(完整版)二次函数知识点汇总(全),推荐文档

1、一、二次函数概念：二次函数知识点(第一讲)第- 6 -页 共 31 页1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax2 + bx + c （ a ， b c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b，是全体实数2. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的结构特征：c 可以为零二次函数的定义域 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ， b c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax2 的性质：a 的绝对值越

2、大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(0， 0)y 轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时，y 随 x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值0 a 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0向上(0， c)y 轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时，y 随 x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值c a 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0向上(h ， 0)x=hx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 a h 时， y 随

3、x 的增大而减小； x 0向上(h ， k )x=hx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时，y 随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值k a h 时， y 随 x 的增大而减小； x 0)【(k0)【( h0)【( h0)【( k0)【( h0)【(k 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a当 x - b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b时， y 有2a2a2a4ac - b2最小值4abb4ac - b2 b2. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ，4

4、a 当 x -2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x = -2a时， y 有最大值4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；2. 顶点式： y = a(x - h)2 + k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；3. 两根式： y = a(x - x1)(x - x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b2 - 4ac 0 时，抛物线的解析

5、式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数 y = ax2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当a 0 的前提下，当b 0 时， - b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2a当b = 0 时， - b = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2a 在a 0 时， - b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当b = 0 时， - b = 0 ，即抛物线的

6、对称轴就是 y 轴；2a当b 0 时， - b 0 ，在 y 轴的右侧则ab 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ； 当c 0 时，图象与 x 轴交于两点 a(x ，0，) ，b (x0) (x x ) ，其中的 x ，x 是一元121212二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两根这两点间的距离 ab = x2- x1 =.b2 - 4ac a 当d = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当d 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任

7、何实数，都有 y 0 ；2 当a 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0抛物线与 x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根d = 0抛物线与 x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根d 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m2 - m - 2 的图像经过原点， 则m 的值是 2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的

8、图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx - 1的图像大致是y10xay10cxy0 -1 xdyo-1 xb（）3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x = 5 ，求这条抛物线的解析式。34. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线 y = ax2 + bx + c （a0）与

9、x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是32（1） 确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5. 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （1）二次函数 y = ax2 + bx + c 的图像如图 1，则点 m (b, c ) 在（ ）aa第一象限b第二象限c第三象限d第四象限（2） 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示， 则下列结论：a、b 同号；当x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（ ）

10、a1 个b2 个c3 个d4 个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，o)、(x1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(o，2)的下方下列结论：abo；4a+co，其中正确结论的个数为( )a 1 个 b. 2 个c. 3 个d4 个答案：d会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为()a(2，-3)b.(2，1)

11、c(2，3)d(3，2)答案：c例 4、（2006 年烟台市）如图（单位：m），等31 页第- 7 -页 共腰三角形 abc 以 2 米/秒的速度沿直线 l 向正方形移动，直到 ab 与 cd 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1） 写出 y 与x 的关系式；（2） 当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3） 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.第- 12 -页 共 31 页1例 5、已知抛物线 y=2x2+x- 5 2（1） 用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2） 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 a、b，求线段

12、 ab 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 p(4，10)，交 x 轴于 a(x1,0) ， b(x2 ,0) 两点(x1 aco?若存在，请你求出 m 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1) 解：如图抛物线交 x 轴于点 a(x1，0)，b(x2，o)， 则 x1x2=30，又x1o，x1o，30a=ob，x2=-3x11x1x2=-3x12=-3x 2=1. x10，x1=-1x2=3点 a(-1，o)，p(4，10)代入解析式得解得 a=2

13、b=3二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6 (2)存在点 m 使mc0aco(2) 解：点 a 关于 y 轴的对称点 a(1，o)，直线 a，c 解析式为 y=6x-6 直线 ac 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的 x 的范围为-1x0 或 ox5当点 m 的横坐标满足-1xo 或 oxaco例 7、 “已知函数 y = 1 x 2 + bx + c 的图象经过点 a（c，2），2求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1） 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二

14、次函数图象；若不能，请说明理由。（2） 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 a（c，2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2） 小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答

15、（1）根据 y = 1 x 2 + bx + c 的图象经过点 a（c，2），图象的对称轴是 x=3，得21 c 2 + bc + c = -2,2-b2 1= 3,2b = -3,解得c = 2.所以所求二次函数解析式为 y = 1 x 2 - 3x + 2. 图象如图所示。（2）在解析式中令 y=0，得 12x 2 - 3x + 2 = 0 ，解得 x = 3 +5, x = 3 -5.212所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ 5,0) ”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是(3 - 5,0).令 x=3 代入解析式，得 y = - 5 ,2所以抛物线 y = 1 x

16、2 - 3x + 2 的顶点坐标为(3,- 5 ),22所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,- 5 ) 等等。2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 abcde（如图），其中 af=2，bf=1试在 ab 上求一点 p，使矩形 pndm 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题

17、思路留下了思维空间例 2某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元） 与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1） 求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2） 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ 此时每日销售利润是多少元？15k + b = 25,【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 2k + b = 20解得 k=-1，b=40， 即一次函数表达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10

18、）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2） 问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通

19、过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )a15 m b1625 mc166 m d167 m分析：本题考查二次函数的应用答案：b知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 o（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限

20、、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a b 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点 p(x,y)在第一象限 x 0, y 0 点 p(x,y)在第二象限 x 0 点 p(x,y)在第三象限 x 0, y 0, y 0函数图像y0x图像特征图像经过一、二、三象限，y 随x 的增大而增大。k0yb0图像经过一、二、四象限，y 随0xx 的增大而减小k0yb0

21、时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2） 当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2） 当 k0k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0；当 k0a0y0xy0x性质（1） 抛物线开口向上，并向上无限延伸；b（2） 对称轴是 x= - ，顶点坐标是2ab4ac - b 2（ - ， ）；2a4ab（3） 在对称轴的左侧，即当 x - b 时，y 随 x 的增大而增大，简 2a记左减右增；b（4） 抛物线有最低点，当 x= - 时，y 有最2a4ac - b 2小值， y最小值 =

22、 4a（1） 抛物线开口向下，并向下无限延伸；b（2） 对称轴是 x= - ，顶点坐标是（2a-b ， 4ac - b 2 ）；2a4ab（3） 在对称轴的左侧，即当 x - b 时，y 随 x 的增大而减小，2a简记左增右减；b（4） 抛物线有最高点，当 x= -时，y 有2a4ac - b 2最大值， y最大值 =4a2、二次函数 y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常数，a 0) 中， a、b、c 的含义：a 表示开口方向： a 0 时，抛物线开口向上a 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当d =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当d 0)【(k0)【( h0)【( h

23、0)【( k0)【(k0)【( h 0 （即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左a侧； b 0 ,与 y 轴交于正半轴； c 0 ,与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 b 0 .a十一，中考点击考点分析：内容要求1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系3、一次函数的概念和图像4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之

24、间的关系并能解决实际生活问题命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占 2%左右一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占 5%左右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，36 分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计 2009 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用十二，初中数学助记口诀(函数部分)特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；x 轴上 y 为