(完整版)二次函数压轴题解题思路(含答案),推荐文档

1、二次函数压轴题解题思路一基础知识1 会求解析式2. 会利用函数性质和图像3. 相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转二典型例题（一）面积类1如图，已知抛物线经过点 a（1，0）、b（3，0）、c（0，3）三点（1） 求抛物线的解析式（2） 点 m 是线段 bc 上的点（不与 b，c 重合），过 m 作 mny 轴交抛物线于 n，若点 m 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 mn 的长（3） 在（2）的条件下，连接 nb、nc，是否存在 m，使

2、bnc 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题 专题：压轴题；数形结合 分析：（1） 已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2） 先利用待定系数法求出直线 bc 的解析式，已知点 m 的横坐标，代入直线 bc、抛物线的解析式中，可得到 m、n 点的坐标，n、m 纵坐标的差的绝对值即为 mn 的长（3） 设 mn 交 x 轴 于 d， 那 么 bnc 的 面 积 可 表 示 为 ：sbnc=smnc+smnb=mn（od+db）=mnob，mn 的表达式在（2）中已求得，ob 的长易知，由此列出关于 sbnc、m 的函数关系式，根

3、据函数的性质即可判断出bnc 是否具有最大值 解答：- 34 -解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x3），则：a（0+1）（03）=3，a=1；抛物线的解析式：y=（x+1）（x3）=x2+2x+3，解得（2） 设直线 bc 的解析式为：y=kx+b，则有：；故直线 bc 的解析式：y=x+3已知点 m 的横坐标为 m，mny，则 m（m，m+3）、n（m，m2+2m+3）；故 mn=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0m3）（3） 如图；sbnc=smnc+smnb=mn（od+db）=mnob，sbnc=（m2+3m）3=（m）2+（0m3）；当 m=时，bnc 的面积最

4、大，最大值为2. 如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 a、b 两点，与 y 轴交于 c点，已知 b 点坐标为（4，0）（1） 求抛物线的解析式；（2） 试探究abc 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3） 若点 m 是线段 bc 下方的抛物线上一点，求mbc 的面积的最大值，并求出此时 m点的坐标考点：二次函数综合题. 专题：压轴题；转化思想分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 b 点坐标代入解析式中即可（2） 首先根据抛物线的解析式确定 a 点坐标，然后通过证明abc 是直角三角形来推导出直径 ab 和圆心的位置，由此确定圆心坐标（3） mbc 的面积可由 smbc=bch

5、表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值， 即点 m 到直线 bc 的距离最大，若设一条平行于 bc 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点 m解答：解：（1）将 b（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a42，即：a=；抛物线的解析式为：y=x2x2（2）由（1）的函数解析式可求得：a（1，0）、c（0，2）；oa=1，oc=2，ob=4，即：oc2=oaob，又：ocab，oacocb，得：oca=obc；acb=oca+ocb=obc+ocb=90，abc 为直角三角形，ab 为abc 外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为 ab 的中点，且坐标为：（，0）

6、（3）已求得：b（4，0）、c（0，2），可得直线 bc 的解析式为：y=x2；设直线 lbc，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时， 可列方程：x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0；44（2b）=0，即 b=4；直线 l：y=x4所以点 m 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：，解得：即m（2，3）过 m 点作 mnx 轴于 n，sbmc=s 梯形ocmn+smnbsocb=2（2+3）+2324=4（二）周长类3. 如图，rtabo 的两直角边 oa、ob 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，o 为坐标原点，a、b 两点的坐标分别为（

7、3，0）、（0，4），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 b，且顶点在直线 x=上（1） 求抛物线对应的函数关系式；（2） 若把abo 沿 x 轴向右平移得到dce，点 a、b、o 的对应点分别是 d、c、e，当四边形 abcd 是菱形时，试判断点 c 和点 d 是否在该抛物线上，并说明理由；（3） 在（2）的条件下，连接 bd，已知对称轴上存在一点 p 使得pbd 的周长最小，求出 p 点的坐标；（4） 在（2）、（3）的条件下，若点 m 是线段 ob 上的一个动点（点 m 与点 o、b 不重合），过点 m 作bd 交 x 轴于点 n，连接 pm、pn，设 om 的长为 t，pmn 的面积为

8、 s，求 s 和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，s 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 m 点的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题. 专题：压轴题分析：（1）根据抛物线 y= 经过点 b（0，4），以及顶点在直线 x=上，得出 b，c 即可；（2） 根据菱形的性质得出 c、d 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出 x=5 或 2 时，y 的值即可（3） 首先设直线 cd 对应的函数关系式为 y=kx+b，求出解析式，当 x=时，求出 y 即可；（4） 利用 mnbd，得出omnobd，进而得出，得到 on=，进而表示出pmn 的面积，

9、利用二次函数最值求出即可解答：解：（1）抛物线 y= 经过点 b（0，4）c=4，顶点在直线 x=上，=，b= ；所求函数关系式为；（2） 在 rtabo 中，oa=3，ob=4，ab=，四边形 abcd 是菱形，bc=cd=da=ab=5，c、d 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当 x=5 时，y= ，当 x=2 时，y= ，点 c 和点 d 都在所求抛物线上；（3） 设 cd 与对称轴交于点 p，则 p 为所求的点， 设直线 cd 对应的函数关系式为 y=kx+b，则，解得：， ， 当 x=时，y=，p（），（4） mnbd，omnobd，即得 on=， 设对称轴交 x 于点 f，

10、则（pf+om）of=（+t） ， ，spnf=nfpf=（t）= ，s= （），= （0t4），a=0抛物线开口向下，s 存在最大值 由 spmn=t2+t=（t ）2+，当 t=时，s 取最大值是，此时，点 m 的坐标为（0，）（三）平行四边形类4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 a（3，0）、b（0，3），点 p是直线 ab 上的动点，过点 p 作 x 轴的垂线交抛物线于点 m，设点 p 的横坐标为 t（1） 分别求出直线 ab 和这条抛物线的解析式（2） 若点 p 在第四象限，连接 am、bm，当线段 pm 最长时，求abm 的面积（3） 是否存在这样的

11、点 p，使得以点 p、m、b、o 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 p 的横坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式； 待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型 分析：（1） 分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 a（3，0）b（0，3）分别代入y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可；（2） 设点 p 的坐标是（t，t3），则 m（t，t22t3），用 p 点的纵坐标减去 m 的纵坐标得到 pm 的长，即 pm=（t3）（t22t3）

12、=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当 t=时，pm 最长为=，再利用三角形的面积公式利用 sabm=sbpm+sapm 计算即可；（3） 由 pmob，根据平行四边形的判定得到当 pm=ob 时，点 p、m、b、o 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当 p 在第四象限：pm=ob=3，pm 最长时只有，所以不可能；当 p 在第一象限：pm=ob=3，（t22t3）（t3）=3；当 p 在第三象限： pm=ob=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值解答：解：（1）把 a（3，0）b（0，3）代入 y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是 y=x22x

13、3设直线 ab 的解析式是 y=kx+b，把 a（3，0）b（0，3）代入 y=kx+b，得，解得， 所以直线 ab 的解析式是 y=x3；（2）设点 p 的坐标是（t，t3），则 m（t，t22t3），因为 p 在第四象限，所以 pm=（t3）（t22t3）=t2+3t，当 t=时，二次函数的最大值，即 pm 最长值为=， 则 sabm=sbpm+sapm=（3）存在，理由如下：pmob，当 pm=ob 时，点 p、m、b、o 为顶点的四边形为平行四边形，当 p 在第四象限：pm=ob=3，pm 最长时只有，所以不可能有 pm=3当 p 在第一象限：pm=ob=3，（t22t3）（t3）=3

14、，解得t1=，t2=（舍去），所以 p 点的横坐标是；当 p 在第三象限：pm=ob=3，t23t=3，解得 t1=（舍去），t2=，所以 p点的横坐标是所以 p 点的横坐标是或5. 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 a（0，1），b（2，0）， o（0，0），将此三角板绕原点 o 逆时针旋转 90，得到abo（1） 一抛物线经过点 a、b、b，求该抛物线的解析式；（2） 设点 p 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 p，使四边形 pbab 的面积是abo 面积 4 倍？若存在，请求出 p 的坐标；若不存在，请说明理由（3） 在（2）的条件下，试指出四边形 pbab

15、是哪种形状的四边形？并写出四边形pbab 的两条性质考点：二次函数综合题. 专题：压轴题分析：（1） 利用旋转的性质得出 a（1，0），b（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2） 利用 s 四边形pbab=sboa+spbo+spob，再假设四边形 pbab 的面积是abo 面积的 4 倍，得出一元二次方程，得出 p 点坐标即可；（3） 利用 p 点坐标以及 b 点坐标即可得出四边形 pbab 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可解答：解：（1）abo 是由abo 绕原点 o 逆时针旋转 90得到的， 又 a（0，1），b（2，0），o（0，0），a（1，0），b（0，2）

16、方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a0），抛物线经过点 a、b、b，解得：，满足条件的抛物线的解析式为 y=x2+x+2方法二：a（1，0），b（0，2），b（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x2）将 b（0，2）代入得出：2=a（0+1）（02），解得：a=1，故满足条件的抛物线的解析式为 y=（x+1）（x2）=x2+x+2；（2） p 为第一象限内抛物线上的一动点， 设 p（x，y），则 x0，y0，p 点坐标满足 y=x2+x+2连接 pb，po，pb，s 四边形 pbab=sboa+spbo+spob，=12+2x+2y，=x+（x2+x+2）+1，=

17、x2+2x+3ao=1，bo=2，abo 面积为：12=1，假设四边形 pbab 的面积是abo 面积的 4 倍，则4=x2+2x+3， 即 x22x+1=0， 解得：x1=x2=1，此时 y=12+1+2=2，即 p（1，2）存在点 p（1，2），使四边形 pbab 的面积是abo 面积的 4 倍（3） 四边形 pbab 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等（10 分） 或用符号表示：bab=pba或abp=bpb；pa=bb；bpab；ba=pb（10 分）6. 如图，抛物线 y=x

18、22x+c 的顶点 a 在直线 l：y=x5 上（1） 求抛物线顶点 a 的坐标；（2） 设抛物线与 y 轴交于点 b，与 x 轴交于点 c、d（c 点在 d 点的左侧），试判断abd的形状；（3） 在直线 l 上是否存在一点 p，使以点 p、a、b、d 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 p 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题. 专题：压轴题；分类讨论 分析：（1） 先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点 a 的横坐标，然后代入直线 l 的解析式中即可求出点 a 的坐标（2） 由 a 点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点 b 的坐标则 ab、ad、bd 三边的

19、长可得，然后根据边长确定三角形的形状（3） 若以点 p、a、b、d 为顶点的四边形是平行四边形，应分ab 为对角线、ad 为对角线两种情况讨论，即adpb、ab pd，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出 p 点的坐标解答：解：（1）顶点 a 的横坐标为 x=1，且顶点 a 在 y=x5 上，当 x=1 时，y=15=4，a（1，4）（2） abd 是直角三角形将 a（1，4）代入 y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，b（0，3）当 y=0 时，x22x3=0，x1=1，x2=3c（1，0），d（3，0）， bd2=ob2+od2=18，ab2=（43）2+1

20、2=2，ad2=（31）2+42=20， bd2+ab2=ad2，abd=90，即abd 是直角三角形（3） 存在由题意知：直线 y=x5 交 y 轴于点 e（0，5），交 x 轴于点 f（5，0）oe=of=5， 又ob=od=3oef 与obd 都是等腰直角三角形bdl，即 pabd则构成平行四边形只能是 padb 或 pabd，如图，过点 p 作 y 轴的垂线，过点 a 作 x 轴的垂线交过 p 且平行于 x 轴的直线于点 g 设 p（x1，x15），则 g（1，x15）则 pg=|1x1|，ag=|5x14|=|1x1| pa=bd=3 由勾股定理得：（1x ）2+（1x ）2=18，

21、x 22x 8=0，x =2 或 411111p（2，7）或 p（4，1），存在点 p（2，7）或 p（4，1）使以点 a、b、d、p 为顶点的四边形是平行四边形（四）等腰三角形类7. 如图，点 a 在 x 轴上，oa=4，将线段 oa 绕点 o 顺时针旋转 120至 ob 的位置（1） 求点 b 的坐标；（2） 求经过点 a、o、b 的抛物线的解析式；（3） 在此抛物线的对称轴上，是否存在点 p，使得以点 p、o、b 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 p 的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题. 专题：压轴题；分类讨论 分析：（1） 首先根据 oa 的旋转条件确定 b 点位置

22、，然后过 b 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角形和 ob 的长（即 oa 长）确定 b 点的坐标（2） 已知 o、a、b 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式（3） 根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出 p 点的坐标，而o、b 坐标已知，可先表示出opb 三边的边长表达式，然后分op=ob、op=bp、ob=bp 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的 p点 解答：解：（1）如图，过 b 点作 bcx 轴，垂足为 c，则bco=90，aob=120，boc=60，又oa=ob=4，oc=ob=4=2，bc=obsin60=4 =2，点 b 的坐标为（2，2）

23、；（2） 抛物线过原点 o 和点 a、b，可设抛物线解析式为 y=ax2+bx， 将 a（4，0），b（22）代入，得，解得，此抛物线的解析式为 y=x2+x（3） 存在，如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 d，设点 p 的坐标为（2，y），若 ob=op，则 22+|y|2=42，解得 y=2，当 y=2时，在 rtpod 中，pdo=90，sinpod=，pod=60，pob=pod+aob=60+120=180，即 p、o、b 三点在同一直线上，y=2 不符合题意，舍去，点 p 的坐标为（2，2）若 ob=pb，则 42+|y+2|2=42， 解得 y=

24、2，故点 p 的坐标为（2，2），若 op=bp，则 22+|y|2=42+|y+2|2， 解得 y=2，故点 p 的坐标为（2，2），综上所述，符合条件的点 p 只有一个，其坐标为（2，2），8. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 abc 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 a（0，2），点 c（1，0），如图所示：抛物线 y=ax2+ax2 经过点 b（1） 求点 b 的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 在抛物线上是否还存在点 p（点 b 除外），使acp 仍然是以 ac 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 p 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.

25、专题：压轴题分析：（1） 根据题意，过点 b 作 bdx 轴，垂足为 d；根据角的互余的关系，易得 b 到 x、y 轴的距离，即 b 的坐标；（2） 根据抛物线过 b 点的坐标，可得 a 的值，进而可得其解析式；（3） 首先假设存在，分 a、c 是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案解答：解：（1）过点 b 作 bdx 轴，垂足为 d，bcd+aco=90，aco+cao=90，bcd=cao，（1 分）又bdc=coa=90，cb=ac，bcdcao，（2 分）bd=oc=1，cd=oa=2，（3 分）点 b 的坐标为（3，1）；（4 分）（2） 抛物线 y=ax2+ax2

26、经过点 b（3，1），则得到 1=9a3a2，（5 分）解得 a=，所以抛物线的解析式为 y=x2+x2；（7 分）（3） 假设存在点 p，使得acp 仍然是以 ac 为直角边的等腰直角三角形：若以点 c 为直角顶点；则延长 bc 至点 p1，使得 p1c=bc，得到等腰直角三角形acp1，（8 分）过点 p1 作 p1mx 轴，cp1=bc，mcp1=bcd，p1mc=bdc=90，mp1cdbc（10 分）cm=cd=2，p1m=bd=1，可求得点 p1（1，1）；（11 分）若以点 a 为直角顶点；则过点 a 作 ap2ca，且使得 ap2=ac，得到等腰直角三角形acp2，（12 分）

27、过点 p2 作 p2ny 轴，同理可证ap2ncao，（13 分）np2=oa=2，an=oc=1，可求得点 p2（2，1），（14 分）经检验，点 p1（1，1）与点 p2（2，1）都在抛物线 y=x2+x2 上（16 分）9. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 a（0，2），点 c（1，0），如图所示，抛物线 y=ax2ax2 经过点 b（1） 求点 b 的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 在抛物线上是否还存在点 p（点 b 除外），使acp 仍然是以 ac 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 p 的坐标；若不存在，请说明理由考点

28、：二次函数综合题.专题：代数几何综合题；压轴题 分析：（1） 首先过点 b 作 bdx 轴，垂足为 d，易证得bdccoa，即可得bd=oc=1，cd=oa=2，则可求得点 b 的坐标；（2） 利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3） 分别从以 ac 为直角边，点 c 为直角顶点，则延长 bc 至点 p1 使得 p1c=bc，得到等腰直角三角形 acp1，过点 p1 作 p1mx 轴，若以 ac 为直角边，点 a 为直角顶点，则过点 a 作 ap2ca，且使得 ap2=ac，得到等腰直角三角形 acp2，过点 p2 作 p2ny 轴，若以 ac 为直角边，点 a 为直角顶点，则过点 a

29、作 ap3ca，且使得 ap3=ac，得到等腰直角三角形 acp3，过点 p3 作 p3hy 轴，去分析则可求得答案解答：解：（1）过点 b 作 bdx 轴，垂足为 d，bcd+aco=90，ac0+oac=90，bcd=cao，又bdc=coa=90，cb=ac，bdccoa，bd=oc=1，cd=oa=2，点 b 的坐标为（3，1）；（2）抛物线 y=ax2ax2 过点 b（3，1），1=9a3a2， 解得：a=，抛物线的解析式为 y=x2x2；（3）假设存在点 p，使得acp 是等腰直角三角形，若以 ac 为直角边，点 c 为直角顶点，则延长 bc 至点 p1 使得 p1c=bc，得到等

30、腰直角三角形 acp1，过点 p1 作 p1mx 轴，如图（1），cp1=bc，mcp1=bcd，p1mc=bdc=90，mp1cdbc，cm=cd=2，p1m=bd=1，p1（1，1），经检验点 p1 在抛物线 y=x2x2 上；若以 ac 为直角边，点 a 为直角顶点，则过点 a 作 ap2ca，且使得 ap2=ac， 得到等腰直角三角形 acp2，过点 p2 作 p2ny 轴，如图（2），同理可证ap2ncao，np2=oa=2，an=oc=1，p2（2，1），经检验 p2（2，1）也在抛物线 y=x2x2 上；若以 ac 为直角边，点 a 为直角顶点，则过点 a 作 ap3ca，且使得

31、 ap3=ac， 得到等腰直角三角形 acp3，过点 p3 作 p3hy 轴，如图（3），同理可证ap3hcao，hp3=oa=2，ah=oc=1，p3（2，3），经检验 p3（2，3）不在抛物线 y=x2x2 上；故符合条件的点有 p1（1，1），p2（2，1）两点（五）综合类10. 如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 b（5，0），另一个交点为 a，且与 y 轴交于点 c（0，5）（1） 求直线 bc 与抛物线的解析式；（2） 若点 m 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 m 作 mny 轴交直线 bc 于点n，求 mn 的最大值；（3） 在（2）的

32、条件下，mn 取得最大值时，若点 p 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点， 以 bc 为边作平行四边形 cbpq，设平行四边形 cbpq 的面积为 s1，abn 的面积为 s2， 且 s1=6s2，求点 p 的坐标考点：二次函数综合题. 专题：压轴题分析：（1）设直线 bc 的解析式为 y=mx+n，将 b（5，0），c（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线 bc 的解析式；同理，将 b（5，0），c（0，5）两点的坐标代入 y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2） mn 的长是直线 bc 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于 mn 的长和

33、m 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 mn 的最大值；（3） 先求出abn 的面积 s2=5，则 s1=6s2=30再设平行四边形 cbpq 的边 bc 上的高为bd，根据平行四边形的面积公式得出 bd=3，过点 d 作直线 bc 的平行线，交抛物线与点 p，交 x 轴于点 e，在直线 de 上截取 pq=bc，则四边形 cbpq 为平行四边形证明 ebd 为等腰直角三角形，则 be=bd=6，求出 e 的坐标为（1，0），运用待定系数法求出直线 pq 的解析式为 y=x1，然后解方程组，即可求出点 p 的坐标 解答：解：（1）设直线 bc 的解析式为 y=mx+n， 将 b（5，

34、0），c（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线 bc 的解析式为 y=x+5；将 b（5，0），c（0，5）两点的坐标代入 y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为 y=x26x+5；（2）设 m（x，x26x+5）（1x5），则 n（x，x+5），mn=（x+5）（x26x+5）=x2+5x=（x）2+ ，当 x=时，mn 有最大值；（3）mn 取得最大值时，x=2.5，x+5=2.5+5=2.5，即n（2.5，2.5）解方程 x26x+5=0，得 x=1 或 5，a（1，0），b（5，0），ab=51=4，abn 的面积 s2=42.5=5，平行四边形 cbpq 的面积 s

35、1=6s2=30设平行四边形 cbpq 的边 bc 上的高为 bd，则 bcbdbc=5 ，bcbd=30，bd=3 过点 d 作直线 bc 的平行线，交抛物线与点 p，交 x 轴于点 e，在直线 de 上截取pq=bc，则四边形 cbpq 为平行四边形bcbd，obc=45，ebd=45，ebd 为等腰直角三角形，be=bd=6，b（5，0），e（1，0），设直线 pq 的解析式为 y=x+t，将 e（1，0）代入，得 1+t=0，解得 t=1直线 pq 的解析式为 y=x1解方程组，得，点 p 的坐标为 p1（2，3）（与点 d 重合）或 p2（3，4）11. 如图，抛物线 y=ax2+b

36、x+c（a0）的图象过点 c（0，1），顶点为 q（2，3），点 d 在 x 轴正半轴上，且 od=oc（1） 求直线 cd 的解析式；（2） 求抛物线的解析式；（3） 将直线 cd 绕点 c 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 e，求证：ceqcdo；（4） 在（3）的条件下，若点 p 是线段 qe 上的动点，点 f 是线段 od 上的动点，问：在p 点和 f 点移动过程中，pcf 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题. 专题：压轴题分析：（1） 利用待定系数法求出直线解析式；（2） 利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3） 关

37、键是证明ceq 与cdo 均为等腰直角三角形；（4） 如答图所示，作点 c 关于直线 qe 的对称点 c，作点 c 关于 x 轴的对称点 c，连接 cc，交 od 于点 f，交 qe 于点 p，则pcf 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，pcf 的周长等于线段 cc的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时pcf 的周长最小如答图所示，利用勾股定理求出线段 cc的长度，即pcf 周长的最小值 解答：解：（1）c（0，1），od=oc，d 点坐标为（1，0）设直线 cd 的解析式为 y=kx+b（k0），将 c（0，1），d（1，0）代入得：，解得：b=1，k=1，直

38、线 cd 的解析式为：y=x+1（2） 设抛物线的解析式为 y=a（x2）2+3，将 c（0，1）代入得：1=a（2）2+3，解得 a= y= （x2）2+3= x2+2x+1（3） 证明：由题意可知，ecd=45，oc=od，且 ocod，ocd 为等腰直角三角形，odc=45，ecd=odc，cex 轴，则点 c、e 关于对称轴（直线 x=2）对称，点 e 的坐标为（4，1）如答图所示，设对称轴（直线 x=2）与 ce 交于点 m，则 m（2，1），me=cm=qm=2，qme 与qmc 均为等腰直角三角形，qec=qce=45 又ocd 为等腰直角三角形，odc=ocd=45，qec=q

39、ce=odc=ocd=45，ceqcdo（4） 存在如答图所示，作点 c 关于直线 qe 的对称点 c，作点 c 关于 x 轴的对称点 c，连接cc，交 od 于点 f，交 qe 于点 p，则pcf 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，pcf 的周长等于线段 cc的长度（证明如下：不妨在线段 od 上取异于点 f 的任一点 f，在线段 qe 上取异于点 p 的任一点 p，连接 fc，fp，pc由轴对称的性质可知，pcf的周长=fc+fp+pc； 而 fc+fp+pc是点 c，c之间的折线段，由两点之间线段最短可知：fc+fp+pccc， 即pcf的周长大于pce 的周长）如答图

40、所示，连接 ce，c，c关于直线 qe 对称，qce 为等腰直角三角形，qce 为等腰直角三角形，cec为等腰直角三角形，点 c的坐标为（4，5）；c，c关于 x 轴对称，点 c的坐标为（0，1）过点 c作 cny 轴于点 n，则 nc=4，nc=4+1+1=6，在 rtcnc中，由勾股定理得：cc= 综上所述，在 p 点和 f 点移动过程中，pcf 的周长存在最小值，最小值为12. 如图，抛物线与 x 轴交于 a（1，0）、b（3，0）两点，与 y 轴交于点 c（0，3），设抛物线的顶点为 d（1） 求该抛物线的解析式与顶点 d 的坐标（2） 试判断bcd 的形状，并说明理由（3） 探究坐标

41、轴上是否存在点 p，使得以 p、a、c 为顶点的三角形与bcd 相似？若存在，请直接写出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题. 专题：压轴题分析：（1） 利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2） 利用勾股定理求得bcd 的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3） 分 p 在 x 轴和 y 轴两种情况讨论，舍出 p 的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解解答：解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c由抛物线与 y 轴交于点 c（0，3），可知 c=3即抛物线的解析式为 y=ax2+bx+3把点 a（1，0）、点 b（3，0）代入，得解得 a=

42、1，b=2抛物线的解析式为 y=x22x+3y=x22x+3=（x+1）2+4顶点 d 的坐标为（1，4）；（2） bcd 是直角三角形理由如下：解法一：过点 d 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 e、f在 rtboc 中，ob=3，oc=3，bc2=ob2+oc2=18在 rtcdf 中，df=1，cf=ofoc=43=1，cd2=df2+cf2=2在 rtbde 中，de=4，be=oboe=31=2，bd2=de2+be2=20bc2+cd2=bd2bcd 为直角三角形解法二：过点 d 作 dfy 轴于点 f 在 rtboc 中，ob=3，oc=3ob=ococb=45在 rtc

43、df 中，df=1，cf=ofoc=43=1df=cfdcf=45bcd=180dcfocb=90bcd 为直角三角形（3） bcd 的三边，=，又 =，故当 p 是原点 o 时，acpdbc；当 ac 是直角边时，若 ac 与 cd 是对应边，设 p 的坐标是（0，a），则 pc=3a，=，即=，解得：a=9，则 p 的坐标是（0，9），三角形 acp 不是直角三角形，则acpcbd 不成立；当 ac 是直角边，若 ac 与 bc 是对应边时，设 p 的坐标是（0，b），则 pc=3b，则=，即=，解得：b=，故 p 是（0，）时，则acpcbd 一定成立；当 p 在 x 轴上时，ac 是直

44、角边，p 一定在 b 的左侧，设 p 的坐标是（d，0）则 ap=1d，当 ac 与 cd 是对应边时，=，即=，解得：d=13，此时，两个三角形不相似；当 p 在 x 轴上时，ac 是直角边，p 一定在 b 的左侧，设 p 的坐标是（e，0）则 ap=1e，当 ac 与 dc 是对应边时，=，即=，解得：e=9，符合条件总之，符合条件的点 p 的坐标为：三对应练习13. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 a、b 两点，过点 a 的直线 l 与抛物线交于点 c，其中 a 点的坐标是（1，0），c 点坐标是（4，3）（1） 求抛物线的解析式；（2） 在（1）中抛物线的对称轴

45、上是否存在点 d，使bcd 的周长最小？若存在，求出点d 的坐标，若不存在，请说明理由；（3） 若点 e 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 ac 的下方，试求ace 的最大面积及 e 点的坐标考点：二次函数综合题.专题：代数几何综合题；压轴题 分析：（1） 利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2） 利用待定系数法求出直线 ac 的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线ac 与对称轴的交点即为所求点 d；（3） 根据直线 ac 的解析式，设出过点 e 与 ac 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式=0 时，ace 的面积最大

46、，然后求出此时与 ac 平行的直线，然后求出点 e 的坐标，并求出该直线与 x 轴的交点 f 的坐标，再求出 af，再根据直线 l 与 x 轴的夹角为 45求出两直线间的距离，再求出 ac 间的距离， 然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解解答：解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 a（1，0），点 c（4，3），解得，所以，抛物线的解析式为 y=x24x+3；（2） 点 a、b 关于对称轴对称，点 d 为 ac 与对称轴的交点时bcd 的周长最小， 设直线 ac 的解析式为 y=kx+b（k0），则，解得，所以，直线 ac 的解析式为 y=x1，y=x24x+3=（x2）21，抛

47、物线的对称轴为直线 x=2， 当 x=2 时，y=21=1，抛物线对称轴上存在点 d（2，1），使bcd 的周长最小；（3） 如图，设过点 e 与直线 ac 平行线的直线为 y=x+m， 联立 ，消掉 y 得，x25x+3m=0，=（5）241（3m）=0，即 m=时，点 e 到 ac 的距离最大，ace 的面积最大， 此时 x=，y=，点 e 的坐标为（，），设过点 e 的直线与 x 轴交点为 f，则 f（，0），af= 1=，直线 ac 的解析式为 y=x1，cab=45，点 f 到 ac 的距离为=， 又ac=3，ace 的最大面积=3=，此时 e 点坐标为（，）14. 如图，已知抛物线

48、 y=x2+bx+4 与 x 轴相交于 a、b 两点，与 y 轴相交于点 c，若已知a 点的坐标为 a（2，0）（1） 求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2） 求点 c 的坐标，连接 ac、bc 并求线段 bc 所在直线的解析式；（3） 试判断aoc 与cob 是否相似？并说明理由；（4） 在抛物线的对称轴上是否存在点 q，使acq 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 q 点坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题. 专题：压轴题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式 x= 求出对称轴方程；（2） 在抛物线解析式中，令 x=0，可求出点 c 坐标；令 y=0

49、，可求出点 b 坐标再利用待定系数法求出直线 bd 的解析式；（3） 根据，aoc=boc=90，可以判定aoccob；（4） 本问为存在型问题若acq 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论， 逐一计算，避免漏解解答：解：（1）抛物线 y=x2+bx+4 的图象经过点 a（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，抛物线解析式为 y=x2+x+4，又y=x2+x+4=（x3）2+ ，对称轴方程为：x=3（2）在 y=x2+x+4 中，令 x=0，得 y=4，c（0，4）；令 y=0，即x2+x+4=0，整理得 x26x16=0，解得：x=8 或 x=2，a（2，0），b（8，0）设直线 bc 的解析式为 y=kx+b，把 b（8，0），c（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得 k= ，b=4，直线 bc 的解析式为：y= x+4（3） 可判定aoccob 成立 理由如下：在aoc 与cob 中，oa=2，oc=4，ob=8，又aoc=boc=90，aoccob（4） 抛物线的对称轴方程为：x=3， 可设点 q（3，t），则可求得：ac= ，aq=，cq=i）