两两NQD随机序列的几个改进的强相合性质

1、两两NQD随机序列的几个改进的强相合性质施建华1,2， 陈晓平2,3（1-闽南师范大学数学与统计学院，福建 漳州 363000 2 -上海财经大学统计与管理学院，上海 200433 3- 福建师范大学数学与计算机科学学院，福建 福州 350108）摘要：本文通过不同的方法，对两两NQD随机序列已有的Kolmogorov型三级数定理进行改进进一步地，本文将改进的定理简化为一级数定理，通过这个简化的结论，可以容易地推广改进相关强相合的最新结果，因此本文的结果在讨论NQD的强相合性质上，是简洁有效的工具同时文章的结果表明，两两NQD随机序列具有独立情形完全类似的强相合结果关键词: 两两NQD随机序列

2、；强相合性；三级数定理中图分类号：02114 文献标识码：ASeveral Strong Consistencies Improved for Pairwise NQD Random SequencesSHI Jian-hua 1,2 , CHEN Xiao-ping 2,3(1- School of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University, Zhangzhou, Fujian 363000, China2- School of Statistics and Management, Shanghai University of

3、Finance and Economics, Shanghai 200433, China;3- School of Mathematics and Computer Science, Fujian Normal University, Fuzhou, Fujian 350108, China)Abstract: In this paper, the improvement for the generalized Kolmogorov-type three series theorem, in the case of NQD random variables, is obtained by d

4、ifferent methodFurthermore, the improved three series theorem is simplified to an one series theoremUsing the concise theorem, some related recent results are also discussed or improved. The results obtained in the article show that the strong consistency of NQD sequences is just similar to the situ

5、ation of indep-endent random sequence. Keywords: pairwise NQD random sequences; strong consistency; three series theorem1 引言首先，我们先给出两两NQD序列的定义定义 1 1 随机向量 称之为 NQD (negatively quadrant dependent)， 如果，称随机变量序列 是两两 NQD 随机变量， 如果对于每个， 是NQD的这个定义是由Lehmann 1首先引入的，它包含了独立随机变量、NA等的随机变量从那以后，越来越多的文章讨论关于NQD随机变量的极限理

6、论，特别是部分和的强相合性关于NQD随机变量的一些性质，在Lehmann 1中有做了介绍，同时一些研究人员也做了其它方面的有意义的结果，比如Li Rui等2，王岳宝等3，陈平炎4，Matula 5，Gan Shixin等6，王亮等7，施建华等8，黄海午等9，Sung Soo Hak 10等所做的工作众所周知，独立情形下的Kolmogorov型三级数定理在证明极限的相关理论中发挥着重要的作用，同样地，在NQD情形，也是如此2002年，吴群英1利用相关的引理以及推广化的Kolmogorov型不等式，得到了NQD序列强相合的一些重要结果但是由于带有因子，因此吴群英11中的条件_收稿日期: 2013-

7、10-21通讯作者: 施建华 (1977-)，讲师，E-mail： 基金项目: 福建省自然科学基金 (2012J01028); 上海财经大学研究生创新基金(CXJJ2012-423, CXJJ2013-451); 国家自然科学基金（11301473）是比较强的，意味着更强的收敛速度 目前，要得到类似于吴群英11中引理2的不带因子的不等式还比较困难所以，想通过常规的方法改进相关的结果，暂时还不可能最近，利用陈平炎4的定理1，施建华12证明了由吴群英11中的定理2导出的一些结果可以改进这引起我们对这个定理2的兴趣，也就是吴群英11中推广化的三级数定理或许能进一步改进，将其中

8、因子去掉 正因为上述的原因，我们希望通过不同的方法获得改进的Kolmogorov 型三级数定理进一步地，在本文中，我们将该定理简化为一个简单的形式，即本文中的定理3利用该结果，在更弱的级数收敛条件下，可以很容易地改进吴群英11中的相关结果，同时，本文也讨论和推广了施建华12以及Li Rui等2中的相关结论2 主要结果及其证明首先给出两个引理引理 14 设 是两两NQD随机变量序列，实数序列 满足 ， 且对于，有 那么当 ；有 引理 21 设随机向量 是NQD的，若同时为非减（或非增）的实函数，则向量仍然是NQD的随机向量 下面给出本文的主要结果定理 1 设是两两NQD随机变量序列，是满足的实数

9、序列，对于某个实数 ，记如果如下的三个级数收敛：; (1); (2) (3)则有 (4)证明 由已知条件， 取，则由引理2 ， 也是两两NQD随机变量序列不失一般性，令，同时令于是，由条件 (1)，(2) 以及 (3)，可知随机序列 满足如下的收敛条件; (5); (6) (7) 则所要证明的问题转化为证明 (8)显然，根据引理2, 截尾得到的 仍然是两两NQD随机变量序列，而且由条件(5)，序列 与 实际上是随机等价的因此，只要证首先，先考虑 由于对于任意的 (9)由引理1 以及 (7)，只要证明 注意到 (10)则 (11)又由于(5)，可以得到 (12)另一方面，由条件(5)、(6) 以

10、及等式 (10)，可得那么由 Kronecker 引理， 于是 (13) 结合(11)、(12) 以及 (13)式，可得再由引理1，得到 (14)同样由 (6)式以及Kronecker 引理，有这意味着 (15)结合 (14)式，得到 从而 (8) 式成立，于是(4)式成立证毕由上述的讨论，可以将定理1 改写成定理 2 设是两两NQD随机变量序列，是满足的实数序列，记如果如下的三个级数收敛， ; (16); (17) (18)则 注 定理2中的条件(16) 以及 (18) 式在这种情况下实际上可以去掉， 这两个条件均可由(17)推出来事实上，由(17)式， ，且同时并注意到 ，其中等号成立是由

11、于于是 因此，定理2 可以简化，我们给出如下的结果定理 3 (一级数定理) 设是两两NQD随机变量序列，是满足的实数序列，令如果 (19)则 3 定理3的一些应用利用定理3 可以很方便地证明NQD序列的一些强相合的结果，这些结果与独立情形下的类似在本文中，记 为一个常数，它的值在不同的地方可以不同，同时记定理 412 设是两两NQD随机变量序列，偶函数序列在区间上取正值，且对于任意的 ，存在 ，当下面其中的一个条件成立1） 在区间上非减，且当时，；2） 同时，实数序列 满足 那么当有 (20)证明 令 (21)则由引理2, 仍然是两两NQD的随机变量序列在条件 1）或 2）下，下面的证明是类似

12、的因此，我们仅给出条件1）下的证明，而这里实际上只需验证定理3的条件 (19)由条件，可得注意到在区间上，函数 是非减的，则对于 ， 于是由定理 3，可得(20) 成立证毕定理 5 设是两两NQD随机变量序列，是满足的实数序列，函数序列在上是取正值的非减偶函数序列，且对于任意的，存在，当，有 ，同时 那么 证明 当 ，有设同(21)式的取法由Jensen不等式，对于任意的， 则由定理3立得 证毕下面的定理6 与定理7，分别作为本文定理4与定理5的特例，是吴群英11中的定理3与万成高13中定理5的相应改进定理 612 设是两两NQD随机变量序列，偶函数序列在上取正值， 是满足的实数序列同时，对于

13、任意的，如果下面的条件之一成立3） 与 在非减且满足 ；4） 与 在不增且满足则 证明 仅证明条件4）下的结果可以证明，对于任意的 ，取 ，则函数序列 满足：对每个，是区间上取正值的非减偶函数，而且，当时，同时有事实上， 在不增，意味着函数在不减，从而，是上的非增的函数又由于时，对于，有，同时注意到是上非增的函数，则，其中， 于是如果取 ，则 因此 于是由定理5可得定理6成立证毕定理 712 设是两两NQD随机变量序列，是满足的实数序列， 如果下面的条件之一成立：5）当时，有 ;6）当时，有 则 利用定理 6，可以改进吴群英11中相关推论推论 1 设是两两NQD随机变量序列，是满足的实数序列，

14、而且， 或 成立则 证明 在定理6 中取，立得结论成立证毕进一步地，若在推论1中分别取 与 ，可分别得到如下结果推论 2 设是两两NQD随机变量序列，对于某个实数 ，如果，或 成立则 推论 3 设是两两NQD随机变量序列，对于某个实数 ，如果，或 成立则对任意的 ，作为定理 3的另外的应用，下面给出Li Rui等2中结果的改进由于Li Rui等2中的结果证明中关键的是用到推广化的Kolmogorov型三级数定理，所以利用定理 3，顺着前面的讨论过程，不难得到如下的定理 8和定理 9，这里略去证明定理 8 设是两两NQD随机变量序列，是满足的实数序列同时假设是Borel 函数族且对于常数，满足，

15、且 那么当 ，有 定理 9 设是两两NQD随机变量序列，是满足的实数序列假设 是非减的Borel 函数族，当时，满足，且，那么有参考文献：1 Lehmann E L. Some concepts of dependenceJ. Ann. Math .Statist., 1966, 43(3): 1137-1153 2 Li R, Yang W G. Strong convergence of pairwise NQD random sequencesJ. J. Math. Anal. Appl., 2008, 344(2): 741- 747 3 王岳宝，苏淳，刘京军关于两两NQD列的若干极限

16、性质J.应用数学学报，1998，21 (3): 404-4144 陈平炎两两NQD列的强大数定律J.数学物理学报，2005，25A（3）：386-392 5 Matula P. A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variablesJ. Stat. Prob. Lett., 1992, 15(3): 209213 6 Gan S X，Chen P YSome limit theorems for sequences of pairwise NQD random variable

17、sJ.Acta Mathematica Scientia， 2008，28(2):269-2817 王亮，师义民两两NQD 序列下线性指数分布参数的经验Bayes检验J.工程数学学报，2010，27(4):599-6048 施建华, 林影关于两两NQD序列部分和的完全收敛性J.纯粹数学与应用数学，2012，28(4)：483-4929 Huang H W, Wang D C, Wu Q Y, Zhang Q X. A note on the complete convergence for sequences of pairwise NQD random variablesJ. Journal of Inequalities and Applications, 2011, 92(1) 10