高一数学教学02第2课时：“函数基础之‘兵家必争之地’”-----讲义（教师版）.doc

1、 第2课时 函数基础之兵家必争之地温故知新 1.（2017 丰台二模）已知集合，那么（A）（B）（C）（D）答案：C2.(2017东城一模)已知集合，则（ ） （A） （B）（C） （D） A3.（2017 丰台一模）如果集合，那么=（ ）（A）（B）（C）（D）D4.（2017 海淀一模）已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D . A5.（2017海二模）若集合，或，则A. B. C. D. 答案：C趣味引入 函数的发展史，图（1）是奥尔格康托尔(Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp,1845.3.3-1918.1.6)德国数学家,集合论的创始人，

2、集合论的发展为函数的发展奠定了基础。我们高中的函数的定义就是从集合的角度定义的）康托尔为了势这个概念奉献了一生，甚至住进了疯人院。老师们可以查找先关的视频资料等。讲的绘声绘色，深动有趣一些。这个概念重点是对应。趣味问题：1cm的线段上的点和3cm的线段上的点那个多？和一个直线上的点比较呢？答案：一样多。我国古代函数的发展，天地人与人生命运的对应。函数讲求的就是这种对应呀！ 定义域的概念就在生活里。看看下面的图片，要是把“石头”加入到榨汁机里会怎么样子呢？函数的对应关系：定义域中的每一个“信”都有唯一确定的“人”去接收。但是一个人可以收到很多的信呢。尤其是大美女！ 下面是我们高中要学习的几种不同

3、的函数图象，画起来还是挺漂亮的吧。 温度曲线如图是济南市从2016年12月17日早晨8点到18日凌晨5点的气温变化情况温度曲线说明：由图可知，在每个时刻，都有唯一的气温值与之对应，济南市的气温随着时间的变化，先快速上升，然后缓慢下降 刹车问题 在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行米，一般地，有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：千米 / 时）刹车问题说明： 通过这里我们发现行驶速度与刹车滑行的 距离呈现一一对应关系函数”一词的由来（教师版）“函”在中国古代既有“信件”的意思，也有“包含、容纳”的意思年我国清代数学家李善兰翻译代数学一书时首先用“函数”一词翻译“”一词，他解释说：“

4、凡此变数函（包含）彼变数，则此为彼之函数”中国古代用天、地、人、物表示未知数李善兰译代数学中有“凡式中含天，为天之函数”这样的语句函数又具有“信件”类似的特征，一封信只能一对一或多对一寄出，一对多便无法寄出，函数也具有这样的“指向唯一确定”特征附：李善兰（18101882）是中国清朝数学家，浙江杭州府海宁人，为中国近代数学家的前驱他10岁即通九章算术，15岁通习几何原本六卷，曾独立发明对数微积分，并在组合恒等式方面提出李善兰恒等式35岁时刻印方圆阐幽、弧矢启秘和对数探源三种数学著作同时钻研天文、历算他直接引进大量数学符号：、，而且他的翻译工作具独创性，创译了许多数学名词：代数、常数、变数、已知

5、数、函数、系数、指数、级数、单项式、多项式、微分、横轴、纵轴、切线、法线、曲线、渐近线、相似等，其他学科如：植物等，这些译名独具匠心，自然贴切，沿用至今知识梳理一、函数的概念1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.【例1】（建议学生做题时间：4 分钟 教师讲解时间：4 分钟）设计意图：熟悉函数的概念，理解函数符号的含义；培养学生的数学抽象素养1. 下列对应中有几个是函数？ 【答案】【解析】一个只能对应一个， 不是；每一个都有与之对应，不是【例2】. 下列对应关系能否构成函

6、数？ （1） ，每个数对应到它的平方 （2） ，每个数对应到它的平方根【答案】（1）能构成函数；（2）不能构成函数【解析】（1）满足函数特征；（2）正数的平方根有两个，不满足函数的特征.【例3】. 已知函数.（1） _，_； （2）当时，_，_【答案】（1）； （2），【解析】（1）略；（2）略.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.【例5】（建议学生做题时间：4 分钟 教师讲解时间：3 分钟）设计意图：训练学生求解定义域的能力求下列函数的定义域 ； ； ； ； 【答案】 ； ； ； ； 【解析】注意分式中分母不

7、为零，根号里要大于等于零，零次方的底数不为零.【例6】（建议学生做题时间：5 分钟 教师讲解时间：3 分钟）设计意图：训练学生求解常见函数值域的能力求下列函数的值域：，；，；定义域的值域【答案】 ；定义域的值域 【解析】画图.2换元法【例 7】（1） 求函数，的值域 （2） 求函数的值域【答案】：（1）；（2）.【解析】（1）令，则，故， 所以函数，的值域为. （2）函数由两层函数复合，内层函数，外层函数， 定义域为， 于是， 所以函数的值域为 ；求值域的步骤：确定定义域（如果只有自然定义域的限制，可以不求出）； 从内层函数到外层函数一层一层求值域【例8】（建议学生做题时间：3 分钟 教师讲解

8、时间：3 分钟）设计意图：了解常见函数的值域，熟练掌握利用换元法求解函数值域的方法，培养学生数学抽象和直观想象的素养求下列函数的值域 ，； ； 【答案】 ； ； 【解析】（1）换元法，令，然后画出的图象，可以直接看出值域为；（2）令，值域为；（3）令，画出的图象，可以直接看出值域为.二、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.1函数的三种表示方法（1）列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法（2）图象法：把一个函数定义域内的每个自变量的值和它对应的函数值构成的有序实数作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数的图象，即（3）解析法：用代数式（或解析

9、式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如说明：函数三种表示的优缺点说明：不是所有的函数都能用图象表示，如： 【例9】小明同学开了一个小店，里面有件商品，每个商品的定价都为元，表示卖出商品的数量，表示销售收入，用三种方法表示关于的函数【 答案】（1）列表法：（2）解析法：，（3）图像法：【例 10】（1）已知，求，； （2）已知，求 ； （3）已知，求；【答案】（1），；（2）；（3） （）【解析】（1）代入法：， （2）配凑法：， 于是； 换元法：令，则 ， （3） （）典题探究【典题1】设计意图：熟练掌握利用换元法和拼凑法求解函数解析式的方法，培养学生数学抽象和直观想象的素养（1）已知，

10、求； （2）已知，求； （3）已知，求【答案】（1） （2） （3） （）【解析】（1）代入法: ；（2）配凑法：，于是；换元法：令，则， ，；（3） （）【典题2】已知函数 ，（1）求 ；（2） ；（3）若，求 .【答案】（1）； （2）； （3），或【解析】（1）略；（2）略；（3） 当时，；当时，；当时，或【典题3】（建议学生做题时间：1 分钟 教师讲解时间：2 分钟）设计意图：熟悉函数相等的概念下列各组函数中，表示相等函数的有 _与；与；与； 与；与【答案】：【解析】定义域和对应法则都相同才是同一函数.大脑体操【挑战1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 和 B. 和 C.

11、 和 D. 和 【答案】【解析】定义域和对应法则都相同才是同一函数.，中定义域不同，中对应法则不同.设计意图：加强对函数列表法的理解（建议学生做题时间：3 分钟 教师讲解时间：2 分钟）【挑战2】. 已知与分别由下表给出： 那么 _， _， _，_； 满足的的值是 _ 【答案】；与；【解析】略.当堂练习【练习1】（2017西青区模拟）函数f（x）=+的定义域为（）Ax|x2Bx|x3或x3Cx|3x3Dx|3x3且2【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得：，解得：3x3或x2，故函数的定义域是x|3x3且2，故选：D【练习2】（2017遂宁模拟）设函数

12、，则的定义域为（）AB2，4C1，+）D，2【分析】求出函数f（x）的定义域，再进一步求出复合函数的定义域，即可得答案【解答】解：函数的定义域为：1，+），解得2x4的定义域为：2，4故选：B【练习3】（2017温州模拟）函数y=+1的值域为（）A（0，+）B（1，+）C0，+）D1，+）【分析】由题意可得出函数y=+1是增函数，由单调性即可求值域【解答】解：函数y=+1，定义域为1，+），根据幂函数性质可知，函数y为增函数，当x=1时，函数y取得最小值为1，函数y=+1的值域为1，+），故选D课后作业1（2017春龙海市校级期中）函数的定义域是（）Ax|x4或x3Bx|4x3Cx|x4或x3

13、Dx|4x3【分析】根据根式函数的性质解不等式即可【解答】解：要使函数有意义，则x2+x120，即（x3）（x+4）0，解得x3或x4故函数的定义域为x|x4或x3故选：C2（2017春东莞市校级月考）函数的定义域是（）A（，2）B（，2C（2，+）D2，+）【分析】根据函数f（x）的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0，求出解集即可【解答】解：函数f（x）=，x20，解得x2；f（x）的定义域是2，+）故选：D3（2016南昌自主招生）下列各组函数中是同一函数的是（）ABCDy=|x|+|x1|与y=2x1【分析】本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，逐一分析四个答案中两个函数的定义域与解析式，判断是否一致，然后根据函数相同的定义判断即可得到答案【解答】解：B中，y=，定义域与对应法则都不同，排除B又C中，y=|x1|=，定义域不同，排除CD中，y=|x|+|x1|=对应法则不同，排除DA中、y=x，与y=x定义域和对应法则均相同，为同一函数；故选A4（2017春虎林市校级月考）已知函数y=f（x）定义域是2，3，则y=f（2x1）的定义域是（）AB1，4CD5，5【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论【解答】解：