(完整版)二次根式知识点总结及习题带答案,推荐文档

1、5一、 二次根式的概念【基础知识巩固】形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而 ，等都不是二次根式。二、取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。三、二次根式 （）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示 a 的算术

2、平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。四、二次根式（） 的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。（）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，

3、即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。六、 与 的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1） 被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；ababbaba（2） 被开方

4、数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是 1. 2、乘法法则：=（a0，b0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则：=（b0，a0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1） 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。（2） 步骤：如果有括号，根据去括号的法则去掉括号；把不是最简二次根式的二次根式化简；合并被开方数相同的二次根式。6、混合运算：与有理数的运算一致，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面。有理数的加法交换律、结

5、合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式， 都适用于二次根式的运算x +1x - 2二次根式有意义的条件：例 1：求下列各式有意义的所有 x 的取值范围。（1）；3 -（2）x ；23 - 2x解：（1）要使有意义，必须3 - 2x 0 ，由3 - 2x 0 得 x 3 ，23 - 2x当 x 3 时，式子在实数范围内有意义。2x + 1x - 2x + 1 0（2） 要使有意义，必须 x - 2 0 x -1且x 2，但x = -2不在x -1的范围内。x + 1x - 23x -1当 x -1且x 2 时，式子在实数范围内有意义。小练习：1、（1）当 x 是多少时，

6、在实数范围内有意义？2x +3（2） 当 x 是多少时，+1x +1在实数范围内有意义？2x +3（3） 当 x 是多少时，+x2 在实数范围内有意义？xx + 21- 2x（4） 当时，+有意义。-(x - 5)22. 使式子有意义的未知数 x 有（ ）个a0b1c2d无数，求3. 已 知 y=2 - x +x - 2 +5x 的值y3 - xx - 3x-24若+有意义，则=-m5. 若+ 1 有意义，则m 的取值范围是。m +1最简二次根式 例 2：把下列各根式化为最简二次根式：2 4750（1） 96a 3b(a 0，b 0)（2）（3）25a 2b3 (a 0，b 0)121c416

7、a 2 6ab96a 3b解： （1）= 4a 6ab(a 0，b 0)1475049 325 2735273 2 = 752 2106（2）2 47 =25a 2b 2b121c 450（3） 25a 2b3 =121c 4= 5abb (a 0，b 0) 11c 2同类根式：例 3：判断下列各组根式是否是同类根式：（1）- 175；-315；285 3416 3分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。17525 79 716解： （1） q -= -= -5 7；16

8、234334-315 = -1663 = -= - 37； 4285 3 =34= 77249 7343- 175，-315，285 3是同类二次根式16 34分母有理化：例 4：把下列各式的分母有理化：（1 135）22；（2）2 3 -2553分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积22不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，化因式。解：+ 3与-均为有理32（1） 1= 1322= 163 22 24（2）5=5(2= 2 15+ 1032+2)332-(2-2 )(2+ 2)10求值：例 5：计算：1213（1） 18 -

9、4（2）15 12 + 3 +2 3+ 1 3 分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。22333解： （1）原式= （3- 2+-2） 3=3 15= 33 +2 3 +215（2）原式 = =62 3 = ( 6331510( 3 -2 ) + 2= 3 30 - 6 53 +2 )(3 -2 )ab化简：例 6：化简：（1） a - 4ba - 2 b (a+ 4+ 4b)分析：应注意（1）式a 0，b 0 ，（2） a 0 ，所以a = ( a )2 ，b = ( b )2

10、， a - 4b 可看作( a )2 - 4( b )2 可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。ab解： （1）原式 = ( a + 2 b )( a - 2 b )- 2 ( a + 2 b )2b= ( a + 2)( a + 2 b )2a + 2 b=1=a - 2 b a - 4b例 7：化简练习：解： （1） q -st 3 0 st 3 0，而s 0 t 3 0，即t 0-st-stt 2-st原式 =|t|= -t(q t 0)6（2） q 2 0，而66原式 =- 2 - 3- 3 0化简求值：=- 2 - -( 6 - 3)6666=- 2 +- 3 = 2- 53 +

11、23 -2，b =例 8：已知： a =2求： ab3 + a 3b 的值。2分析：如果把 a，b 的值直接代入计算a 3，b3 的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到323+ 2与-互为有理化因子可计算a + b，ab ，然后将求值式子化为a + b与ab 的形式。解： a + b =3 +2 +23 -2 =3，ab = 3 +223 -2 = 124 ab3 + a 3b = ab(b2 + a 2 )= ab(a + b)2 - 2ab1 ( )2111155将a + b与ab的值代入，得： 3- 2 = 3 - = =4 4 4 2428小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必

12、须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。例 9：在实数范围内因式分解：221、2x24；【提示】先提取 2，再用平方差公式【答案】2（x）（x）332、x42x23【提示】先将 x2 看成整体，利用 x2pxq（xa）（xb）其中 abp，abq 分解再用平方差公式分解 x23【答案】（x21）（x）（x）例 10、综合应用：如图所示的 rtabc 中，b=90，点 p 从点 b 开始沿 ba 边以 1 厘米/秒的速度向点 a 移动；同时，点 q 也从点 b 开始沿 bc 边以 2 厘米/秒的速度向点 c 移动问：几秒后pbq 的面

13、积为 35平方厘米？pq 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）cq6a pb一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。1、( a - 1)2 = a - 1 成立的条件是：227a.a 1b.a 1c.a 1d.a 1 2、把化成最简二次根式，结果为：1123 32a. b9c. 69d. 393、下列根式中，最简二次根式为：4xx 2 - 4x4( x + 4) 2abcdt 2 - 2t + 14、已知 t1，化简1 - t -得：a.2 - 2tb.2tc2d0 5、下列各式中，正确的是：a.(-c (-7 )2 = -77 )2 = 72b(-0.7)2d (=

14、 0.7-0.7 )2 = 0.76、下列命题中假命题是：a设 x 0，则(- x)2= - xb. 设 x 0，则 x= -1x 2x 2c. 设 x 0，则= xd设 x 3bb3cb3db3 3若有意义，则 m 能取的最小整数值是（ ） am=0bm=1cm=2dm=34若 x0，则的结果是（）xaba0b2c0 或2d2 5下列二次根式中属于最简二次根式的是（）14484a + 4abcdxx - 6x(x - 6)6. 如果=，那么（ ）a. x0bx6c0x6dx 为一切实数5a16a 410a7. 小明的作业本上有以下四题：= 4a 2 ；= 5 2a ；3 、 -1aa3aaa

15、 2 1a2a a=；-=。做错的题是（）abcd1 + 156118. 化简的结果为（）a30b. 30c 33030d 309. 若最简二次根式3a. a = -41 + a与330114b. a =34 - 2a 的被开方数相同，则 a 的值为（ ）ca=1da= 1228210. 化简-2(+ 2) 得（ ）a2b- 2c2d 4- 2(-0.3)2(2 -5)211=；1x - 312二次根式有意义的条件是。=。m213若 m0，则| m | +x +1x -1x 2 - 114=。3 m3成立的条件是。315比较大小： 213 。8 y122xy2716=，=。3a9a3 a317

16、. 计算 a+-=。13 -23218. 与+的关系是。5x 2 + 6x + 519. 若 x =- 3 ，则的值为。154520. 化简+113-108 的结果是。1 - 8a321. 求使下列各式有意义的字母的取值范围：3x - 4m2 + 4- 1x18m2n（1）（2）（3）（4）(-144) (-169)22化简：（1）（2） - 13225（3） - 121024 5（4）2 33343 224 2 23计算：（1） - 714 （2） -1 -25 （3） (-945)32321 158452（4） - 7-28 3126 （5） 4+-+ 4（6） 6 - 2- 31 - x

17、x -1+，求1| 1 - y |24若 x，y 是实数，且 y 的值。2y - 1二次根式（一）1c2d3b4d5a6b7d8c9c10a5110.3- 212x0 且 x913m14x1155xa1516 4 y1817 318相等19120+ 3+ 16 3321（1） x 43（2） a 124（3） 全体实数 （4） x 0144 16922解：（1）原式=144 = 12 13 = 156 ；（2）原式= - 1 15 = -5 ；1692n532 m2 2n3（3）原式= - 12322 5 = - 1 3252= -16；（4）原式= 3m。23解：（1）原式=49 3 = 2

18、1；（2）原式=1 - 24 = 1 ； （3） 原式= 2315 (-2741455) = -15 27325253= -45；49287414126972 24（4） 原式= 72 ；25256522（5） 原式= 4+ 3- 2+ 4= 8+ 2；（6）原式= 6 - 3 6224解：x10, 1x0,x=1， y 1 . | 1 - y | = 1 - y = -1.2y - 1y -15 6= 6 - 2 。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy