凸函数在不等式证明中的应用

1、凸函数在不等式证明中的应用摘要： 凸函数是一种性质特殊的函数.它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用. 本文首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的重要不等式并得到了几种常用凸函数的

2、形式关键词凸函数，不等式，凸性不等式1引言在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对

3、凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用，针对它在证明比较复杂的不等式方面有着重要作用，本文对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论.2 凸函数的等价定义定义11若函数对于区间内的任意以及，恒

4、有，则称为区间上的凸函数其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间的割线总在曲线之上定义2若函数在区间内连续，对于区间内的任意，恒有，则称为区间上的凸函数其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上定义3若函数在区间内可微，且对于区间内的任意及，恒有，则称为区间上的凸函数其几何意义为：凸函数曲线上任一点处的切线，总在曲线之下以上三种定义中，定义3要求在内是可导的，定义2要求在上是连续的而定义1对函数则没有明显地要求实际上可以证明在定义1中，函数在上是连续的而定义1和定义2两个定义是否要求函数是可导的，则没有提出如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的2.1

5、凸函数三种定义的等价性的讨论2.1.1定义1定义2证明 定义1定义3，取， 由定义1推得定义2定义2定义1首先，论证对于任意的及有理数，不等式，成立事实上，对于此有理数总可以表示为有穷二进位小数，即，其中或1，由于也是有理数所以也可以表示为有穷二进位小数，即，由于，有或1，于是所以 下面再论证对为无理数时定义1也成立事实上，对任意无理数，存在有理数列，所以，由于在内连续，所以综上即知，定义1与定义2等价2.1.2定义1定义3证明 定义1 定义3：对内任意的及，若，则取，使于是，可以得到，上式中令，由于可微，所以有，即若，则取，使，同理可证定义3定义1：对于区间内的任意（不妨设）以及，令，则有，

6、由泰勒公式，得及，其中，于是再进一步由，所以即，最后，由等价的传递性即知定义2与定义3也是等价的2.2判定定理与Jesen不等式判定定理2设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是，用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的但用该判定定理来判断一个光滑函数是否凸，则是相当简便的在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数定理 (Jensen不等式)3设函数在上处处二次可微，

7、且 (对任意，则为上的凸函数，即对任意，及成立如下不等式， （1）该不等式称为Jensen不等式，该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情况可以说，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen不等式来体现的，因为每个凸函数都有一个Jensen不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路注：由定理，经简单计算知下列函数在其定义域上都是凸函数，从而都满足不等式（1）（a），（b），（c）凸函数及其性质在解题中有着十分广泛的应用，下面试举数例述之3性质利用函数的凸性来证明不等式，是一种重要的方法，通常需要构造适当的凸函数，再

8、运用函数的凸性的定义及几个等价论断，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析凸函数是一类重要的函数凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了性质14 设函数在区间为凸函数，则在区间也为凸函数证明：因函数在区间为凸函数，从而，且于是有因此在区间为凸函数性质2设函数在区间为凸函数，则在区间为凸函数证明 ，因函数在区间为凸函数从而有，且令，则因此，在区间为凸函数性质3 5设函数

9、在区间为递增的非负凸函数，则在区间为凸函数证明 ，设，因为非负凸函数，由定理3知，在点连续，且，因此在区间连续，因递增，从而且由定义知在区间为凸函数当然凸函数的性质还远不止施工述几条，这里就不一一列举4凸函数在不等式证明中的应用41利用凸函数定义证明不等式例1 求证：对任意实数，有证明 设，则，故为上的凸函数从而对，由定义有，即例2 设，则有证明 设 ，那么，于是时，由严格凸函数的定义，其中得，即例36 若为内的凸函数，求证 证明 对，不等式是显然的，设对不等式成立，则因为，这里，由定义有，例4若，则证明 令 ，由于则为上的严格凸函数，所以由例3的不等式有，即，由得，上式等号仅在成立4.2 利

10、用凸函数性质证明不等式例5 证明不等式： ，其中 证明 考虑对数函数，因为故函数是上凸函数，由上凸函数的性质，即得，由对数性质，即证明了 （2）又考虑函数，所以故也是上凸函数，由上凸函数的性质，得，即 ，因此， （3）综合（2），（3）整个命题证明结束例6 设均为正数，且求证：证明考虑函数因为，所以是下凸函数，令，由下凸函数的性质，则有 （4），由柯西不等式：得，于是有，并代入（4）式即得，证毕例77 在中，求证证明 考虑函数，因为，所以在内是上凸函数，由上凸函数的性质有，由于故例88 设，则证明 记则，取，易知，有判定定理知为凸函数，取，由于故由性质得例9 设，有，其中，证明 令，因为，由判

11、定定理知，在上是严格凸函数，由Jensen不等式得到，今设为非负实数且，在上述表达式中以代替，得到由题设知令，不妨设，代入上式便得不等式特别地，取时得就到柯西不等式4.3 凸函数在经典不等式证明中的应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用数学归纳法. 其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.例17 设，证明： . 证明：设，有，从而，函数在是严格凸函数，取,，有 即即 .取,，同样方法，有 于是，有 .例27 证明,有 . 上式称为算术平均不大于次平均，特别地，当时，得到算术平均值不大于平方平均值.证明：考察函数，由于有，

12、所以为凸函数，从而 ， 有 在上式中，令 即得 .例37 若，且，求证：Young不等式 . 证明：从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，可对它进行一定的变形. 不妨在不等式两边同取自然对数，则有由此很容易找到合适的凸函数. 考察函数，因为，由定理4知，在时为凸函数，又有，所以于是 即 . 特别地，当,时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式. 例48 证明Cauchy-Hlder不等式. 设；为两组非负实数，则 . 证明：考察函数，由可知为凸函数，从而 ， 有 在上式中，令， .而，可得 .在上式中特别取，得到著名的Cauchy-Schwartz不等式 .结束语

13、通过研究凸函数的几种定义，分析它们之间的关系，证明了给出三种典型定义之间的等价性给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式然后讨论了凸函数的几条常用性质，接着通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数的应用领域非常广泛，主要是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙，简练，通过对上述问题的证明，我们认识到利用凸函数的定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的至于凸函数在其他领域的应用则未涉及参考文献1 杜厚雄凸函数的性质及其应用J现代企业教育2007:173-1742 白景华凸函数的性质、等价定义及应用J开封大学学报2003，17(2):59-643 曹良干凸函数的定义