2020大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义：第9章第08节直线与圆锥曲线的位置关系Word版含答案.doc

1、第八节 直线与圆锥曲线的位置关系考点咼考试题考查内容核心素养直线与圆锥曲线的宀护方 位置大糸2017 全国卷 I T20 12分直线的斜率及直线方程逻辑推理数学运算2016 全国卷I T20 12分直线与抛物线的位置关系2016 全国卷n T21 12分与椭圆有关的范围问题咼考分析全国卷对本节内容的考查侧重于：判断直线与圆锥曲线的位置关系、求弦长 及其最值、中点弦等问题，题型灵活，难度偏大课菌g籲栽.柑”好曲杯券；fij亠知识清单1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1) 代数法：把圆锥曲线方程Cl与直线方程I联立消去y,整理得到关于x的方程ax2 +bx+ c= 0.方程ax2 + bx+ c

2、= 0的解I与C1的交点a= 0b = 0无解(含I是双曲线的渐近线)无公共点b工0有一解(含 I与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点0 0两个不相等的解两个交点= 0两个相等的解一个交点v 0无实数解无交点(2) 几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与 圆锥曲线的位置关系.A(X1, y1), B(x2, y2)，则2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(kz 0)的直线I与圆锥曲线C相交于A, B两点,|AB|= .1 + k2|xi X2|= .1 + k2_ xi+ X2 2-4xix2+ 頁 |y1- y2|=,1+k2

3、屮+y22提醒：辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直 线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合 时也相交于一点.1判断下列结论的正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)直线I与椭圆C相切的充要条件是直线I与椭圆C只有一个公共点.(2) 直线I与双曲线C相切的充要条件是直线I与双曲线C只有一个公共点.I对称的两点，则I与抛物线有两个交点.(3) 过抛物线y2 = 2px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.()(4)若抛物线上存在关于直线答案：“(2

4、) X (3) V2.(教材习题改编)如果直线是()y= kx 1与双曲线x2y2= 4没有公共点，则k的取值范围-O，-宁-2, 1 u ( i,i)u i,_52C.25 逅、2，T1 k2 0,= 4k2 4 1 k2 5 v 0,解析：选C 将直线方程y= kx 1代入x2 y2= 4，得x2 (kx 1)2= 4，化简得：(1 k2)x2+ 2kx 5 = 0，若没有公共点，则需解得k或kv -2所以k的取值范围为OO3过点A(1,0)作倾斜角为 才的直线，与抛物线y2= 2x交于M、N两点，则|MN|=解析：过A(1,0)且倾斜角为n的直线方程为y= x 1, 代入 y2= 2x

5、得 x2 4x+ 1 = 0.设 M(X1, y1), N(x2, y2),有 x1 + x2= 4 , x1x2 = 解析：选A 因为直线y= x+ 3与双曲线的渐近线 y= bx平行，所以它与双曲线只aa有1个交点. ,所以 |MN = /1 + kx1 X2|=p 1 + 1 (X1 + X2 f - 4x1x2 = 2 16 4 = 2J6.答案：2 64.在平面直角坐标系 xOy中，P为双曲线x直线与圆锥曲线的位置关系明技法直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法

6、. 直线与圆锥曲线有无公共点 或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题.b22(1)直线y= ,x+ 3与双曲线;= 1的交点个数是(A . 1B. 2C. 1 或 2D. 0(2)若直线I: y= (a + 1)x 1与曲线C： y2= ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合. 1 解：因为直线I与曲线C恰好有一个公共点，y= (a+ 1 x 1,所以方程组 1),因为直线x y+ 1 = 0平行于渐近线x y= 0,所以c的最大值1为直线x y+ 1 = 0与渐近线x y= 0之间的距离，由两平行线间的距离公式知， 该距离为 灵 =22提能力【典例】答案:当a+ 1工0,即a

7、 1时，方程是关于 x的一元二次方程，判别式 = (3a + 2)2-24(a +1) = a(5a+ 4),4令= 0，解得a = 0或a =-.5、x= 1,当a = 0时，原方程组有唯一解ly= 0,4 x = 5, 当a =-时，原方程组有唯一解5 y= 2.综上，实数a的取值集合是1 1, 5, 0二刷好题已知直线y= kx+1与圆x2 + (y+ 1)2= 1相切且与抛物线 C: x2= 4y交于不同的两点 M ,N,则实数t的取值范围是()A .(汽一3) U (0,+ )C. ( 3,0)解析：选A 因为直线与圆相切，所以B .(汽一2) U (0,+ )D. ( 2,0)t+

8、 1|2 = 1,即k2 = t2 + 2t.将直线方程代入抛物,1 + k线方程并整理得 x2 4kx 4t = 0,于是 = 16k2+ 16t= 16(t2+ 2t) + 16t0，解得 t0 或 tv3.选 A .弦长问题明技法有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数的关系、 设而不求法计算弦长；涉及垂直关 系时也往往利用根与系数的关系、 设而不求法简化运算； 涉及过焦点的弦的问题， 可考虑用 圆锥曲线的定义求解.提能力【典例】 已知点Q是抛物线C1： /= 2px(p0)上异于坐标原点 O的点，过点Q与抛物 线C2： y= 2x2相切的两条直线分别交抛物线

9、 G于点A, B.若点Q的坐标为(1 , 6)，求直 线AB的方程及弦AB的长.解：由Q(1, 6)在抛物线y2= 2px上，可得p= 18,所以抛物线C1的方程为/= 36x.设抛物线C2的切线方程为y+ 6= k(x 1).联立,y+ 6；x 1， 消去y,得2x2 kx+ k+ 6= 0, A= k2-8k 48.由于直线与抛物 y= 2x,线C2相切，故A= 0,解得k= 4或k= 12.y+ 6= 4 x 1y2= 36x,得 A 4，- 3 ；由 y+ 6= 12 x 1 ,|y2= 36x,所以直线AB的方程为12x 2y 9 = 0,弦AB的长为2 37.刷好题2(2018威海

10、检测)设F1, F2分别是椭圆E: x2 + *= 1(0 v bV 1)的左、右焦点，过F1的直线I与E相交于A, B两点，且|AF2|, ab|, |BF2成等差数列.(1)求 ABI；若直线I的斜率为1，求b的值.解：(1)由椭圆定义知 AF2|+ |AB|+ |BF2|= 4,4又 2|AB|= |AF21+ |BF2|,得 |AB|= 3.设直线I的方程为y= x+ c,其中c= . 1 b2.A(X1, y”, B(x2, y2),则A, B两点坐标满足方程组 = x+ c,化简得(1 + b2)x2 + 2cx+ 1 2b2 = 0,则 Xr + X?=2c1 + b2X1X2

11、=1 2b21 + b2 .则 9=(冷 + X2)2 4X1X2 = 因为0v bv 1,所以b =于-因为直线AB的斜率为1,所以 |AB = ；：；2|x2 X11,即 3 = J 2|x2 X11.2244 1 2b _8b_21 + b2 = 1 + b2 2,中点弦问题析考情涉及直线与圆锥曲线的相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题是经常考查的内容，难度中档，各种题型均有可能考查， 常用“点差法”“设而不求”，并借助一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.提能力命题点1:利用中点弦确定直线或曲线方程【典例1】(1)(2018福州质检)抛物线C的顶点为原点，焦

12、点在x轴上，直线x y= 0与抛物线C交于A, B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线 C的方程为()22 cA . y= 2xB. y = 2xC. x2= 2yD. y2= 2x2 2(2)(2018潍坊联考)已知P(1,1)为椭圆乡+ y2 = 1内一定点，经过P引一条弦交椭圆于 A,B两点，且此弦被 P点平分，则此弦所在的直线方程为 .2y2 = 2px1,解析：(1)设A(X1, y”，B(x2, 丫2),抛物线方程为y2= 2px，贝V两式相减可|y2 = 2px2,得 2p= y12X y+ y2) = kABX 2= 2，即可得 p= 1 ,X1 X2所以抛物线C的方

13、程为y2= 2x.方法一易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y 1 = k(x 1), A(* , y1),B(X2 , y2).y 1 = k x 1 ,由 2 y2消去 y 得，(2k2+ 1)x2 4k(k 1)x+ 2(k2 2k 1) = 0,二冷+ x?=+ J= 1424k匚12k2+ 1 .又 X1 + X2= 2,. ：kk+ 1 = 2，解得 k= 2.1故此弦所在的直线方程为y 1 = 2(x 1)，即x+ 2y 3 = 0.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k, A(X1, y1), B(x2, y2),2 2 则4+ f= 1,2 2X2+ y2=

14、x-得 X1+ X24X1 x2 + y1+yj-y2 = 0,T X1 + X2= 2, y1+ y2= 2,y1 y2X1 X2X1 x22+ y1 y2= 0,k=答案：(1)B(2)x+ 2y 3= 0命题点2 :由中点弦解决对称问题_2一9【典例2】 已知抛物线y= x2上存在两个不同的点 M , N关于直线I: y= kx+号对称, 求k的取值范围.解：方法一 由题意知kz 0，设M(xi, yi), N(x2, y2)是曲线上关于直线I对称的两点，122 i则MN的方程可设为y=只+ b(b0)，代入y= x ,得x 只b = 0,所以=1k2+ 4b0，所以X1+ X2 2 h

15、丿,即 4 2k2,1Xl+ X2=十设MN中点的坐标为(Xo, yo),则 xo= 2k yo= 2F+b，因为(xo, yo)在直线I: y= kx+ 9上，11 Q1所以2i?+ b= k2+ 2，所以b= 4亲1 2将代入，得只+ 16 记0.所以 k216，即 k：或 k 4 故k的取值范围为 一m,4 U 1+m.悟技法处理中点弦问题常用的求解方法根与系n崔矗義矗另玉冠药茄i五无址的关系 为-元二庆方程后由按与索戦的关累求解盘整法坤设出弦的两端点坐标后*代入创雄他战方 程，并梓两式相械*式中含有釦+严池，莘妾 三个耒却抵逍拝就直接癮果了申点和直疥 的黠率，借用中血坐标公式嗣可卓鬻覷

16、犁刷好题椭圆aX + by2= 1与直线x+ y 1 = 0相交于A, B两点，C是AB的中点.若AB= 2 2, O为坐标原点，0C的斜率为 屮，求椭圆的方程.后 石 ax2+ by2= 1,解：由X+ y 1= 0,得(a + b)X 2bx + b 1 = 0.设 A(X1, y”，B(x2, y2),依题意得 ax? + by?= 1,且 ax2 + by2= 1,两式相减，得 a(% + X2)(X1 X2) + b(y1 丫2)(屮+ 目2 = 0,y1 y2y1+ y22又X1 X2= 1 , X1 + X2 = kOC = T ,代入上式可得b= 2a.再由 |AB|= 1+ k2|x2 X1|= 2|X2 X1|= 2 .2,得(X1 + X2)2 4X1X2= 4 ,其中X1, X2是方程(a + b)x2 2