x+32x=378,解得x=6,则32x=192.6+192=198,故此人第一天和第六天这两天共走了198里,故选D.10.A由题图(2)可知对角线上的数字之和为15,右下角的数字为15-2-7=6,8+x+6=15,x=1.11.C设原来正方形纸片的边长是x