(完整版)二次函数图像与性质总结(含答案),推荐文档

1、二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax2 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(0， 0)y 轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时，y 随 x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值0 a 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0向上(0， c)y 轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时，y 随 x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值c a 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0向上(h ， 0)x=hx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的

2、增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 a h 时， y 随 x 的增大而减小； x 0向上(h ， k )x=hx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值k a h 时， y 随 x 的增大而减小； x 0)【(k0)【( h0)【( h0)【( k0)【( h0)【(k 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a当 x - b 时， y 随 x 的增大而增大；当2a4ac - b2x = -时， y 有最小值2a4abb4ac - b2 2. 当 a 0 时，抛物线开口

3、向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a 当x - b2a4ac - b2时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - b 时，2ay 有最大值4a六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；2. 顶点式： y = a(x - h)2 + k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；3. 两根式： y = a(x - x1)(x - x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数

4、都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b2 - 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y = ax2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； 当 a 0 的前提下，当b 0 时， - b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2a当b = 0 时， - b = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2a 在 a 0 时，

5、- b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当b = 0 时， - b = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b 0 时， - b 0 ，在 y 轴的右侧则 ab 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ； 当c 0当 x = -3 时， y min = -7函数在区间(-， - 3 上是减函数，在区间-3， + ) 上是增函数。【例 4】求函数 y = -5x 2 + 3x + 1图象的顶点坐标、对称轴、最值。b334ac - b 24 (-5)

6、1 - 3229q -= -=，=2a2 (-5)104a3 29=4 (-5)2029函数图象的顶点坐标为( , ) ，对称轴为 x = 10 2020329q -5 0当 x = 10 时，函数取得最大值 ymaz = 20函数在区间(-,3 上是增函数，在区间-3,+) 上是减函数。10【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1) 配方法；如例 3(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例 4，可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式： y = a(x + b )22a【二次函数题型总结】1. 关于二次函数的概念+ 4ac -

7、b 24a(a 0)例 1如果函数 y = (m - 3)xm2 -3m+2 + mx + 1是二次函数，那么 m 的值为。例 2 抛物线 y = x 2 + 2x - 4 的开口方向是；对称轴是；顶点为。y-1xo2. 关于二次函数的性质及图象x=1例 3 函数 y = ax 2 + bx + c(a 0) 的图象如图所示，则 a、b、c， d ， a + b + c ， a - b + c 的符号为，例 4 已知 abc=09a3bc=0,则二次函数 y=ax2bxc 的图像的顶点可能在（）（a） 第一或第二象限 （b）第三或第四象限 （c）第一或第四象限 （d）第二或第三象限y3-1o3

8、3. 确定二次函数的解析式例 5 已知：函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图：那么函数解析式为（）（a） y = -x 2 + 2x + 3（c） y = -x 2 - 2x + 3（b） y = x 2 - 2x - 3x（d） y = -x 2 - 2x - 34. 一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax2+bx+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是().例 7 如图：abc 是边长为 4 的等边三角形，ab 在 x 轴上，点 c 在第一象限，ac 与 y轴交于点 d，点 a 的坐标为（-1，0）（1）求b、c、d 三

9、点的坐标；（2）抛物线y = ax 2 + bx + c 经过 b、c、d 三点，求它的解析式；64c2daob5【练习题】一、选择题1. 二次函数 y = x2 - 4x - 7 的顶点坐标是()a.(2,11)b.（2，7）c.（2，11）d. （2，3）2. 把抛物线 y = -2x2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）a. y = -2(x +1)2b. y = -2(x -1)2c. y = -2x2 +1d. y = -2x2 -13. 函数 y = kx2 - k 和 y = k (k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4. 已知二次函数y = ax2 + bx

10、 + c(a 0) 的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号;当 x = 1 和 x = 3 时,函数值相等; 4a + b = 0 当 y = -2 时, x 的值只能取 0.其中正确的个数是()a.1 个b.2 个c. 3 个d. 4 个5. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根分别是 x = 1.3和x = （12）.b.-2.3c.-0.3d.-3.36. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac, bc

11、) 在（）a. 第一象限b第二象限c第三象限d第四象限7. 方程2x - x2 = 2 的正根的个数为（）xa.0 个b.1 个c.2 个.3 个8. 已知抛物线过点 a(2,0),b(-1,0),与 y 轴交于点 c,且 oc=2.则这条抛物线的解析式为a. y = x2 - x - 2c. y = x2 - x - 2 或 y = -x2 + x + 2b. y = -x2 + x + 2d. y = -x2 - x - 2 或 y = x2 + x + 2二、填空题9. 二次函数 y = x2 + bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b =。10. 已知抛物线 y=-2（x+3）+

12、5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是 .11. 一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当 x 0 时，函数值 y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。12. 抛物线 y = 2(x - 2)2 - 6 的顶点为 c，已知直线 y = -kx + 3 过点 c，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13. 二次函数 y = 2x2 - 4x -1的图象是由 y = 2x2 + bx + c 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到的,则 b=,c=。 14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是

13、40 米，在线段 ab 上离中心m 处 5 米的地方，桥的高度是( 取 3.14).三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是 x + 3 = 0 ,图象经过(1,-6),且与 y 轴的交点为(0, - 5 ).2(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3) 当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值 y 随 x 的增大而增大?第 15 题图16. 某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 h = v t - 1 gt 202（0t2），其中重力加速度 g 以 10 米/秒 2 计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初

14、速度上升，（1） 这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？（2） 在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17. 如图，抛物线 y = x2 + bx - c 经过直线 y = x - 3 与坐标轴的两个交点 a、b，此抛物线与 x 轴的另一个交点为 c，抛物线顶点为 d.（1） 求此抛物线的解析式；（2） 点 p 为抛物线上的一个动点，求使 sdapc ： sdacd = 5 ：4 的点 p的坐标。一，选择题、1a 2c3a4b5d6b7c8c二、填空题、9 b = -410 x -3 11如 y = -2x2 + 4, y =

15、2x + 4 等（答案不唯一）12113-871415三、解答题15(1)设抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c ,由题意可得- b = -32aa + b + c = -6c = -52(2) x解得 a = - 1 , b = -3, c = - 522= -1 或-5(2) x -3所以 y = - 1 x2 - 3x - 52216（1）由已知得，15 = 20t - 1 10 t 2 ，解得t = 3, t = 1 当t = 3 时不合题意，舍去。212所以当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米（2）由题意得， h = -5t 2 + 20t -5(t - 2)2 + 20

16、 ，可知顶点的横坐标t = 2 ，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升9 + 3b - c = 017（1）直线 y = x - 3 与坐标轴的交点 a（3，0），b（0，3）则-c = -3 解得b = -2c = 3所以此抛物线解析式为 y = x2 - 2x - 3 （2）抛物线的顶点 d（1，4），与 x 轴的另一个交点 c（1，0）.设 p (a, a2 - 2a - 3) ，则( 1 4 a2 - 2a - 3 ) : ( 1 4 4) = 5 : 4 .22化简得a2 - 2a - 3 = 5当 a2 - 2a - 3 0 时， a

17、2 - 2a - 3 = 5 得 a = 4, a = -2p（4，5）或 p（2，5） 当 a2 - 2a - 3 0 时， -a2 + 2a + 3 = 5 即 a2 + 2a + 2 = 0 ，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（2，5）“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant kn