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1、实用标准文案 傅里叶变换的应用 1.概述 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换，表示的是时域频域之间正交变换关系。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫傅里叶系统地提出，所以将其命名为傅里叶变换。 傅里叶变换的应用非常广泛，在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有应用。 2.研究背景 最早在1807年（具体也没办法知道是哪一年了，看了一些参考书，有说是1804年，也有说是1807年，但正是发表比较统一的时间是1822年）由法国数学家傅里叶（英语原名Jean Baptiste Joseph Fourier

2、）在他的热的解析理论一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解。在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。这种想法就是最初的傅里叶变换雏形。但由于种种原因没有得到进一步发展，只是受到了研究人员的广泛关注。直到 1965 年美国贝尔实验室的两位工程师 Cooley 和 Tukey 提出快速傅里叶变换即 FFT，由此傅里叶分析方法从理论走向实践，并广泛应用于物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域。傅里叶变换的使用有着严格的限制条件，并不是适用于所有类型的信号，它要求所分析的系统是线性的，信号必须是严格平稳或是

3、周期的，否则傅里叶变换的结果就会失去相应的物理意义。 但是在实际应用中，很难找到严格满足以上要求的信号。只是由于缺乏更好的信号处理方法，傅里叶变换仍然被用来分析和处理不满足限制要求的信号，但是在处理之前仍需要假定信号是平稳的或系统是线性的，这样就导致了一些不准确的结果。傅里叶变换能够从频域来观察信号，但是它不能同时观察信号在时域和频域的特性。因此，傅里叶变换得到的信号平均信息。随着信号处理要求的提高，人们希望得到信号频谱随时间变化的情况。由此产生了一系列的时频分析方法，时频分析能够反映信号在时域和频域的变化过程，采用某种时频变换就能将信号的能量分布在时间-频率平面上表示出来。常用的时频分析方法

4、主要有短时傅里叶变换、小波变换、Wigner-Ville 分布及分数傅里叶变换等。 傅里叶变换之所以是用正弦曲线来代替原来的曲线，是因为，虽然分解信号的方法是无穷的，但分解信号的最终目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。 3.基本理论 3.1 定义： 精彩文档 实用标准文案 函数之间的一种和以频率为自变量的“频谱”傅里叶变换是以时间为自变量的“信号”各种不同频率的信号在合成信号时所占的比重。变换关系，是指在分析如

5、何综合一个信号时，如连续傅里叶变换和离散傅里叶在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式， 变换。 傅里叶变换的公式：?t?j?dtF()?ef(t ? 傅里叶逆变换的公式：?1?tj?dt)?e)F(f( ?2? 3.2 傅里叶变换的分类： 由于自变量时间与频率可以是连续的也可以是离散的，因此傅里叶变换有多种形式。根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别： （1）非周期性连续信号傅立叶变换（Fourier Transform） （2）周期性连续信号傅立叶级数(Fourier Series) （3）非周期性离散信号离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fouri

6、er Transform） （4）周期性离散信号离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 图1 傅里叶变换的4种类别 这四种傅立叶变换针对的信号长度都为无穷大，但计算机只能处理有限长度的信号，而 长度有限的傅立叶变换又没有。面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸有两种方式，一种是延伸的部分用零来表示，另一种是把信号用复制，这样，前者变为非周期性离散信号，后者变为周期性离解信号。由于计算机处理的都为离散信号，所以一般对于连续信号我们会通过采样的方式将其变为离散信号再进行分析。 但是对于非周期性的信号，我们需要用

7、无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，DFT是由DTFT得来，截取DFS的一个周期就成了DFT。一般来说，DFT是DFS中截取的一段，DTFT是一般信号，DFS则是满足一定要求的信号，在计算机中的实现是DFT，其中具体算法是FFT（快速傅里叶变换）。 精彩文档实用标准文案 3.3 傅里叶变换的特点 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的

8、解析分析的工具被提出的。 傅里叶变换属于谐波分析。傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT）。 对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个

9、滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶逆变换，就得到了没有噪声的信号。 傅里叶变换的优点是：频率的定位很好，通过对信号的频率分辨率很好，可以清晰的得到信号所包含的频率成分，也就是频谱；缺点是：因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。 3.4 傅里叶变换的性质 (1)线性性质 (2)平移性质 (3)微分关系 (4)卷积特性 (5)帕塞瓦尔定理 可积且平方可积，则。其若函数f(x) 中F() 是f(x) 的傅里叶变

10、换。 更一般化而言，若函数f(x)和(x)皆平方可积（英语：Square-integrable function），则 。其中F() 和G() 分别是f(x) 和(x) 的傅里叶变换, *代表复共轭。 4.傅里叶变换的应用 傅里叶变化有很多种类，不同种类应用也不同，要想一一举例那几乎是不可能实现的。下面举一例简单的介绍一下。 用DFT对模拟信号进行谱分析 利用DFT分析信号的频谱，只需采集信号的有限个数据，而且只计算有限个分析频率上的频谱分量，可将有限个数据看成是用长为N的矩形窗从无限长序列中截取出来的。DFT对模拟信号进行频谱分析只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽，采样频率与截取长度。

11、精彩文档实用标准文案 信号谱分析的实质，就是通过信号的傅立叶变换(FT)来分析信号的频谱结构，信号的FT可以借助于DFT 用计算机仿真方法实现。DFT 的实质是序列傅立叶变换的有限点离散采样，这就使得有限长序列的频谱可以在频域采用数字运算方法进行，大大增加了数字信号处理的灵活性；另一方面，DFT有多种快速算法(FFT)，使得DFT成为对信号进行谱分析的一个重要工具。工程实际中，经常遇到的连续信号X(t),其频谱函数X(j)也是连续函数。数字计算机难于处理，因而我们采用DFT来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。 截断周期延拓周期延拓抽样 %x(n)x(t)x(n)x

12、(n)d(n)x(n) NN t=nT取一个周期 DTFFDTFDFDF周期延拓抽卷周期延 ?jjj)(kX)j?X()(ee)X(e)*DX( )kX( NNN?/?T2/?期周个取一s0 s DFT图2 对连续时间信号频谱的近似过程利用）栅栏效应（在实际应用中要注意的问题有：）截断效应（1）时域与频域混叠（243 信号长度的选择 总结5. 几乎可以说凡用到检测的信号几乎就得用到傅里叶变换来做傅里叶变换的应用很广泛， 分析，它很好的将时域与频域相结合，从而将一些复杂问题简单化。它通过对函数的分析来达到在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式。在几乎所有利用傅里叶变换表示和分析物理过程的领域里都对复杂函数的深入理解和研究。可以发现傅里叶变换的实部和虚部之间或者幅度和相位之间在某些情况下存在着一定的关我们可以用傅里叶变换来解一些系，在数学领域，这些关系虽在不同的