2005数学三真题解析汇报

1、 文档 年全国硕士研究生入学统一考试2005 数学三试题 把答案填在题中横线上）分. 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24x2sinlimx极限= . （1）21?x ?x?0yxy?2)?y(1_. 微分方程的特解为满足初始条件）（2yx?xe)z?1)ln(1?y?(x?dz_. ），则设二元函数（3)0(1, 1a?),2,1,a(2,1,1,1)(3)a,a(2,1,),13,24(,，则，设行向量组（4），线性相关，且a=_. X?,1,2, Y, （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从则中任取一个数，记为?2PY=_. (X,Y) 的概率分布为（6）设二维随

2、机变量 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 X?Y?1X?0相互独立，则a= ， b= . 已知随机事件与 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 32f(x)?2x?9x?12x?a恰好有两个不同的零点取下列哪个值时，函数. （7）当a(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. 22222?22?d)I?cos(x?yd)I?cos(x?yd?I?ycosx,8（）设,321DDD 其中 22?1?y)(x,yxD?，则 I?I?II?I?I. . (A) （B）311322

3、I?I?II?I?I. . (D) (C) 211323?n?1,0,n?12,?a?aa1)(?收敛，则下列结论正确的是（9）设发散， 若nnn1?n1?n?aaaa发散B） (A) 收敛，. 收敛，发散 . （1?12nn2?nn221?1nn1n?n1?aaa?a)(收 (D) 敛. 敛收 (C) . n2nn1?2n221?1?n?n1 文档 x?cos?xsinx(fx) ）设下列命题中正确的是,（10?)(f()f. 是极小值，是极大值（(A) f(0)是极大值，B） f(0)是极小值. 22?)f)(f(. 也是极大值（C） f(0)是极大值，也是极小值. (D) f(0)是极小

4、值，22 以下四个命题中，正确的是（11）?)fx(. ）内有界1）内连续，则(A) 若f(x)在（0，1在（0，)xf(. ）内连续，则1f(x)在（B）若0，1）内有界在（0，?)(xf. ）内有界，则f(x)（C）若在（0，1）内有界在（0，1?)(xf)(xf. 在（在（0，若1）内有界，则0，1）内有界 (D) T*T)(aAAA?A的转置矩的伴随矩阵，其中为 满足A（12）设矩阵A=是A33?ijaa,a,a 为. 若为三个相等的正数，则阵11131211313. (D) (B) 3. (C) . (A) . 33 ?,，的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则是矩阵A（13）

5、设21211?)?A( 线性无关的充分必要条件是21?0?00?0. (D) (A) . . . (B) (C) 1122 22?,),N(现从中随机抽（14） 其中，均未知设一批零件的长度服从正态分布. )cmx?20()cm?1(s0.90取16个零件，测得样本均值的置信度为，样本标准差，则? 的置信区间是1111).t(16t(16),20?(20?(20?(),20?t16).16t(A) (B) 10.10.050.0.0544441111).15(?t15),20?t(20).(20?(15?(15),20tt (D)(C) 1001.05.0500.4444三 、解答题（本题共9

6、小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分8分） 1?x1?lim(). 求?xx1?e0?x（16）（本题满分8分） yx22?g?gg(x,y)?f()?yf()22x?y. ，求具有二阶连续导数，且设f(u) xy22?x?y（17）（本题满分9分） 文档 22?d1x?y?1x?1,0?yD?(x,y)0?. ，其中计算二重积分D 9分）（18）（本题满分?1?n2x?(1)S(x). (-1,1)求幂级数内的和函数在区间 1n?21?n 分）（19（本题满分8?0(xf)?0g?(x)证明：对任何,.1上的导数连续，且f(0)=0,设f(x),g

7、(x)在0，1?0, 有a,1a?).1)g()g)(xdx?ffg(x)(x)dx?af(x 00 20）（本题满分13分）（ 已知齐次线性方程组,?3x?0x?2x?312?,5x?02x?3x? （i）312?,?0ax?x?x?123 和,0cx?x?bx?321 ii）（?2,?0?(c?1)xb2x?x?132. a,b, c的值同解，求 13分）（21）（本题满分CA?n?m?D. 矩阵阶对称矩阵，C为为正定矩阵，其中设A,B分别为m阶，n?TBC?1?CE?Am?PTDPP (I) 计算，其中；?Eo?n1T?CAB?C. II）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你

8、的结论（ 分）（本题满分13（22） 的概率密度为设二维随机变量(X,Y),x?1,0?y2?1,0x?yf(x,) ?,0其他.?)x),f(yf( (X,Y)的边缘概率密度；求：（I）YX).(fz （II） 的概率密度Y?Z?2XZ11.PY?X? ( III ) 22 1323）（本题满分分）（2)X,X,(n2?,X?X为样本均值，记为来自总体)的简单随机样本，设N(0,n12 文档 .,n,2,1YXX,i ?iiYn,2,?DY,i?1, ；） 的方差求：（IiiY).Y,YYCov( （II）的协方差与1n1n22?)c(Y?Yc. 是III）若的无偏估计量，求常数 （n1 2

9、005年考研数学（三）真题解析 . 把答案填在题中横线上）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分x2sinlimx= 2 . 极限（1）21?x ?x?. 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可【分析】x2x2.2limx?sinxlim 】=【 详解221x?1x?x?x?0?xyy2xy?2)?y(1. 的特解为（2） 微分方程满足初始条件 . 】 【直接积分即可分析?Cxy?0)?(xy 【详解】 原方程可化为 ，积分得 ， xy=2. C=2，故所求特解为代入初始条件得yx?xez?ln(1?y)?(x1)?dzdy)?(e?22edx . 3），则设二元函数（

10、)0(1, . 基本题型，直接套用相应的公式即可【分析】 z?y?yx?x)ln(?xe1?y?e, 详解】【 x?1x?zyx?xe, y?y1?dzdy?2)e2edx?(. 于是 )0,(11?a)a,(32,(21,11),1)a,(2,1a)(4,312,，则（4，设行向量组），线性相关，且1 . a= 2 a. 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定】分析 四个4【 由题设，有】【详解 文档 1121a21a11?1a?.a?,aa?10?1)a(a?1)(2? ，但题设 得，故, a321221432X1,2,?, （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从

11、Y, 则中任取一个数，记为13Y?2P . = 48 且第一次试验的各种两两互, 】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式【分析. 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分 X?1PY?2PX?1?2PY?2XPX?22PY? +=详解】 【?4Y?2X4PX?P32X?3PX?PY? +131111.?)?(0 = 484234 ）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为（6 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 X?Y?1?0X相互独立，则与已知随机事件a= 0.4 , b= 0.1 . 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式

12、，由此可确定a,b的取值. 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 X?Y?10X?相互独立，于是有又事件与 PX?0,X?Y?1?PX?0PX?Y?1， (0.4?a)(a?b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1 即 a=二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 32f(x)?2x?9x?12x?a恰好有两个不同的零点. 7（）当a取下列哪个值时，函数(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. B 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个

13、极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点. 2?(x)?6x?f18x?126(x?1)(x?2)，知可能极值点为【详解x=1,x=2，且 】 =f(1)?5?a,f(2)?4?a，可见当 a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). 22222?22?dI?cos(x?y)dcos(x?)y?Idcosx?Iy?,设8（）,321DDD 22?1yxyx?D(,)? ，则其中 文档 II?I?II?I?. ）(A) . （B313212II?II?I?I. A (C) . (D) 2113232222222y?xy?x)?xy(域、区与在【分析】 关键在于比较 22?y1D?(

14、x,y)x?. 上的大小 2222?1?D(x,y)x?y1y?0?x? 在区域上，有，从而有【详解】?2222222y?x0)?y?(xy?1?x ? 2?)0(, 由于cosx在上为单调减函数，于是 22222222yx?0?cos)?cos(xy?)y?cos(x ?22222?22?d)cos(x?y?)xcos(d?y?ydcosx(A). 因此 ，故应选DDD?1n?,?0,n?1,2,aaa)?1( 收敛，则下列结论正确的是若（9）设发散，nnn1n?1?n?aaaa. 收敛，发散 (A) （B收敛，） 发散 . 12n2n?1?n22n1?nn?11nn?1?)?aa)(aa?

15、. 敛. (C) (D) 敛收收n2n?1?2n122n1?n1?n D . 可通过反例用排除法找到正确答案【分析】 ?1?1n?aa1)(?a 发散，则 【详解】取收敛，nnnn1n?1n?aa)?(aa发散，进一步排除与(A),(B)选项，且但均发散，排除1?2nn2n2n?121?n1?n1?n?)(a?a (C), 故应选(D). 的部分和数列极限存在事实上，级数.n2n?121n?x?xcosf(x)?xsin ,（10）设下列命题中正确的是?f()f()是极大值. f(0)Bf(0)(B) 是极大值，. 是极小值（）是极小值，22?)f(f)(. . (D) f(0)是极大值，）C

16、（ f(0)也是极大值也是极小值是极小值，22 B 文档 ?)(x(x),ff. 先求出，再用取极值的充分条件判断即可【分析】 ?0),f?f(0)?0xcosf?(x)?sinxxcosx?sinx?x 【详解】 ，显然 2?00,f?()f?(0)?1?xxsincos)?fx?(x是极小值，f(0)，故 又，且 22?)(f (B).是极大值，应选2 以下四个命题中，正确的是（11）?)fx(. ）内连续，则f(x)在（(A) 若0，1）内有界，在（01)f(x. 1）内有界f(x)（B）若在（0，在（0，1）内连续，则?)fx(. ）内有界（C）若在（0，1在（0，1）内有界，则f(x

17、)?)f(x)(xf. C 1）内有界在（1） (D) 若内有界，则0，在（0，. 】 通过反例用排除法找到正确答案即可【分析11?)?(xf）1，但均在（0，1）f(x)=, 则f(x)及内连续，f(x)【详解】 设在（02xx1?xf)(xxf()?）内10，在（在（内无界，排除(A)、(B); 又0，1）内有界，但x2 故应选(C). 无界，排除(D). T*T)(aAA?AA的转置矩的伴随矩阵，是A为（12）设矩阵A=，其中 满足A33?ijaa,aa 若. 为三个相等的正数，则为阵11131112313. (D) (B) 3. (C) . (A) . 33 A A的伴随矩阵有关，一般

18、联想到用行列展开定理和相应公式：】 题设与【分析*.E?AAAA?A. *T*EAA?AAA?Aa32,a?Ai,j?1,AA?的，有，其中由为【详解】 及ijijijij23 T 1?A0?AA?AAAE?A? 或代数余子式，且32 ?.a1?A03a?aAA?a?aA?A?，且 故正确选项而 ，于是11111312111113123(A). 为?,，（13）设的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则A是矩阵21121?)A(?线性无关的充分必要条件是 21?0?0?00. (D) (C) (B) (A) . . . 1122 文档 D . 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为

19、求其秩即可】 【分析?0k)?kA(? ，则方法一：令 【详解】 21112?0?kk?k?0?kk)?k(?. ， 212122112122211?, 由于线性无关，于是有21?,kk?0?121 ?.k0?22?)(?A0?0?k?0,k线性无关；反过来，当时，显然有，此时， 121221?)?A)(?A(0?否则，线性无关，与则必然有，线性相关)若(,=，112121112(B). 故应选?1?1?(,A?,)?, 由于 ， 方法二：?2221111112?0?2? 1?1?)?A(?.0?(D). 线性无关的充要条件是可见故应选，1212?0222?,)N(,现从中随机抽. （14）

20、设一批零件的长度服从正态分布均未知，其中)?x20(cm)s?1(cm0.90，则16个零件，测得样本均值的置信度为，样本标准差取? 的置信区间是1111).(1620?t(20?t16),).16(),20?(20?t(16t (B) (A) 1.10.005.0.05044441111).20?t15?t(15),20().(15?(15),20tt(20? (D)(C) 10.1.0050.050.4444 C ?x ).(n?1t 】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：【分析sn?x )n?1(t0.90由正态总体抽样分布的性质知， 故的置信度为，【详解】 ?sn1111)1t(

21、1t(n?),x?n?(x).t(151520?t(),20?(，即的置信区间是 ? 050.0.0544nn 22(C). 故应选 ）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.94小题，解答题 三、（本题共9满分分15）（本题满分8（分） 文档 1x1?).?lim( 求x?xe1?0x?. 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则 【分析】?x2?e?1?1?x1x?xlim?lim(?) 】 【详解 xx?x)x(1?1?ee0x?0x?x?2e1?x?xlim = 2x0?xx?e?2x1lim =x20?xx?32?elim?. = 220x? 8分）16）（本题满分（xy22g?g)?

22、yf(,y)?f)g(x22.x?y ，求设f(u)具有二阶连续导数，且 yx22y?x?. 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可分析】 【 由已知条件可得详解】 【xgyy?)f?f()? ， 2y?xxx22xy2yy1?xg?)?ff()?f() ， 432yyxyx?xxxg1yxx?)f(?f)(?f()? ， yyxy?yx22xxg1yxxxx?)(?f()?f(?f()?f ， 32222yyyxyy?yxy22gg?22yx? 所以 22y?x2222xxy2yyxxxyy?)ff()?)(?f()?()(f?f = 22yyxyyxyxxxyy2?).f( =xx （本题

23、满分9分）（17）22? d?y1?xD?(x,y)0?x?1,0?y?1. 计算二重积分 ，其中D 文档 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积 【分析】. 分即可 22D,y)?(D?x,y)x?y?1,(x 【详解】 记，1 22D,y)(x,y)x?y?1,(xD? ，222?2222?dy1x?dxdy)?(x1?ydxdyy)?(x1? 于是 =DDD21?1 222?rdr)d?1(r?22dxdy?y)?(x1? =2dxdy)?(x1?y?00DD1?1111222? ?rdr1(r?y?1)dy?)ddx?(x.? +=28340000 分）（本

24、题满分9（18）?1?n2x)?1(S(x). 内的和函数求幂级数在区间(-1,1) 1n?21?n转化为几何级数或已知函数的】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，【分析. 幂级数展开式，从而达到求和的目的 设【详解】?1?n2x?(x)?1()S ， 1n?21n?1?n2n2?xx)(Sx?S(x) ， 121n?21?n1n?)S(xS(x)?S(x)?).,1x?(?1 ，则21 由于2x?n2x)?S(x=， 22x1?1n?2?x?n2?,x?x(?1,x(xS()1?), 12x1?1n?2x?11tx?x?ln)xS(dt?x 因此 ， 12x1?2t?10S(0)?0，

25、故又由于 111?x? ,1x?1?ln,S(x)? ?2x1?x1x?0.?0,? 文档 111?x? ,x?1?,ln?S(x)?S(x)?S(x) ? 所以 ?2xx1?2x1?21x?0.?0,?（19）（本题满分8分） ?0?(xf)(x)?0g.,，1上的导数连续，且f(0)=0,证明：对任何设f(x),g(x)在0?0,1,a有 a1?).1g(?f(af(x)g)(xg(x)f)(x)dx?dx 00【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论. 【详解】 方法一：设 x1?)1g(f(xt)g)(t)g(t)fdt(t)dt?f(?)(

26、Fx ，00则F(x)在0，1上的导数连续，并且 ?F)(x(x)g(x)?f?g(1(x)f)(x?f)(x)g(1g， ?(x)F?010x?,0(x,g)f?(x)?0，即F(x)由于在0，1上单调递减. 时，因此注意到 11?)(11)gt)dt?f(t)dt?)f(tg(g(t)f?F1)( ，00 1111?dt)(tf(t)?g(t)f(t)g(t)fdt(t)?g?g(t)df(t 而 00001?(tg)dtf(t)f(1)g(1)?， =0故F(1)=0. F(x)?0a?0x?0,1,1，有，由此可得对任何因此时， a1?).(1(a)gg(x)dxfg(x)?(x)dx

27、?ff(x) 00 aaa?dxxg)(?f(f)g(xfx()dx?g(x)(x)x) 方法二： 000a?(xg)?)dxf(xaf()g(a)， =0a1?dx)(xf(x)g(x)f(x)dx?g 00a1?(x)g(xg)(x)dx?dxfaf()g(a)?f(x) =001?.)dx(?xf(x)gaf(a)g() a?0?(xg)0,1x? 时，因此由于?)(a()gg(x)x(x)?ff,1?ax ， ，11?)a?g()()(?)ga?)gxf()(xdxf()(xdxfag1 ，00 文档 a1?dxxg)dx?(f(x)g(xf)(x) 从而00?f(a)g(a)?f(a

28、)g(1)?g(a)?f(a)g(1). （20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组 x?2x?3x?0,?312?2x?3x?5x?0,? （i） 321?x?x?ax?0,?132和 x?bx?cx?0,?312（ii） ?22x?bx?(c?1)x?0,?132同解，求a,b, c的值. 【分析】 方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出（i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c即可. 【详解】 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.

29、 对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换 112310?2351?01， ?2a?011a0?从而a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为 123101?235?011， ?020011?T)11,(?1,?. ）的一个基础解系故是方程组（i1?,xx?1x?1, ii）可得代入方程组（将312.?10,c?b2?b1,c 或2c?1,b ）的系数矩阵施以初等行变换，有当时，对方程组（ii112101? ， ?213011?显然此时方程组（i）与（ii）同解. b?0,c?1时，对方程组（当ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 101101? ，?202000?显然此时方程组（i）与（ii）

30、的解不相同. 综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解. 文档 （21）（本题满分13分） AC?m?n?D矩阵C为. 为正定矩阵，其中设A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，?TBC?1?CE?Am?PTDPP； ，其中(I) 计算?Eo?nT?1C?CAB是否为正定矩阵，并证明你的结论. ）利用(I)的结果判断矩阵（II【分析】 第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义. Eo?mT?P，有详解】 (I) 因 【?1T?ECA?n?1oE?CEA?AC?mmTDPP =?1T?TE?CAEoCB?nn?1?CAE?AC?m =?1T?

31、EoCCAoB?noA?. =?1T?oB?CAC?T?1CB?CA是正定矩阵）矩阵. （II由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵 oA?M?. ?1T?oB?CAC?又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵. TT?1X?(0,0,?,0)C?CAB及任意的为对称矩阵为对称矩阵，故. 对因矩阵MT?0y)yy,?,Y?(，有 n12oAX?T?1TT?1TT?CAB?C.)Y(X,Y)?Y(B?C?A0C为正 故?1?TYCACoB?定矩阵. （22）（本题满分13分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 1,0?x?1,0?y?2x,?f(x,)y ?其他.0,?f(x),f(y)；I求：（） (X,Y)的边缘概率密度 YXf(z). （II）的概率密度 Y?Z2X?Z 文档 11.?XPY? ( III ) 22求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般【分析】 直接用条件概率公用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; . 式计算即可 I）