(完整版)高一数学集合知识点归纳及典型例题,推荐文档

1、高一数学集合知识点归纳及典型例题一、知识点：本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用 venn 图。相等子集真子集本章知识结构集合的概念集合特征性质描述法交集集合的运算集合与集合的关系包含关系集合的表示法列举法补集并集1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握 4 个关键词：对象、确定的、不同的、整体。对象即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。整体

2、集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。确定的集合元素的确定性元素与集合的“从属”关系。不同的集合元素的互异性。2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做 。理解它时不妨思考一下“0 与 ”及“ 与”的关系。几个常用数集 n、n*、n、z、q、r 要记牢。3、集合的表示方法（1） 列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：元素不太多的有限集，如0，1，8元素较多但呈现一定的规律的有限集，如1，2，3，100呈现一定规律的无限集，如 1

3、，2，3，n， 注意 a 与a的区别 注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。（2） 特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如x|yx2， y|yx2， （x，y）|yx2是三个不同的集合。4、集合之间的关系 注意区分“从属”关系与“包含”关系“从属”关系是元素与集合之间的关系。“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用 venn 图描述集合之间的关系是基本要求。 注意辨清 与两种关系。5、集合的运算

4、集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：a u cu a = ua i cu a = fa i b = b i aa u b = b u acu (cu a) = aa i a = aa if = f i a = fa u a = aa u f = f u a = aa b a i cub = fa b a i b = aa b a u b = b b u cu a = u还要尝试利用 venn 图解决相关问题。二、典型例题例 1. 已知集合 a = a + 2

5、,(a + 1)2 , a 2 + 3a + 3 ，若1 a ，求 a。解：q1 a根据集合元素的确定性，得：a + 2 = 1,或（a + 1）2 = 1,或a 2 + 3a + 3 = 1若 a21， 得: a = -1， 但此时 a 2 + 3a + 3 = 1 = a + 2 ，不符合集合元素的互异性。若(a + 1)2 = 1，得： a = 0,或- 2 。但 a = -2 时， a 2 + 3a + 3 = 1 = (a + 1)2 ，不符合集合元素的互异性。若 a 2 + 3a + 3 = 1, 得： a = -1, 或2。但a = -1时, a + 2 = 1; a = -2时

6、，(a + 1)2 = 1，都不符合集合元素的互异性。综上可得，a 0。【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。例 2. 已知集合 m x r | ax 2 + 2x + 1 = 0 中只含有一个元素，求 a 的值。解：集合 m 中只含有一个元素，也就意味着方程 ax2 + 2x +1 = 0 只有一个解。x = - 1（1） a = 0时,方程化为2x +1 = 0 ，只有一个解2（2） a 0时,若方程ax2 + 2x +1 = 0只有一个解需要d = 4 - 4a = 0,即a = 1.综上所述，可知 a 的值为 a0 或 a1【小结

7、】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。例 3. 已知集合 a = x | x 2 + x - 6 = 0, b = x | ax + 1 = 0, 且 ba，求 a 的值。解：由已知，得：a3，2， 若 ba，则 b，或3，或2。若 b，即方程 ax10 无解，得 a0。1若 b3， 即方程 ax10 的解是 x 3， 得 a 3 。- 1若 b2， 即方程 ax10 的解是 x 2， 得 a 2 。1- 1综上所述，可知 a 的值为 a0 或 a 3 ，或 a 2 。【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。例 4.已知方程 x2 +

8、bx + c = 0 有两个不相等的实根 x ，x设 cx ，x ，12.12a1，3，5，7，9， b1，4，7，10，若 a i c = f, c i b = c ，试求 b， c 的值。解：由c i b = c c b ， 那么集合 c 中必定含有 1，4，7，10 中的 2 个。又因为a i c = f ，则 a 中的 1，3，5，7，9 都不在 c 中，从而只能是 c4，10因此，b（x1x2 ）14，cx1 x2 40【小结】对a i c = f,c i b = c 的含义的理解是本题的关键。例 5. 设集合 a = x | -2 x 5, b = x | m + 1 x 2m -

9、1，（1） 若a i b = f ， 求 m 的范围；（2） 若a u b = a ， 求 m 的范围。解：（1）若a i b = f ，则 b，或 m15，或 2m12m1，得：m5 时，m12m1，得：m4当 2m12 时，m12m1，得：m 综上所述，可知 m4（2）若a u b = a ， 则 b a， 若 b，得 m m2. 有下列命题： f 是空集若a n, b n ，则 a + b 2 集合b = x | 100 n , x zx | x 2 - 2x + 1 = 0有两个元素 集合x题的个数是（）a. 0b. 1c. 2d. 3为无限集，其中正确命3. 下列集合中，表示同一集合

10、的是（）a. m（3，2） ， n（2，3）b. m3，2 ， n（2，3）c. m（x，y）|xy1， ny|xy1 d.m1，2， n2，14. 设集合 m = 2,3, a 2 + 1, n = a 2 + a - 4,2a + 1，若 m i n = 2 ， 则 a 的取值集合是（）-1-13,2, 3, a.2b. 3c.2d. 3，25. 设集合 a x| 1 x 2， b x| x 2c. a 1d. a 1(x, y) | y = 16. 设 x，yr，a（x，y）|yx， b）a. abb. bac. ab d. a bx， 则集合 a，b 的关系是（7. 已知 mx|yx2

11、1 ， ny|yx21， 那么 mn（）a. b. mc. nd. r8.已知 a2，1，0，1，bx|x|y|，ya，则集合b 9.若 a = x | x 2 - 3x + 2 = 0, b = x | x 2 - ax + a -1 = 0,且b a ，则 a 的值为10. 若1，2，3 a 1，2，3，4，5， 则 a 11. 已知 m2，a，b， n2a，2，b2，且 mn 表示相同的集合，求 a，b 的值12.已知集合 a = x | x 2 + 4x + p 0且a b, 求实数 p 的范围。13.已知 a = x | x 2 - ax + a 2 -19 = 0, b = x |

12、 x 2 - 5x + 6 = 0 ，且 a，b 满足下列三个条件： a b a u b = b a i b ，求实数 a 的值。四、练习题答案1. b2. a3. d4. c5. a6. b7. c8. 0，1，29. 2，或 310. 1，2，3或1，2，3，4或1，2，3，5或1，2，3，4，5a = 1a = 2aa = b 2a = 0a = 0142b =11. 解：依题意，得： b = b或b = 2a ，解1 得： b = 0 ，或b = 1 ，或2a =a = 014b =结合集合元素的互异性，得b = 1 或2 。12. 解 ：bx|x2 若 a ，即 d = 16 - 4

13、 p 0 ，满足 a b，此时p 44 - p 若a f ，要使 a b，须使大根- 2 +得： 3 p 44- p所 以 p 3-1或小根-2- 2 （舍），解13. 解：由已知条件求得 b2，3， 由a u b = b ，知 a b。而由 知a b ，所以 ab。又因为 a i b ，故 a，从而 a2或3。当 a2时，将 x2 代入 x 2 - ax + a 2 -19 = 0 ，得4 - 2a + a 2 -19 = 0 a = -3或5经检验，当 a 3 时，a2， 5; 当 a5 时，a2，3。都与 a2矛盾。当 a 3时，将 x3 代入 x 2 - ax + a 2 -19 =

14、0 ，得9 - 3a + a 2 -19 = 0 a = -2或5经检验，当 a 2 时，a3， 5; 当 a5 时，a2，3。都与 a2矛盾。综上所述，不存在实数 a 使集合 a， b 满足已知条件。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life