关于专题 优选 精选研究全等三角形证明方法归纳及典型例题

1、学习必备欢迎下载全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上 的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以 下方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.（3）有公共边的，公共边常是对应边.（4）有公共角的，公共角常是对应角.（5）有对顶角的，对顶角常是对应角.（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一 对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）.要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.

2、 全等三角形的判定方法：（1）边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（2）角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（3）边边边定理（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、 角相等、两直线垂直等 问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小 关系.而证明两条线段或两个角的

3、和、差、倍、分相等是几何证明的基础.专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在 哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三 角形中常见辅助线的作法： 延长中线构造全等三角形； 利用翻折，构造全等三角形； 引平行线构造全等三角形； 作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题， 思维模式

4、是全等变换中的“对折”。例1：如图，ABC是等腰直角三角形，Z BAC=90 , BD平分Z ABC交AC于 点D, CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD二2CE。思路分析:1）题意分析:本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路:要求证BD二2CE,可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分 Z ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程:证明：延长BA, CE交于点F,在 BEF和 BEC中，. Z 1 = Z 2, BE=BE , Z BEF= Z BEC=90 , BEF竺BEC,EF=EC,从而CF=2CE 。又 Z 1 + Z F= Z 3+Z

5、F=90 ,故 Z 1= Z 3。在 ABD 和 ACF 中，VZ 1 = Z 3, AB=AC , Z BAD= Z CAF=90 , ABD竺 ACF, BD=CF , .I BD=2CE 。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的 应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联 系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着 化归的数学思想，它是解决问题的关键。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” o例2：如图，已知 ABC中，AD是Z

6、BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。思路分析:1）题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2）解题思路：在证明三角形的问题屮特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等 条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了 AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求 证AB=AC,可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程： 证明：延长AD到E,使DE二AD,连接BE。又因为AD是BC边上的中线， BD二DC又Z BDE= Z CDABEDS CAD,故 EB=AC , Z E=Z 2,AD是Z BAC的平分线AZ 1 = Z 2,Z 1 = Z E,AB二EB,

7、从而AB二AC,即ABC是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果岀现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将 端点连结，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理。例 3：已知，如图，AC 平分Z BAD, CD=CB, ABADO 求证：Z B+ZADC=180。思路分析:1）题意分析:本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路:因为AC是ZBAD的平分线，所以可过点C作ZBAD的两边 的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程:证明：作CE丄AB于E

8、, CF AD于F。VAC 平分Z BAD, CE=CFo在 Rt ACBE 和 RtA CDF 中，VCE=CF, CB=CD,RtA CBERtACDF,AZ B=ZCDF,TZ CDF+ZADC二 180。，AZ B+ZADC=180。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线;见中点即联想到中位线。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图， ABC中，AB=AC, E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连 EF 交 BC 于 D,若 EB=CFo求证：DE=DFo思路分析:1）题意分析:本题考查全等三角形常

9、见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形 DEB与 DFC不可能全等，又知EB=CF , 所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过 E作EG/CF,构造中心对称型全等三 角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G, 则Z EGB=Z ACB,又 AB=AC, Z B=ZACB,AZ B=ZEGB, AZEGD=ZDCF,EB=EG=CF,VZ EDB=Z CDF, ADGE ADCF,ADE=DFo解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法:例 5： A ABC 中，Z BAC=60 , Z C=40 , A

10、P 平分 Z BAC 交 BC 于 P, BQ 平分Z ABC 交 AC 于 Q,求证：AB+BP二BQ+AQ。思路分析:1）题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路:本题要证明的是AB+BP二BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通 过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC 的平行线。得厶ADOA AQOo得至lj OD=OQ, AD=AQ,只要再证出BD=OD就 可以了。解答过程:图（1）证明：如图（1）,过O作OD BC交AB于D,AZ ADO=ZABC=180 - 60 - 40 =80 , 又 V Z AQO=Z C+ZQBC=

11、80 ,AZ ADO=ZAQO,又 Z DAO=Z QAO, OA=AO, ADOA AQO,AOD=OQ, AD=AQ,又 ODBP,Z PBO=ZDOB,XV Z PBO=Z DBO,AZ DBO=ZDOB,BD二OD,XV Z BPA=Z C+ZPAC=70 ,ZBOP=ZOBA+ZBAO=70 ,Z BOP=ZBPO,ABP=OB, AB+BP 二 AD+DB+BP 二 AQ+OQ+BO 二 AQ+BQ。解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD二AQ,连OD,构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2）,过O作ODBC交AC于D,则厶A

12、DOA ABO从而得以解决。B pC图（2）如图（？），过0作DEBC交AB于D,交AC于巳 则厶ADOAAQO, AABOAAEO从而得以解决。曷(3)如图4）,过P作PDBQAB的延长线于D，则4APD空ZXAPC从而 得以解决.j图（4）如图（5）,过P作PDBQ交AC于D,则厶ABPA ADP从而得以解决。图（5）小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全 等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构 造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行 线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构

13、 造了全等三角形。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段 相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关 性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 6：如图甲，ADBC,点 E 在线段 AB 上，Z ADE=ZCDE, Z DCE=Z ECBo 求证：CD二AD+BC。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CD二AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截 长”，即在CD截取CF=CB,只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段 相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程:证明：在CD截取CF=BC,如图乙在FU