(完整版)人教新版八年级数学分式知识点及典型例题,推荐文档

1、分式的知识点及典型例题分析21 / 161、分式的定义：例：下列式子中， 15、8a2b、- 9a 、 5a - b 、 3a 2 - b 2 、2- 215xy 、 、 x + y232x - y4am611x 2 + 13xy31 、 、a + 中分式的个数为（）（a） 2（b）yx22px +m3（c） 4(d)5练习题：（1）下列式子中，是分式的有.2x - 7x - 1 ； -5a2 ； x2 - x - 2 ； 2 - b2 ；xy.； x + 523apb2x2 + y2（2）下列式子，哪些是分式？- a3y37xx + xy1b；5x2 + 4y；8 +px - 2 y； -+

2、.452、分式有，无意义，总有意义：（1） 使分式有意义：令分母0 按解方程的方法去求解；（2） 使分式无意义：令分母=0 按解方程的方法去求解；注意：（ x 2 + 10）例 1：当 x时，分式没有意义1x - 5有意义；例 2：分式 2x + 1 中，当 x =2 - x时，分式例 3：当 x时，分式 1x 2 - 1有意义。例 4：当 x时，分式xx 2 + 1有意义例 5： x ， y 满足关系时，分式 x - y 无意义；x + y例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（）2xa. x2 +1b.x2x +1x -5d. x2c.x x3+1例 7：使分式d x -2例 8

3、：要是分式x - 2(x + 1)(x - 3)没有意义，则 x 的值为（）a. 2b.-1 或-3c. -1d.3同步练习题：3、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0 且分母0，注意：当分子等于 0 使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。1- 2ax 2 - 1例 1：当 x时，分式的值为 0例 2：当 x时，分式的a +1x +1值为 0a - 2例 3：如果分式的值为为零,则 a 的值为()a. 2a + 2b.2c.- 2d.以上全不对x2 - x例 4：能使分式 x2 - 1 的值为零的所有 x 的值是 （）ax = 0b x = 1c x = 0 或 x =

4、 1d x = 0 或 x = 1x 2 - 9例 5：要使分式 x 2 - 5x + 6 的值为 0，则 x 的值为（）a.3 或-3b.3c.-3d 2例 6：若 a +1 = 0 ,则 a 是()a.正数b.负数c.零d.任意有理数a4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 例 1： xy = 6x( y + z) = a = a cbb c(c 0)；bb c a = a c3( y + z)2 ；如果 5(3a +1) =5 成立,则 a 的取值范围是aabyy + z7(3a +1)7 ；ab 21- b + c =

5、 -b - c例 2： a3b3 = ()a()例 3：如果把分式 a + 2b 中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（）a + ba、扩大 10 倍b、缩小 10 倍c、是原来的 20 倍d、不变例 4：如果把分式 10xx + y中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（）a扩大 100 倍b扩大 10 倍c不变d缩小到原来的 110例 5：如果把分式 xyx + y中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（）a、扩大 2 倍；b、扩大 4 倍；c、不变；d 缩小 2 倍例 6：如果把分式 x - y 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（）x + ya、扩大 2

6、 倍；b、扩大 4 倍；c、不变；d 缩小 2 倍例 7：如果把分式 x - y 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（）xy1a、扩大 2 倍；b、扩大 4 倍；c、不变；d 缩小倍2例 8：若把分式 x + 3y 的 x、y 同时缩小 12 倍，则分式的值（）2xa扩大 12 倍 b缩小 12 倍c不变d缩小 6 倍例 9：若 x、y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（）a、 3xb、 3xc、3x 2d、 3x32 y2 y 22 y2 y 2例 10：根据分式的基本性质，分式 - aba - b可变形为（）aa - a - b a a + bc- a a

7、- bd- a a + b例 11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数， 0.2x - 0.012 =- x - 0.05；例 12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，。5、分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分分式约分的依据：分式的基本性质- 1- x=1+ x - x2分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母

8、能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。b - a例 1：下列式子（1） x - y =1；（2） b - a = a - b ；（3）x2 - y2x - yc - aa - ca - b= -1；（4）- x + y =- x - yx - y 中正确的是（）a 、1 个b 、2 个c 、 3 个d 、 4 个x + y例 2：下列约分正确的是（）a、 x6= x3x + y =x + y= 1 ；d、 2xy 2 = 1x 2；b、 x + y0 ；c、x 2 + xyx4x 2 y2例 3：下列式子正确的是()a 2x + y = 0b. - a + y = -1c. -

9、y + z = y + zd. c - d - c + d = c - d - c + d = 0 2x + ya - yxx- xaaa例 4：下列运算正确的是（）a、 a= -ab、 2 4 = 1c、 a2 = ad 、 1 - 1 = 1 a - ba + bxx2b2b2mmm例 5：下列式子正确的是（）0.1a - 0.3ba. b = b 2b. a + b = 0c. - a + b = -d. = a - 3baa 2a + ba - b10.2a + b2a + bm2 - 3mmmm例 6：化简的结果是（）a、b、 - c、d、m3 - m9 - m2m + 3m + 3

10、m - 3- 4x 2 y3 - x()1例 7：约分：1 x + 1 y6xy 2=； x 2 - 9 =； 3xy2 = xy ；53 =0.6x - y3x + 5 y()。例 8：约分： 2；2；2 a2 - 44xy =a(a + b) =x - y =a + 4a + 416x yb(a + b)(x - y)ax + ay x2 - y 2x 2 - 16=；=；x 2 + 8x + 16x2 - 92x + 6=-14a2bc3 = 21a3bc9 - m2 =5abx 2 - 9m + 320a 2b = x 2 - 6x + 9=。 a + 2 ， a - b ，4a， 1

11、例 9：分式 a 2 + 3a 2 - b212(a - b)中，最简分式有()x - 2a1 个b2 个c3 个d4 个6、分式的乘，除，乘方：分式的乘法：乘法法测： a c = ac .bd分式的除法：除法法则： a cbd= a d = adbdbcbca分式的乘方：求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(b)n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：( a )n= an(n 为正整数)例题：bbn26x 2 - 25x 416x3 y 456x 4（3） a a 1计算：（1）15x639 y 7（2） 125a10 100a13a计算：（4） a -

12、b a 2b 2 - a 4（5） x - 2 x 2 - 25 （6）a2 - 1 a + 1a 2 + abab - a 2x + 5x 2 - 4a2 + 4a + 4a + 2计算：（7） 6x 2 y 2- 4x3y 3（8） - 6ab 3b2 2a（9） (xy - x2 )xy x - y计算：（10）2x 2 5y 10 y（11）x2 -1 (1- x) x + 3（12）a2 -1 a2 + 4a + 43y 26x(a +1) a + 2a -121x2x2 + 6x + 9x2 + xa - 1a 2 - 41（14） 2a - 63 - a计算：（13）4 - 4a

13、 + a 2 (- a - 3)a + 2a 2 - 2a + 1a 2 - 1a 2 + a - 6求值题：（1）已知： x = 3 ，求x 2 - y 2 xy + y 2的值。y4x 2 - 2xy + y 2x 2 - xyx 2 - y 2（2）已知： x + 9 y = y - 3x ，求的值。x 2 + y 2（3）已知： 1 - 1 = 3 ，求 2x + 3xy - 2 y 的值。例题：xy2 y2x - 2xy - y2a 5 3y 3 3计算：（1） ( 3x )3 =（2） - b =（3） - 2x 2 = b32 3a 2b 2 计算：（4） =（5） - - (-

14、ab 4 )2 2a b a （6） a - a 2 a 2a + 12a 2 - 1a - 1 - a - 1xyz 求xy + yz + xz求值题：（1）已知： =的值。234x 2 + y 2 + z2（2）已知： x 2 - 10x + 25 +x 2 + xy - 3 = 0 求的值。2xy + 2 y2x2 + yxx221例题：计算(x+ y) d11 + yx x2 + y的结果是（）ab x + yc x2 + yy例题：化简 x x 1yx的结果是（）a.1b.xyc.yxd . xy2x3 - 8xx + 2x 2 - 2x + 12 - 2x2a + 2计算：（1）a

15、 +1 2a - 2x 2 + 4x + 4 2x - 4；（2）x 2 - 1 x + 1（3）(a21)a2 - 2a +1 7、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解） 分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例 如 ： 2 -x + 2xx - 2最简公分母就是(x + 2)(x - 2)。“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例 如 ： 2 -x + 2xx 2 - 4最简公分母就是(x 2

16、 - 4 = x + 2x - 2)“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：x+2)最简公分母是： 2x(x - 2)2(x - 2)x(x - 2这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。例 1：分式 1,m + n1m2 - n 2,2m - n的最简公分母是（）a (m + n)(m2 - n 2 )b (m2 - n 2 )2c (m + n)2 (m - n)d. m2 - n 2y ， x ， 1例 2：对分式 2x3y24xy 通分时， 最简公分母是（）ax2ybx2 -1x + y

17、-x -1x2 + y2例 3：下面各分式： 2, 22 ,，其中最简分式有（）个。 x + xx - yx +1x2- y 2a. 4 1， ab. 3c. 2d. 1例 4：分式 a 2 - 412a - 4的最简公分母是.例 5：分式 a 与 的最简公分母为；b例 6：分式1x2 - y2,- 1x2 + xy的最简公分母为。8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项

18、式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型， 继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。例 1： 2 - 2n =例 2： 2a 2 + 3 +a 2 - 4= mma 2 - 1a 2 - 1例 3： y +x=例 4： x + 2y + y 2 y 2x-2=x - y计算：（1）y - x 4 + m -1（2） ax 2 - y 2a 2（3- x- b 2x 2 - y 2m + 3m + 3a - b）+ b-a(a - b)2(b -a) 2（4）5a2b + 3 ab23a2b - 5ab28 + a2b.ab2131151112x2x6x6x

19、例 5：化简 + + 等于（）abcdx2x3x例 6： b - c + a例 7： 2a-1例 8： abc3x-xa2 - 4a - 2( x - 3)23 - xxx + 612a +1 a - 2例 11： a + 1 -a例 9：-+2x - 3x 2 - 3xx例 10： a + a - 2a2 - 4a - 1例 12：x2x -1 - x - 1b+ ab14x -112+2.练习题：（1）a + bb 2 - a 2（2）+（3）2 - xx 2 - 42 + xa2 - 93 - a（4）b2a - b+ a + ba（5） 2 -x-y x - yy - x11a2 -

20、a - 1例 13：计算a + 1 -a -1的结果是（）ab - a - 1a -1c d a - 1a - 1例 14：请先化简： 1 -x - 22x x2 - 4，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.例 15：已知： x 2 + 4x - 3 = 0 9、分式的混合运算：求 x-x + 21 - 2xx 2 + 4x + 4的值。例 1：4 2 +x例 2： 1-x + 3 x 2 - 2x + 1x 2 - 16x - 4x + 4x + 1x 2 - 1x 2 + 4x + 3x - 2x + 2x2 - 2x4x例 3： ( x + 2 - x - 2) 1 xx2例

21、4： 2 - x + 3 x +1x - yx 2 - y 2例 5： 1 - 1 - x x -1例 6：1 -x + 2 y x 2 + 4xy + 4 y 2 1 12 y例 7x -( x -y) x+ yx2 - 2xy + y2例 8： x + 1 - 2x 1例 9： ( x + 2 -x 2 - 2xx - 1x 2 - 4x + 4) x - 4x x 2 - xx练习题：10、分式求值问题：例 1：已知 x 为整数，且 2+ 2 + 2x +18 为整数，求所有符合条件的 x 值的和.x + 33 - xx2 - 9例 2：已知 x2，y124-241+1 的值. 2 ，求

22、(x + y)2(x - y)2 例 3：已知实数 x 满足 4x2-4x+l=o，则代数式 2x+x + yx - y 1 的值为2x例 4：已知实数 a 满足 a22a8=0，求 1 - a + 3 a 2 - 2a +1 的值.a +1a 2 -1a 2 + 4a + 31x 21111例 5：若 x += 3x求 的值是（）ax 4 + x 2 + 18b. cd1024例 6：已知 1 - 1 = 3 ，求代数式 2x -14xy - 2 y 的值xyx - 2xy - y例 7：先化简，再对a 取一个合适的数，代入求值练习题：a +1 a - 3- a - 3 a + 2a2 -

23、6a + 9a2 - 4x 2 - 4xa 2 - 8a + 16a 2 + ab（1），其中 x=5. （2）,其中 a=5（3）,其中x 2 - 8x + 16a=-3，b=2a2 - 1a + 1a 2 - 16x + 2x -1a 2 + 2ab + b 2x - 4（4）；其中 a=85；（5） (-) ，其中 x= -1a2 + 4a + 4a + 2（6）先化简，再求值： 3 - x (x+2 5x2 - 2xx2 - 4x + 4x).其中 x2.2x - 4x - 2（7） ( a -a 2) ( a -a 2) + 1,其中a = 2 ,b = -3a - ba 2 - 2

24、ab + b 21 x2 -1a + ba 2 - b 23（8）先化简， 1+ ，再选择一个你喜欢的数代入求值x x11、分式其他类型试题：234567例 1：观察下面一列有规律的数： ， ，根据其规律可知3815243548第个数应是（n 为正整数）124816例 2：观察下面一列分式： -，第 n 项是。, , - , , - ,., 根据你的发现，它的第 8 项是x x2x3 x4x5例 3：按图示的程序计算，若开始输入的 n 值为 4，则最后输出的结果 m 是（输出结果 m输入 n）n（n+1）计算n50yesa10b20c5n5od50与 10例 4：当 x=时,分式 1 5 -

25、x2 -3x 互为相反数.例 5：在正数范围内定义一种运算，其规则为a b 1 + 1 ，根据这个规则 x ab(x + 1) = 3 的解为2（）a x = 2b x = 1c x = - 2 或 1d x = 2 或- 13例 6：已知4= a + bx + c ，则 a = x(x2 + 4)xx2 + 433, b =,c =；例7： 已知( y3y + 7-1)( y - 2)a + y -1by - 2 ，则（）=a a = -10, b = 13b a = 10, b = 13c a = 10, b = -13d a = -10, b = -13例 8：已知2x = 3y ，求x

26、yx2 + y2- 2 x2 - y2的值；例 9：设m - n = mn ,则 1 - 1 的值是()a. 1b.0c.1d.mnmn-1例 10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式2 4422 422例 11：先填空后计算： 1 -n1=。n + 11-n + 11n + 2=。 1-n + 21=n + 3。（3 分）（本小题 4 分）计算：1+1+1+l +1n(n + 1)(n + 1)(n + 2)(n + 2)(n +3)(n + 2007)(n + 2008)解：1+n(n + 1)1+(n + 1)(n + 2)1(n + 2)(n +3)+l +1(n

27、+ 2007)(n + 2008)= 12、化为一元一次的分式方程：（1） 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。（2） 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为， 这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。（3） 解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母， 化为整式方程；例 1：如果分式5(3) 解整式方程；(4)验根x - 1 的值为1，则 x 的值是；2x +1 与例 2：要使 x - 14 xx - 2 的值相等，则 =。例 3：

28、当 m=时，方程 2mx +1m - x1=2 的根为.2例 4：如果方程2= 3a(x - 1)的解是 x5，则 a。例 5：(1) 2 =x3x + 1(2)2 - x +x - 31= 13 - x例 6:解方程： x - 2 -x + 216x 2 - 4= x + 2x - 2例 7：已知：关于 x 的方程1 +ax - 3= x - 4 无解，求 a 的值。3 - x例 8：已知关于 x 的方程 x + a = -1的根是正数，求 a 的取值范围。x - 2例 9：若分式 1x + 2与 x - 2 的 2 倍互为相反数，则所列方程为x - 3 ；例 10：当 m 为何值时间？关于

29、 x 的方程m= x -x - 1 的解为负数？b - x例 11：解关于 x 的方程ax 2 - x - 2+ 2 = x - b (a 0)ax + 1x - 2例 12：解关于 x 的方程: x +1 + x -1 =2a(a 0)a + ba - ba 2 - b2例 13：当 a 为何值时, x -1 - x - 2 =2x + a的解是负数?x - 2x +1(x - 2)(x +1)例 14：先化简,再求值:x x2 - y 2 + 2x + 2 - 2 ,其中 x,y 满足方程组x + 2 y = 3(x - y)2例 15 知关于 x 的方程 x - 1 -x + yx=x

30、- ymx - y = -2的解为负值，求 m 的取值范围。x + 2x - 1(x + 2)(x - 1)练习题： (1) 1 =x - 44x 2 - 16(2) 3-x - 1x + 2= 0x(x - 1)1(3) 1 - x 2=31 - x-51 + x(4) x= x - 2(5) 5x - 4 = 2x + 5 - 1(6) 1=1x - 5x + 62x - 43x - 62x -1x 2 -1(7)1+ 3 = 1 - x(8） 1-2=12（9）3+1= 3x - 22 - xx + 33 - xx2 - 92x - 21 - x13、分式方程的增根问题：（1） 增根应满

31、足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。（2） 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0， 则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例 1：分式方程 xx - 3m+1= x - 3有增根，则 m=例 2：当 k 的值等于时，关于 x 的方程 k + 2 = 4 - x 不会产生增根；2+mx=x - 33x - 3例 3：若解关于 x 的分式方程 x - 2x 2 - 4x + 2 会产生增根，求 m 的值。例 4： m 取时，方程xxx - 3- 2 =m2m x - 3会产生增根；例 5：若

32、关于 x 的分式方程 x - 3 - 2 = x - 3 无解，则 m 的值为。例 6：当 k 取什么值时？分式方程 x + k -x= 0 有增根.x -1x -1x +1例 7：若方程 x - 1 =x - 4m x - 4有增根，则 m 的值是（）a4b3c-3d1例 8：若方程 3= a +4有增根，则增根可能为（）x - 2xx(x -2)a、0b、2c、0 或 2d、114、分式的求值问题：例 1：已知 a = 1 ，分式 a + b 的值为；b32a - 5b例 2：若 ab=1，则 1 +a + 11b +1的值为。例 3：已知 a - 1 = 3a，那么a2 + 1 =；a2

33、例 4：已知 1 - 1 = 3 ，则 5x + xy - 5 y 的值为（）a - 7b 7c 2d - 2xyx - xy - y2277例 5：已知2x = 3y ，求xyx2 + y2- 2 x2 - y2的值；a a 2 - ab + b 2例 6：如果 =2，则= b a 2 + b 2例 7：已知 a与 b的和等于 4x，则 a=, b =。x + 2x - 2x 2 - 4例 8：若 xy = x - y 0 ，则分式 1 - 1 = （）a、 1b、 y - xc、1d、1yxxyx - 24x13例 9：有一道题“先化简，再求值：（） + ，其中 x = -。”小玲做题时把

34、x + 2x2 - 4x2 - 433“ x = -”错抄成了“ x =”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？1a 2 - 1例 10：有这样一道数学题:“己知:a=2005,求代数式 a(1+ )的值”,王东在计算时aa -1错把“a=2005”抄成了“a=2050”，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。例 11：有这样一道题：“计算： x2 - 2x +1 x -1 - x 的值，其中 x = 2007 ”，某同学把 x2 -1x2 + xx = 2007 错抄成 x = 2008 ，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？例题：已知 x + 1x 2x = 3

35、 ，求 x 4 + x 2 + 1 的值。15、分式的应用题：（1）列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答（2） 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：a.行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 b.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法c.工程问题： 基本公式：工作量=工时工效d.顺水逆水问题: v 顺水=v 静水+v 水 v 逆水=v 静水-v 水 工程问题：例 1：一项工程，甲需 x 小时完成，乙需 y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要 小时。例 2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打

36、 6 个字，小明打 120 个字所用的时间和小张打 180 个字所用的时间相等。设小明打字速度为 x 个/分钟，则列方程正确的是 （ ）a 120 = 180x + 6xb 120 = 180x - 6xc 120 = 180xx + 6d 120 = 180xx - 6例 3：某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日期 3 天,现在甲、乙两队合作 2 天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期为 x 天,下面所列方程中错误的是()a. 2 +x= 1; b. 2 =3;c. 1 +1 2 + x - 2 = 1;

37、d. 1 +x= 1 xx + 3xx + 3 xx + 3 x + 3xx + 3例 4：一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（）（a） a + b（b） 1 + 1（c） 1（d） ababa + ba + b例 5：赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读 21 页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天1读40 x 页,则下列方程中,2正80确的是（ ）140a、+ x 140x - 21= 14b、+x280x + 2110+= 14b、 x

38、10= 1x + 21d、+x140x + 21= 14例 6：某煤厂原计划 x 天生产 120 吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产 3 吨，因此提前2 天完成任务，列出方程为（）a 120x - 2= 120 - 3xb 120 =x120 - 3 cx + 2120x + 2= 120 - 3xd 120 =x120 - 3x - 2例 7：某工地调来 72 人参加挖土和运土工作，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派 x 人挖土列方程 72 - x = 1 ； 72 - x = x ； x + 3x = 72

39、； x= 3 x3372 - x例 8：八（1）、八（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（2）班多种 2 棵树，八（1）班种 66 棵树所用时间与八（2）班种 60 棵树所用时间相同，求：八（1）、八（2）两班每小时各种几棵树？例 9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期 3 天，现在甲、乙两人合做 2 天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成， 问规定日期是几天？例 10：服装厂接到加工 720 件衣服的订单，预计每天做 48 件，正好可以按时完成，后因客户要求提前 5 天交货，则每天应比原计划多做多少件？例 11：为

40、加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过 6 个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工 4 个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间？例 12：某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 4350 元；乙、丙两队合2做 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共 4750 元；甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的 ，厂3家需付甲、丙两队共 2750 元。（1） 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2） 若工期要求不超过 20 天完成全部

41、工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。价格价钱问题：例 1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元钱车费，设参加游览的1同80学共 x 人，则所列方18程0 为 （ ）180180a-180 = 3b- 180 = 3c- 180 = 3d- 180 = 3xx + 2x + 2xxx - 2x - 2x例 2：用价值 100 元的甲种涂料与价值 240 元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少 3 元，比乙种涂料每千克的售价多 1 元，求这种新

42、涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为 x 元， 则根据题意可列方程为 例 3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150 人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为 600 元和 1000 元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的 2 倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？例 4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多 20 人， 而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？例 5：随着 it 技术的普及，越来越多的

43、学校开设了微机课.某初中计划拿出 72 万元购买电脑， 由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了 500 元，因此实际支出了 64 万元.学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用 4 节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？(该校上微机课时规定为单人单机)例 6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是：1 名教师收行业统一规定的全票，其余的人按7.5 折收费， 乙公司则是：所有人全部按 8 折收费经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜 1 ，32那么参加活动的学生人数是多少人？例 7：北京奥运“祥云”火炬 2008

44、年 5 月 7 日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、进步的“和平之旅”，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用 8 万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用 17.6 万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但单价贵了 4 元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是 58 元，最后剩下的 150 件按八折销售，很快售完，请问在这两笔生意中，商厦共赢利多少元？ 顺水逆水问题：例 1：a、b 两地相距 48 千米，一艘轮船从 a 地顺流航行至 b 地，又立即从 b 地逆流返回 a地，共用去 9小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程（）a 、 48 +x + 448 = 9x - 4b 、 48 +4 + x48 = 94 - xc、 48 + 4 = 9xd 、 96 +x + 496 = 9x - 4例 2：一只船顺流航行 90km 与逆流航行 60km 所用的时间相等，若水流速度是 2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为 xkm/h，则可列方程（） 9060906090606090a 、 x