微分方程复习要点

1、1一阶微分方程 2可降阶的二阶微分方程 3二阶线性微分方程的解的结构 4二阶常系数线性微分方程,一、第七章要点,1一阶微分方程,1)可分离变量的微分方程,解法,类型,2)一阶线性微分方程,类型,解法,3)齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,解法 令 ，则 原方程变为,4)伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令 ，则原方程变为,2可降阶的二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1)类型,2)类型,方法 令 ，则原方程转变为,新方程是一个一阶微分方程,3)类型,方法 令 ，则原方程转变为,3二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次

2、线性方程有,1)若 是方程的线性无关解，则方程有通解,的一个特解,2)若 是方程的特解，则方程有通解,3)若 是方程 的特解,则 为方程,4二阶常系数线性微分方程,1)二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为,若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根 ，则方程的通,解为,2)二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中 是一个与 同次的多项式，而,设方程,则方程有特解,其中 是 次的多项式， ，而,按 是否为特征方程的根而分别取1或0,二、例 题 选 讲,解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量,

3、因,得,例1 求解方程,两边积分，得,即得原方程的通解,解 原方程变形后为齐次方程,例2 求解方程 ，,作变换 ，则有,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,即满足初始条件的解为,由初始条件 ，得 ，即原方程的解为,解 原方程变形为,即,例3 求微分方程 的通解,此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程,由求解公式得,分离变量，得,两边积分，得,例4 求解微分方程,解法1 此方程为齐次方程，作代换 ，则有,故方程的通解为,即,由于,解法2 方程变形为,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令 ，则有,例5 求解下列方程,即,方程的解为,1. ； 2.,解 1. 此方程不含变

4、量 ，故令变换 ，则方程为,即,所以，方程的通解为,方程变形为,即有,2. 此方程中不含变量 ，作变换 ，则,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,由 ，得方程的解为 由,例6 求下列方程的通解,解 1. 特征方程为,解得 ，由此得到方程的通解,1. ； 2.,3.,则,2. 特征方程为 ，因而齐次方程的通解为,由于 为单根，故可设方程的特解为,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程的通解为,代入到原方程，得,3. 特征方程为 ，解得 ，所以齐次方,程的通解为,注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可,设为,1一阶微分方程 2可降阶的二阶微分方程 3二阶线性微分方程的解的结构

5、4二阶常系数线性微分方程,一、第七章要点,1一阶微分方程,1)可分离变量的微分方程,解法,类型,2)一阶线性微分方程,类型,解法,3)齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,解法 令 ，则 原方程变为,4)伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令 ，则原方程变为,2可降阶的二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1)类型,2)类型,方法 令 ，则原方程转变为,新方程是一个一阶微分方程,3)类型,方法 令 ，则原方程转变为,3二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,1)若 是方程的线性无关解，则方程有通解,的一个特解,2)

6、若 是方程的特解，则方程有通解,3)若 是方程 的特解,则 为方程,4二阶常系数线性微分方程,1)二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为,若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根 ，则方程的通,解为,2)二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中 是一个与 同次的多项式，而,设方程,则方程有特解,其中 是 次的多项式， ，而,按 是否为特征方程的根而分别取1或0,二、例 题 选 讲,解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量,因,得,例1 求解方程,两边积分，得,即得原方程的通解,解 原方程变形

7、后为齐次方程,例2 求解方程 ，,作变换 ，则有,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,即满足初始条件的解为,由初始条件 ，得 ，即原方程的解为,解 原方程变形为,即,例3 求微分方程 的通解,此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程,由求解公式得,分离变量，得,两边积分，得,例4 求解微分方程,解法1 此方程为齐次方程，作代换 ，则有,故方程的通解为,即,由于,解法2 方程变形为,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令 ，则有,例5 求解下列方程,即,方程的解为,1. ； 2.,解 1. 此方程不含变量 ，故令变换 ，则方程为,即,所以，方程的通解为,方程变形为,即有,2. 此方程中不含变量 ，作变换 ，则,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,由 ，得方程的解为 由,例6 求下列方程的通解,解 1. 特征方程为,解得 ，由此得到方程的通解,1. ； 2.,3.,则,2. 特