（存）点顶距已知时矩形周长最大值问题的解决贺斌晏金丽《数学通讯》2009年第6期_第1页
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文档简介

1、（适合栏目：专论荟萃，联系Email：）点顶距已知时矩形周长最大值问题的解决贺 斌 晏金丽(湖北省谷城县第三中学,441700)美国数学月刊2004年1月问题11057为：设，为正实数，矩形内部有一点，满足，求矩形面积的最大值文1在给出上述问题的解答（文2、3指出文1解法有误）后，通过类比提出并探讨了另一个与此有关的问题：问题：设，为正实数，为矩形的边上或内部的一点，且，求证：矩形的周长文2作者从文1的证明过程中注意到了上述结论中的等号未必成立，并试图通过微分法解决矩形周长的最大值问题，但未能成功文2作者只得在文末感叹到：这是“又一个值得继续研究的问题”本文将解决矩

2、形周长的最大值问题注意到对于矩形所在平面内的任一点，点顶距(点与顶点、距离之简称)之间总满足：（见文2引理）故在讨论矩形周长的最大值问题时，为表述简明，引进点顶距，并不改变问题的实质且总可假定（否则，适当改变顶点的标注顺序）定理1 设，为非负常数，为矩形的边上或内部的一点，且，令，则矩形周长的最大值为其中为关于的方程的（唯一）实根证 如图1，过点分别作矩形边的平行线交于，交于设，则由勾股定理有注意到，由（），设（），则于是，由（）有，由（）有从而(）当时，对求导得：显然在时为减函数，且；在时为增函数，且故方程在有唯一实根从而可知，当时，当时，于是，结合初等函数的连续性知，在为增函数，在为减函数故当时，取得最大值证毕由定理1的证明过程，显然有定理2 在定理1的条件下，矩形周长的最小值为参考文献：1 杨志明美国数学月刊问题征解11057的简证及类比J数学通讯，2004（23）.2 郭要红，丁亚元，谢亚义一类矩形面积的最大值J中学数学教学，2005（3）.3 蒋明斌,周兰林,孙世保求一类矩形面积的最大值的初等方法J中学数学教学

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