数列求和7种方法(方法全_例子多

1、实用标准文案数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法文档1、 等差数列求和公式：Sn2、 等比数列求和公式：Sn门a.)2na!n(n1)3、Snk 丄n(n 1)k 12nai(1 qn)i qaia.q1 q4、Sn(q 1)(q 1)1n(n 1)(2 n 1)65、Snnk31n(

2、n1)2k 12例1已知x1隶，求x23x x2解:由等比数列求和公式得Snnx的前n项和.23nxx xxx(1x )2d1)2n) _ 1 _ 11 2n1x12（利用常用公式）例 2设 Sn = 1+2+3+ +n , n N*,求 f (n)Sn解：由等差数列求和公式得f(n)Sn(n 32)Sn 1(n32)Sn !的最大值.1Sn 2n(n 1)，nn2 34n 64iSn 2(n 1)(n 2)11 丄648 250n 34(.n )50nnn即n = 8时,f (n )max150二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列项和，

3、其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3（2n1）xn 1解：由题可知，（2n 1）xn 1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n1)xn：（利用常用公式）一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x32x42xn 1(2n1)xnan bn的前 n的通项之积（设制错位）（错位相减）再利用等比数列的求和公式得:(1 X)Sn2x1 xn1(2n1)xnSn(2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)(1 x)2例4求数列2, ,刍,2 ,前n项的和.2 22 23 2n2462n设Sn23

4、n22221 c2462nSn亠2-3-4亠n 122222解：由题可知，甲的通项是等差数列2n的通项与等比数列丄的通项之积2 2（设制错位）一得（12)Sn2 22 222 2n（错位相减）练习题1 已知答案:2n2n1Sn2n1，求数列 an的前n项和Sn.练习题的前 n 项和为答案：、逆序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 （a1例 5 求证： Cn0 3Cn1 5Cn201证明： 设 Sn Cn0 3C1nan).(2n 1)Cnn (n 1)2n5C；(2n 1)C：把式右边倒转过来得反

5、序）Sn(2n 1)Cnn (2n 1)Cnn 13Cn1 Cn0又由 Cnm Cnn m 可得Sn(2n1)Cn01(2n 1)Cn13Cnn 1cn:.+ 得2Sn(2n2)(Cn0 C1nn1CnCnn) 2(n 1) 2n（反序相加）Sn(n 1)2n题 1 已知函数1）证明：（2）求 的值 .解：（ 1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边 = 右边（2 ）利用第（ 1 ）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列,若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1,丄a例7求数列的前n项

6、和：1解：设 Sn (11)(-a4)4丄a1(r 7)a1a1n 1a3n 2)将其每一项拆开再重新组合得Sn(1aa = 1 时,SnJr) (1a(3n1)n3n 2)a 1时,例 8求数列n(n+1)(2n+1)1na1的前(3n1)n(3n 1)n_2解：设 akk(k 1)(2k 1) 2k3 3k2(3n 1)n2nSn k(k 1)(2k1)=k 1n(2k3k 13k2k)将其每一项拆开再重新组合得nSn = 2k 1k3k2=2(1323n3)3(12n2)(1 2n)n2(n1 1)22n(n 1)(2 n 1)n(n1)22n(n 1) (n2)五、裂项法求和这是分解与

7、组合思想在数列求和中的具体应用（分组）（分组求和）（分组）（分组求和）.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后实用标准文案1重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sinlcos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 2(2n2n 1)(5)ann(n 1)(n 2)2 n(n 1)(n11)(n 2)ann 21n(n 1) 2n2(n1) n(7)(8)anann(n1)(An B)(A n C)C B (An B1例9求数列,V2 10

8、00的最小正整数2009n是多少？0.【解析】（1）Q f又数列又公比QSn又bn数列bn(2)a1,a2a3 f 3an成等比数列,a2a1227Sn2nTn由Tna12a3481227，所以an21构成一个首相为tn1( nb-|b2& Si 1n2n 1N )；db3Sn 1Sn1公差为b3b41；1的等差数列,Snbnbn 12n 1(2n 1)12n 12 2n 1 2n 112n 1n2n 1 ；遊得2009 得1000，满足 Tn9趣的最小正整数为2009112.练习题1.练习题2 。答案:求数列通项公式的常用方法(1)求差(商)法练习数列注意到an、卄5an 满足 SnSn 1

9、 an 1,3Sn 1Sn1Sn 1Sn，代入得ai4，求 an是等比数列，S 4n 2时,anSnSn 1(2)叠乘法如：数列an中,ai3冉an求an解生鱼a?anan 1又 a13 ,n3-an-n(3 )等差型递推公式由 anan 1f (n),印ao，求an，用迭加法a2aif n 2 时，a3a2f(3)两边相加得an a1f (2)f(3)f( n)anan 1f(n)a naof (2)f(3) f(n)练习数列an 中，a11,n 1an3an 1 n2 ,求 an(an-3n 12 )已知数列an满足a11,an 12an1卡2,求 an。n n解：由条件知：an 11an1 1 12n n n(n 1) n n 1分别令n1,2,3,(n1)，代入上式得(n1)个等式累加之，即(a2aj(a3a2)(a4a3)(anan 1 )111 1111(1-)(-)(-)(1-)22334nn所以ana111n11 113 1a1,an 22n2 n(4 )等比型递推公式an can i d ( c、d 为常数，c 0, ci, d 0)可转化