(完整版)高中数学参数方程知识点大全,推荐文档

1、高考复习之参数方程一、考纲要求1. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2. 理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1. 直线的参数方程(1) 标准式 过点 po(x0,y0)，倾斜角为 的直线 l(如图)的参数方程是x = x0 + t cos a y = y + t sin a(t 为参数)0b(2) 一般式 过定

2、点 p0(x0,y0)斜率 k=tg= 的直线的参数方程是ax = x0 + at0 y = y(t 不参数)+ bt在一般式中，参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义，若 a2+b2=1,即为标准式，此时， t表示直线上动点 p 到定点 p0 的距离；若 a2+b21，则动点 p 到定点 p0 的距离是a 2 + b 2t.直线参数方程的应用 设过点 p0(x0,y0),倾斜角为 的直线 l 的参数方程是x = x0 + t cos a y = y + t sin a（t 为参数）0若 p1、p2 是l 上的两点，它们所对应的参数分别为 t1,t2，则(1)p1、p2 两点的坐标分别是(x

3、0+t1cos,y0+t1sin) (x0+t2cos,y0+t2sin)； (2)p1p2=t1-t2;(3) 线段 p1p2 的中点 p 所对应的参数为 t，则t= t1 + t22中点 p 到定点 p的距离pp =t= t1 + t2 00 2(4) 若p0 为线段 p1p2 的中点， 则t1+t2=0.2. 圆锥曲线的参数方程x = a + r cosj(1) 圆 圆心在(a,b)，半径为 r 的圆的参数方程是 y = b + r sinj( 是参数) 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角，0,2(见图)x 2 + y 2(2) 椭圆 椭圆a 2b 2 = 1(ab0)的参数方程是x

4、 = a cosjy = bsinj( 为参数)22椭圆y + y= 1 (ab0)的参数方程是a 2b 2x = b cosj y = a sinj ( 为参数)3. 极坐标极坐标系在平面内取一个定点 o，从 o 引一条射线 ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，o 点叫做极点， 射线 ox 叫 做极轴.极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素， 缺一不可.点的极坐标 设 m 点是平面内任意一点，用 表示线段 om 的长度， 表示射线 ox 到om 的角度 ，那么 叫做 m 点的极径， 叫做 m 点的极角

5、，有序数对(,)叫做 m 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与 x 轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式x = jcosjy = jsinjj2 =2 +2xy j= y (x 0)tgx三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例 1在圆 x2+y2-4x-2y-20=0 上求两点 a 和 b，使它们到直线 4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程：x = 2 + 5 cosj j y = 1 + 5sinj （ 为参数）则圆上点 p 坐

6、标为(2+5cosj，1+5sinj)，它到所给直线之距离 d=42 + 32120 cosj+ 15sinj+ 30故当 cos(-)=1，即 = 时 ，d 最长，这时，点 a 坐标为(6，4)；当 cos(-)=-1,即 =- 时，d 最短，这时，点 b 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.1例 2极坐标方程 = 2 +3sinj+ cosj 所确定的图形是（）a.直线b.椭圆c.双曲d.抛物线1 11解： =2j21 + ( 3 + 1 cosj)1 + sin(j+ )2

7、26(三)综合例题赏析x = 3 + cosf例 3椭圆 y = -1 + 5sin f(f是参数)的两个焦点坐标是（）a.(-3，5)，(-3，-3)b.(3，3)，(3，-5)c.(1，1)，(-7，1)d.(7，-1)，(-1，-1)(x -3)2 + ( y + 1)2 = 1解：化为普通方程得925a2=25,b2=9,得 c2,c=4.f(x-3,y+1)=f(0,4)在 xoy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选 b.例 4 参数方程+x = cosj sinj22 (0 j 2j)表示 y = 1 (1 + sinj)21a.双曲线的一支，这支过点(1， )

8、b.抛物线的一部分，这部分过(1，21)21c.双曲线的一支，这支过(-1， )d.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)2解：由参数式得 x2=1+sin=2y(x0)1即 y= x2(x0).2应选 b.x = sinj例 5在方程 y = cos( 为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()j1211a.(2,-7)b.（ ， ）c.( ， )d.(1，0)3322解：y=cos2j=1-2sin2j=1-2x211将 x= 代入，得 y=22应选 c.例 6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程是()a. x = tb. x = cos tx = tgtc

9、.y = ty = cos2 t1 + cos 2td.x = tgt y = 1 - cos 2t1 + cos 2t y = 1 - cos 2t解：普通方程 x2-y 中的 xr，y0，a.中 x=t0，b.中 x=cost-1,1，故排除 a.和 b.2 cos2 t1c. 中 y=ctg2t= 1 =，即 x2y=1，故排除 c.2 sin 2 t应选 d.tg 2tx2例 7曲线的极坐标方程 =sin 化 成直角坐标方程为() a.x2+(y+2)2=4b.x2+(y-2)2=4c.(x-2)2+y2=4yx 2 + y 2d.(x+2)2+y2=4x2 + y 2解：将 =，si

10、n=代入 =4sin，得 x2+y2=4y，即 x2+(y-2)2=4.应选 b.例 8极坐标 =cos( j-j)表示的曲线是()412a.双曲线b.椭圆c.抛物线d.圆解：原极坐标方程化为 =(cos+sin) 2j2 =cos+sin，2普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.应选 d.例 9在极坐标系中，与圆 =4sin 相切的条直线的方程是()a.sin=2b.cos=2c.cos=-2d.cos=-4例 9 图解：如图.c 的极坐标方程为 =4sin，coox,oa 为直径，oa=4,l 和圆相切，l 交极轴于 b(2，0)点 p(,)为 l 上任意一点，则有cos=应选 b.=

11、 2 ， 得 cos=2，obopjj例 104sin2 2 =5 表示的曲线是( )a.圆b.椭圆c.双曲线的一支d.抛物线j解：4sin2 2 =5 4cosj-1 2j= 2jcosj- 5.2x2 + y 2把 =cos=x，代入上式，得x2 + y 22=2x-5.平方整理得 y2=-5x+ 25 . .它表示抛物线.4应选 d.例 11极坐标方程 4sin2=3 表示曲线是()a.两条射线b.两条相交直线c.圆d.抛物线2y 22解：由 4sin =3,得 43,即 y =3 x2，y=3x ,它表示两相交直线.x 2 + y 2应选 b.四、能力训练(一)选择题41. 极坐标方程

12、 cos= 表示()3a. 一条平行于 x 轴的直线b.一条垂直于 x 轴的直线c.一个圆d.一条抛物线2. 直线：3x-4y-9=0 与圆： x = 2 cosj(j为参数) 的位置关系是()y = 2sinj ,a. 相切b.相离c.直线过圆心d.相交但直线不过圆心3. 若(x，y)与(，)(r)分别是点 m 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列j1j各组曲 线：= 和 sin= ；= 和 tg=3 ，2-9=0 和 = 3；x = 2 +62632tx = 2 +2t2和 y = 3 + 1 t y = 3 + t2其中表示相同曲线的组数为()a.1b.2c.3d.44. 设 m(1

13、，1)，n(2，2)两点的极坐标同时满足下列关系：1+2=0，1+2=0，则m，n 两点位置关系是()ja.重合b.关于极点对称c.关于直线 =d.关于极轴2对称5. 极坐标方程 =sin+2cos 所表示的曲线是()a. 直线b.圆c.双曲线d.抛物线j6. 经过点 m(1，5)且倾斜角为 的直线，以定点 m 到动点 p 的位移 t 为参数的参数方3程是()x = 1 + 1 tx = 1 - 1 tx = 1 + 1 t2a. 32b. 32c. 3d. y = 5 +t23 y = 5 +t2 y = 5 -t2y = 1 +t2x = 5 + 1 t2x = a 7. 将参数方m2 +

14、 2m m2 + 2m + 22m + 2(m 是参数，ab0)化为普通方程是() y = b x 2y 2m2 + 2m + 2b. x 2+ y 2a.+a 2b 2 = 1(x a)a 2b 2 = 1(x -a)c. x 2- y 2 =d. x 2- y 2a 2b 21(x a)ja 2b 2= 1(x -a)8. 已知圆的极坐标方程 =2sin(+ )，则圆心的极坐标和半径分别为()6jjja.(1, ),r=2b.(1, ),r=1c.(1, ),r=1d.(1, -3j),r=2363x = t + 19. 参数方程t y = -2(t 为参数)所表示的曲线是()a. 一条射

15、线b.两条射线c.一条直线d.两条直线x = -2 + tgj10. 双曲线 y = 1 + 2 secj ( 为参数)的渐近线方 程为()a.y-1= 1 (x + 2)2 2(x - 2)x = 4 + atb. y= x12c.y-1= 2(x + 2)d.y+1=11. 若直线 y = bt( (t 为参数)与圆 x2+y2-4x+1=0 相切，则直线的倾斜角为()j2jj2ja.b.c. 或d.3j5j或33x = 2 pt 233312. 已知曲线 y = 2 pt(t 为参数)上的点 m，n 对应的参数分别为 t1，t2，且t1+t2=0，那么m，n 间的距离为()a.2p(t1

16、+t2)b.2p(t21+t22)c.2p(t1-t2)d.2p(t1-t2)213. 若点 p(x，y)在单位圆上以角速度 按逆时针方向运动，点 m(-2xy，y2-x2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )a.角速度 ，顺时针方向b.角速度 ，逆时针方向c.角速度 2,顺时针方向d.角速度 2，逆时针方向14. 抛物线 y=x2-10xcos+25+3sin-25sin2 与 x 轴两个交点距离的最大值是()3a.5b.10c.2d.33j15. 直线 =与直线 l 关于直线 = (r)对称，则 l 的方程是()a. j=c j=2 cosj+ sinj32cosj-sinj 3cosj-

17、2sinj4b j=d j=32 cosj- cosj3cosj+2sinj(二)填空题x = 3 + 4 t16. 若直线 l 的参数方程为5 3 (t 为参数)，则过点(4，-1)且与 l 平行的直线在 y 轴上的截距为 . y = -2 +t5x =17. 参数方程cosj1 + cosj （j为参数）化成普通方程为 .sinj y = 1+cosj18. 极坐标方程 =tgsec 表示的曲线是.x = -1 + 3t19. 直线 y = 2 - 3t (t 为参数)的倾斜角为；直线上一点 p(x ，y)与点 m(-1，2)的距离为. (三)解答题20. 设椭圆x = 4 cosjjy

18、= 2 3 sin j ( 为参数) 上一点 p，若点 p 在第一象限，且xop=3 ，求点 p 的坐标.x = 2 pt 221. 曲线 c 的方程为 y = 2 pt (p0，t 为参数)，当 t-1，2时 ，曲线 c 的端点为 a，b，设 f 是曲线 c 的焦点，且 safb=14，求 p 的值.x 222. 已知椭圆2+ y 2 =1 及点 b(0，-2)，过点 b 作直线 bd，与椭圆的左 半部分交于c、d 两点，又过椭圆的右焦点 f2 作平行于 bd 的直线，交椭圆于 g，h 两点.(1) 试判断满足bcbd=3gf2f2h成立的直线 bd 是否存在?并说明理由 .(2) 若点 m

19、 为弦 cd 的中点，sbmf2=2，试求直线 bd 的方程.x = 8 + 4 secj23. 如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线y = 3tgj( 为参数)的左焦点9和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为 ，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.4x224. a，b 为椭圆a 2大值和最小值.+ y 2b 2 =1，(ab0) 上的两点，且 oaob，求aob 的面积的最x +225. 已知椭圆 y 2xy=1，直线 l+=1，p 是 l 上一点，射线 op 交椭圆于点2416128r，又点 q 在 op 上且 满足oqop=or2，当点 p 在l 上移动时，求点 q 的轨迹方程.并说

20、明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.b 2.d 3.c 4.c 5.b 6.a 7.a 8.c 9.b 10.c 11.c 12.c13.c 14.c 15.d211(二)16.-4；17.y=-2(x-),(x);18.抛 物线；19.135,|3t|22(三)20.( 8 5, 4 152 3)；21.;553411aba 2b 222.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23. (27-3)；24.smax=52，smax= a 2 + b 2 ;25.(x - 1)252+ ( y - 1)252=1(x,y)不同时为零)“”“”at the end, xiao bian gives you a pa