立体几何线线垂直专题(史上最全

1、标准实用立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法:例1、（等腰三角形三线合一

2、）如图，已知空间四边形 ABCD中，BC AC,AD BD，E是AB的中点。求证：（1）AB 平面 CDE; (2)平面 CDE、卄BC ACAD BD证明：（1）CE AB 同理，AE BEAE BE又VCE DE EAB 平面 CDE(2 )由(1 )有 AB平面 CDE又AB平面ABC，平面CDE 平面 ABC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥形.PB PD，E为PA的中点.（I）求证:平面BDE .P ABCD的底面是菱AB文案大全CB例3、（线线、线面垂直相互转化）已知 ABC中 ACB 90,SA 面ABC , AD SC,求证：AD面 SBC .证明：T

3、 ACB 90 BC AC又 SA 面 ABC SA BCBC 面 SACBC AD 又 SC AD,SC BC C AD 面 SBC例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆0在平面，AB是圆0的直B径，C是圆0的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC，点E是线段PC的中点.求证：AE 平面PBC .证明： PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA.又 AB是eO的直径，ACB是直径所对的圆周角，二BC AC .VPA I AC A, PA 平面 PAC，AC 平面 PAC .BC 平面 PAC， AE 平面 PAC，二 AE BC .VPA AC，点E是线段PC

4、的中点.AAE PC .PCI BC C,PC 平面 PBC, BC 平面 PBC.AE 平面 PBC.例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是等腰梯形，AB /CD, /DAB = 60 ,AE丄 BD , CB = CD = CF. 求证：BD 丄平面 AED ;证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB /CD，/DAB = 60 ,所以/ADC = /BCD = 120 又 CB = CD，所以/CDB = 30 ，因此/ADB = 90 ，即AD 丄BD.又 AE 丄 BD，且 AEAAD = A，AE，AD?平面 AED，所以BD丄平面AED.例6、（勾股定

5、理的逆定理）如图 7 7 5所示，已知直三棱柱 ABC AiBiCi中ABC为等腰直角三角形，/ BAC = 90 ，且AB = AAi，D、E、F分别为BiA、CiC、BC的中点.求证：（i）DE /平面ABC; （2）BiF丄平面 AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD AiBiCiDi中，AiC丄平面BCiD证明：连结AC BD丄AC AC为AiC在平面AC上的射影BD AiCAiC平面BGD同理可证AiC BCi练习;DiCiCi、如图在三棱锥P ABC中，AB = AC , D为BC的中点，PO丄平 面ABC，垂足0落在线段AD上证明：AP丄BC;DCi12、直三棱柱

6、ABC AiBiCi中，AC = BC = ；AA i, D是棱AAi的中点,丄BD.证明：DCi丄BC。3如图，平行四边形 ABCD中，/DAB = 60 ,AB = 2, AD = 4.将CBD沿BD折起到 EBD的位置，使平面 EBD丄平面ABD.(1)求证：AB丄DE；求三棱锥EABD的侧面积.4、在正三棱柱 ABC AG中，若AB=2，AA, 1 ,求点A到平面ABC的距离。5、如图所示，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA= AD.求证：（1）CD丄PD ；EF丄平面PCD.6、如图7 5 9(1)，在RtABC中，/

7、C = 90 ,D , E分别为AC , AB的中点，点F为线 段CD上的一点，将 ADE沿DE折起到AAiDE的位置，使 AiF丄CD，如图.(2)求证：AiF丄BE.线段AiB上是否存在点Q，使AiC丄平面DEQ ?说明理由.立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个

8、平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC AC,AD BD，E是ABBC AC证明：（1）AE BECEAB 同理，AD BDAE BE又VCE DE EAB平面CDE（2 ）由（1 ）有 AB平面 CDE又AB 平面ABC，平面CDE 平面 ABC的中点。求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDEP ABCD的底面是菱例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知

9、四棱锥形.PB PD , E为PA的中点.（I）求证：PC /平面BDE； （U）求证：平面 PAC 平面BDE CSC,求证：ADCB例3、（线线、线面垂直相互转化）已知 ABC中ACB 90, SA 面ABC, AD面 SBC .证明： ACB 90 BC AC又 SA 面 ABC SA BCBC 面 SACBC AD 又 SC AD,SC BC C AD 面 SBC例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直 径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC，点E是线段PC的中点.求证：AE 平面PBC .证明： PA eO所在平面，BC是e

10、O的弦，二BC PA.又 AB是eO的直径，ACB是直径所对的圆周角，二B图2 CBC AC .PAIACA, PA平面 PAC，AC平面 PAC .BC平面PAC，AE 平面 PAC， AE BCPAAC，点E是:线段PC的中点 AE PC .PCIBCC ,PC平面 PBC， BC平面 PBCAE平面PBC.例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是等腰梯形，AB /CD, /DAB = 60 ,AE丄 BD , CB = CD = CF. 求证：BD 丄平面 AED ;证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB /CD，/DAB = 60 ,所以/ADC = /BC

11、D = 120 又 CB = CD，所以/CDB = 30 ，因此/ADB = 90 ，即AD 丄BD.又 AE 丄 BD，且 AEAAD = A，AE，AD?平面 AED，所以BD丄平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如图7 7 5所示，已知直三棱柱 ABC AiBiCi中ABC为等腰直角三角形，/ BAC = 90 ，且AB = AAi，D、E、F分别为BiA、CiC、BC的中点.求证：（i）DE /平面ABC; （2）BiF丄平面 AEF.例7、(三垂线定理)证明：在正方体 ABCD AiBiCiDi中，AiC丄平面BCiD证明：连结AC BD丄AC AC为AiC在平面AC上的射影BD

12、 AiC同理可证AiC BCiAiC 平面BCiDDiCiABBiC练习；i、如图在三棱锥P ABC中，AB = AC , D为BC的中点，PO丄平面ABC，垂足0落在线段AD上证明：AP丄BC;2、直三棱柱 ABC AiBiCi 中, AC二 BC = 2AAiD是棱AAi的中点,丄BD.(i)证明：DCi 丄BC;DCi证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于 D为AAi的中点，故DC= DCi.1又 AC = AAi，可得 DC2 + DC2 = CC2，所以 DCi 丄DC.2又DCi丄BD，DC ABD = D，所以DCi丄平面BCD.因为BC?平面BCD，所以DCi丄BC.,AB =

13、 2，AD = 4.将CBD 沿 BD 折起至U AEBD3如图，平行四边形 ABCD中，/DAB = 60 的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1) 求证：AB丄DE;(2) 求三棱锥EABD的侧面积.(i)证明：在ABD中，VAB = 2，AD = 4，ZDAB = 60 ，设F为AD边的中点，连接FB,ZABF为等边三角形，ZAFB = 60 ，又DF = BF= 2，azbFD为等腰三角形. /FDB = 30。，故公BD = 90 AB丄BD.又平面EBD丄平面ABD，平面EBD A平面ABD = BD，AB?平面ABD，AB 丄平面 EBD.TDE?平面 EBD,：AB 丄 DE.

14、(2)【解析】 由(i)知AB丄BD，VCD /AB，：CD丄BD，从而DE丄BD.在 RtQBE 中，：DB = 2 . 3，DE = DC = AB = 2 ,：Szdbe =DB DE = 2 3.AB 丄平面 EBD，BE?平面 EBD，AAB 丄BE.：BE= BC = AD = 4，1Szabe=AB BE= 4. VDE丄BD，平面 EBD丄平面 ABD ,：ED丄平面 ABD .而 AD?平面2ABD ,：ED丄AD ,：Szade = ：AD DE = 4.综上，三棱锥 EABD 的侧面积 S = 8 + 2r3.4、在正三棱柱 ABC AB1C1中，若AB=2 , AAi

15、1 ,求点A到平面AiBC的距离。6如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD.求证：（1）CD丄PD ;EF丄平面PCD.证明 （1） TPA丄底面ABCD ,.CD丄PA.又矩形abcd中，CD丄ad，且ad gpa= a ,CD丄平面 PAD , ACD 丄PD.（2）取PD的中点G,连接AG , FG.又tG、F分别是PD、PC的中点，1GF綊2CD，-gf綊AE，四边形Aefg是平行四边形,DAG /EF.PA= AD , G 是 PD 的中点，：AG 丄PD ,：EF丄PD ,CD丄平面 PAD , AG 平面

16、PAD./CD 丄AG.：EF丄CD.F为线PD PCD = D , AEF丄平面 PCD.6、如图 7 5 9(1)，在 RtABC 中，/C = 90 ,D，E 分别为 AC，AB 的中点，点段CD上的一点，将 ADE沿DE折起到AAiDE的位置，使 AiF丄CD，如图.B求证：AiF丄BE.(3)线段AiB上是否存在点 Q，使AiC丄平面DEQ ?说明理由(1)求证：DE /【规范解答】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点,所以DE /BC.2分又因为DE?平面AiCB，所以DE /平面A1CB.4分(2)由已知得AC丄BC且DE /BC， 所以DE丄AC.所以DE丄A1D，DE丄CD.所以DE丄平面A1DC.6分又A1F?平面A1DC，所以DE丄A1F.又因为 AiF丄CD , CD