例析圆周运动的临界问题湖北襄阳四中任建新

1、例析圆周运动的临界问题湖北省襄阳市第四中学 任建新 4410211人造卫星或天体的变轨问题：正常做圆周运动的人造卫星或其它天体，运行轨道发生变化的原因是中心天体提供的向心力与自身需要的向心力不匹配造成的。当中心天体提供的向心力大于自身需要的向心力时，人造卫星或其它天体将做近心运动（轨道半径变小）；当中心天体提供的向心力小于自身需要的向心力时，人造卫星或其它天体将做离心运动（轨道半径变大）。处理此类问题的关键就是要首先判断这两者之间的大小关系，从而确定人造卫星或其它天体的轨道半径的变化，然后根据公式确定v、T等的变化。其它类型的圆周运动的变轨问题，亦可根据上述分析方法来处理。【例1】在研究宇宙发

2、展演变的理论中，有一种说法叫做“宇宙膨胀说”，认为引力常量G在缓慢地减小。根据这种理论，在太阳系中地球的公转轨道半径、周期、速率与很久很久以前相比变化的情况是（ ）A太阳系中地球公转的轨道半径比现在大B周期比现在小C速率比现在大D太阳系中地球公转的轨道半径比现在小【解析】地球围绕太阳公转的向心力由太阳对地球的万有引力提供，当地球正常运行时，当G减小时，太阳对地球提供的万有引力F小于地球需要的向心力F，即v1，v4v3，而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径r1v4。卫星沿椭圆轨道由PQ运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐

3、减小，因此有v2v3。v2v1v4v3。2水平方向的圆周运动的临界问题处理水平方向的圆周运动的临界问题时，最关键的是先求出出现临界状态时，物体的临界加速度（或临界线速度、角速度），然后根据物体的实际加速度分析物体的实际受力情况，最后应用牛顿第二定律列方程求解。【例3】如图2所示，长度为l的细绳上端固定在天花板上O点，下端拴着质量为m的小球。当把细绳拉直时，细绳与竖直线夹角为=60，此时小球静止于光滑的水平面上。图2（1）当球以角速度做圆锥摆运动时，细绳的张力T为多大？水平面受到的压力N是多大？（2）当球以角速度做圆锥摆运动时，细绳的张力及水平面受到的压力各是多大？【解析】设小球做圆锥摆运动的角

4、速度为时，小球对光滑水平面的压力恰好为零，此时球受重力mg和绳的拉力T0，应用正交分解法列出方程： 解得： （1），所以小球受重力mg，绳的拉力T和水平面的支持力N，应用正交分解法列方程： 解得：，（2），小球离开水平面做圆锥摆运动，所以球对水平面的压力。设细绳与竖直线的夹角为，小球受重力mg和细绳的拉力，应用正交分解法列方程： 解得：。3竖直方向的圆周运动的临界问题物体在竖直方向做圆周运动时，在考虑重力作用的情况下，物体不可能做匀速圆周运动，向心方向和切线方向均有加速度，即速度的大小和方向均要发生变化，除非有其他的力平衡重力。vv0NG乙甲vTGO细绳此类问题的基本模型主要有以下两种：（1）

5、细绳（或圆弧轨道）模型，如图甲、乙所示。因为细绳（或圆弧轨道）对物体只能提供拉力（或指向圆心的支持力），不能提供支持力（或背离圆心的支持力），故物体恰好通过最高点（或等效最高点）的临界条件是细绳对物体拉力T（或圆弧轨道的支持力N）为零。图11qmOq【例4】如图所示，一根长为L的绝缘细线的下端系着质量为m、所带电荷量为q的金属小球。在细线的悬点O处固定一带电荷量为q的点电荷。要使金属球能在竖直平面内做完整的圆周运动，求金属球在最低点的最小速度。【解析】金属球恰好通过最高点，细绳对小球的拉力T=0，小球的初速度最小。此时只有重力和点电荷对小球的库仑力的合力提供向心力。设小球在最低点和最高点的速度

6、分别为v0，v，则有，最高点处， ，从最低点到最高点过程，只有重力做功，由机械能守恒定律， ，两式联立解得：。【例5】如图3所示，在匀强电场中一带正电荷量为、质量为m的小球以某一初速度v0从绝缘斜面上A点滑下，并沿与斜面的B点相切的绝缘圆轨道通过最高点C。已知斜面的倾角为30，圆轨道半径为R，场强为E的匀强电场水平向右，不计一切摩擦和阻力。则小球至少应以多大的初速度滑下？图430ACBEEqmgFEqmgFOD图330ACBEv0【解析】对小球受力分析如图4所示。 ，=30 ，即电场力和重力的合力F垂直于斜面，小球在斜面上做匀速直线运动，即vB=v0 。设D点为小球的等效最高点，当小球恰好通过

7、D点时，轨道对小球的支持力为0，只有F提供向心力，此时小球的初速度最小。 ，由B到D过程，由动能定理， ，而 ，联立式解得。（2）细杆（圆空腔）模型，如图丙、丁所示。丙细杆vNGOOGN丁因为细杆（圆空腔）对物体既可提供拉力（或指向圆心的支持力），也可提供支持力（或背离圆心的支持力），故物体恰好通过最高点（或等效最高点）的临界条件是=0，此时N=mg，方向竖直向上；当0时，N， 当0时，杆对小球的支持力竖直向上，G和N的合力提供向心力，N的大小随的增大而减小，且0NG；当=时，N =0，只有小球的重力提供向心力，此状态为杆对小球的作用力的方向发生改变的临界点；当时，杆对小球有拉力，方向指向圆心

8、，其大小随的增大而增大。【例6】图5O如图5所示，在质量为M的试管内盛有少量乙醚，管口用质量为m的软木塞封闭，悬挂于O点处。加热试管，软木塞在乙醚蒸汽的压力作用下飞出后，恰能使试管绕悬挂点在竖直平面内做一完整的圆周运动。不计空气阻力。求：（1）若试管系于长的轻质细线上，则软木塞飞出的速度至少为多大？（2）若试管系于长的轻质细杆上，则软木塞飞出的速度至少为多大？【解析】（1）对试管、软木塞，由动量守恒定律有 对试管在最高点，根据题意，由牛顿第二定律有 对试管，由机械能定律有 联立以上三式，解得：。（2）对试管、软木塞，由动量守恒定律有 ，根据题意，试管在最高点的速度等于零。对试管，由机械能定律有

9、 联立以上三式，解得：。4带电粒子在复合场中做匀速圆周运动应满足的条件，（只讨论带电粒子垂直B入射的情况）（1）只有大小不变的洛仑兹力提供向心力；（2）如果存在洛仑兹力以外的其他力的作用，这些力要么始终与洛仑兹力在同一直线上，与洛仑兹力一起共同提供向心力，要么互相平衡。【例7】BER图6如图6所示，某空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强电场竖直向上，电场强度为E，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度为B。电量为q的液滴在此空间的竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，则（1）求液滴的质量；（2）液滴环绕速度的大小和方向。【解析】对液滴受力分析可知，液滴在此空间受到重力、洛仑兹力及电场力三个力的作用，液滴在竖直平面内做匀速圆周运动，