优选微积分初步优选

1、微 积 分 初 步 习 题、填空题（每小题 4分，本题共20分）1 ,1函数f（x）4 X的定义域是（2, 1）ln（x 2）sin 4x2.右 lim2，则 k 2 .x 0 kx3曲线y ex在点（0,1）处的切线方程是y x 1 .(1,4.d4.dxe 21ln(x1)dx5.微分方程y y, y(0)1的特解为y ex .6 函数 f (x 2) x2 4x 2，则 f (x) x26 .17. 当x 0时，f (x) xsin为无穷小量.x8. 若 y=x(x- 1)( x - 2)( x - 3)，贝U y (1)= _2 .1 39. ,5x3 3x 1)dx 2.10. 微分

2、方程y y, y(0)1的特解为y ex.11. 函数 f(x 1)112. lim xsinxx2 2x ,则 f (x) x21.1113曲线y . x在点（1, 1）处的切线方程是y-x-2214若 f(x)dx sin2x c,则 f (x) 4sin2x .15. 微分方程(y)3 4xyy7 cosx的阶数为5.16. 函数 f (x 2) x2 4x 7，则 f (x) x23 .x2 2 x 017. 若函数f(x),在x 0处连续，则k,x 018. 函数y 2(x1)的单调增加区间是1.).0 c119. edx .220.微分方程（y）3 4xyy5 sin x的阶数为4

3、.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.设函数 f (x 2) x2 4x 5，则 f (x) _ x2 1.2xsi nk, x 0设函数f(x)X在x=0处连续，则k=.1,x 0曲线f (x) ex 1在(0,2)点的斜率是1.1 3i(5x3 3x 2)dx 4 .微分方程xy(y )2 y40的阶数是3.函数f (x)函数f (x)ln(x 2)1的定义域是答案：x 2且x3.函数f(xln(x 2)2)x2 4x若函数f (x)函数f(x 1)2 函数y 7，则的定义域是f (x).3xsi nxk,

4、x2 2x，则 f (x)1, x.答案：(2, 1).答案:f(x) x2(1,20在x0处连续，则k0.答案:f(x).答案:x21红卫的间断点是.答案: x 11lim xsin xx沁2，则k0 sin kx.答案：1若limx.答案:曲线f (x)、x 1在(1,2)点的切斜率是答案:曲线已知f (x)f (x)xe在(0,1)点的切线方程是 x33x，则 f (3)=_ .答案:.答案:f (x) 3x212y x e3xIn 3 , f (3)=27 (1 In 3)已知f (x)ln x，贝U f (x)=.答案：f (x)若 f (x)xe x，则 f (0).答案：f (x

5、) 2e1f (x)=2x,f (0)2xxe2函数y 3(x 1)的单调增加区间是.答案：(1,)答案：a 0函数f(x) ax2 1在区间(0,)内单调增加，贝U a应满足.二、单项选择题(每小题 4分，本题共20分)1.设函数yxsin x ,则该函数是(A).A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数2当k(C)时，函数f (x)x22, xk, xA o B . 1 C . 2 3下列结论中(C)正确.A.D. 3B.C.4.f(x)在x xo处连续，则一定在 xo处可微. 函数的极值点一定发生在其驻点上.f (x)在x xo处不连续，则一定在 xo处不可导.D.函数的极值

6、点一定发生在不可导点上 下列等式中正确的是(D).A. sin xdx d(cosx)1B. In xdx d() xC. axdxd(ax)5.微分方程(y )3 4xyD.-dxd(2G)x5y sin x的阶数为(B)6.数 f (x)冇的定义域是(C).A. (1,B. (0,1)(1,)C. (1,2)(2, )D (0,2)(2,)A.B.C.D.7. 曲线yA 2B.8. 下列结论正确的有(B ).若f ( xo)=o，则xo必是f ( x)的极值点xo是f (x)的极值点，且f (Xo)存在，则必有f xo是f (x)的极值点，贝U xo必是f ( x)的驻点 使f (x)不存

7、在的点e2x e2 C.1在x 2处切线的斜率是(D)4小 4e D. 2e(Xo)=OXo,9. 下列无穷积分收敛的是(淀是f (x)的极值点A ).A.oe 2xdxB.-idxxC.1dxxD.sinxdx1o.微分方程(y )x 6411.设函数y cosxlim区迤x 2(x 2)( x 2)2y In X的阶数为()lim山x 2x 22x sin X，则该函数是(D).A.非奇非偶函数B.既奇又偶函数C.偶函数D.奇函数12.当 xo时，下列变量中为无穷小量的是(C).A.-xln(1x)13.下列函数在指定区间A. cosx B. 5 x C.D.)上单调减少的是(B ).2x

8、x1 4.设In In xln x f (x)dxxln x 1 In x 2ln x下列微分万程中，(Ac，则 f (x)( C).xsin xA. yC. y16.设函数yxyx2 y ex ey D.xsin x，则该函数是(y ln x B. y yyx2 lny y2xxy eb ).）是线性微分方程.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数17.当 X时，下列变量为无穷小量的是（A)B . ln(1 x)C . xsi nxD.18.若函数f（x）在点xo处可导，则（D）是错误的.A.函数f （x）在点C.函数f（x）在点Xo处有定义B.函数f（x）在点Xo处连续 Xo

9、处可.19.若 f (x)lim f(x) A，但 Af (x0)x x00)，则 f (x)dxx233 2x22c. x22 2x23A.dy ln(x y)；B.矽 eyx ；dxdxC空exey ； D.ln( x y)dxdx21.函数y ln x的定义域为（d).x4A. x0B.x4C. x 0且 x 1D.x0且x22.曲线 f (x)ln x 在 xe对应点处的切线方程是（11 彳1 彳1y x yx 1 yx 1d. yx eeeee23.卜列寺式屮正确的是（D ).A. sin xdxd(cosx) lB. ln xdx d(-)axdxx24.下列等式成立的是（A).A

10、.亘 f (x)dx f (x)B. f (x)dxf (x) C. ddx)B1d(ax).f (x)dx)4C).20.下列微分方程中为可分离变量方程的是（25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（丄dxxf(x)d(2、 x)D. df (x)f(x)A. xdx26.设函数y ； B.史 xy y ； C.dxe x ex，则该函数是（B dy dxxy sin x ； d羊 x(y dx).x)2A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数27.下列函数中为奇函数是（C ）x x22A xsinxB.C. In(x 1 x2)d. x x2x28. 函数yIn(X 5)的定

11、义域为( D ).x 4A x5B. x4C. x 5 且 xOD. x 5 且 x 429. 设 f(x 1)x2 1，则 f (x)(C)2A x(x 1)B. xC. x(x 2)D. (x 2)(x 1)30.当 k(D)时,函数f(x)ex 2,k,0在x 0处连续.0B.31.当 k(B)时,函数f(x)x21,k,0，在x 0处连续.0B.32.函数f(x)A x33.若2的间断点是x2 3x 21,x2B . xf (x) e x cosx，贝y f3C.(0)=(A)x 1, x 2, x3D .无间断点C).y lg2 x，则 dy (134.设1 .Adx B .dx C

12、.2x xln10B).也 dxD .xSxx35.设 yf (x)是可微函数，则 df(cos2x)(D).A. 2 f (cos2x)dx B .f (cos2x)sin 2xd2xC. 2 f (cos2x) sin 2xdx D . f (cos2x)sin 2xd2x36. 若 f (x) sinx a3，其中 a 是常数，则 f (x)(C)A. cosx 3a B . sinx 6ac.sinxD. cosx37. 函数y (x 1)2在区间(2,2)是(D)A .单调增加B .单调减少C .先增后减D.先减后增38. 满足方程f (x) 0的点一定是函数 y f (x)的(C)

13、.A .极值点B.最值点C.驻点D.间断点39. 下列结论中（A）不正确.A. f （x）在x x0处连续，则一定在 x0处可微.B. f（x）在x x0处不连续，则一定在 x0处不可导.C. 可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.函数的极值点可能发生在不可导点上.40. 下列函数在指定区间（，）上单调增加的是（B ）A. sin xB. e C.三、计算题(本题共1计算极限x D. 3 x44分，每小题x2 6x 8x2 3x 2 11分)(x 4)( x 2) x 4 原式 limlim2x 2 (x 2)(x 1) x 2 x 132.设 y ln x cos x ,求 dy.3计算不

14、定积分(2x 1)10dx(2x 1)10dx=-210111(2x 1) d(2x 1)(2x 1)224计算定积分5.计算极限limx 2e2ln xdx1x2 x 6x246.设 y sin 5x cos3 x ,求 dy .3.x3 xsi nx7.计算不疋积分dx3 x3 xsinxdx = 3l 门乂8.计算定积分xsin xdx0 29.计算极限m2H X10.设 y cos11.计算不定积分x 1 lim x 2 x 3原式 lim (x 1)(x2)x 2(x 2)(x3)x 2x，求 dy .(2x 1)10dx(2x 1)10d(2x 1)討1)1112.计算定积分2.x

15、 2 limx 2 x 1Qsi nxdx x2413. 计算极限lim x 2x 3x (x 2)( x 2)原式limx 2 (x 2)(x 1)14. 设 y 2x cos . x ,求 dyy2x ln 2 sin Jx.2(x15.计算不定积分xe xdx解： xe xdx= xe x e xdx xex e x c1116.计算定积分e3X1 lndxxe311 . 12e31dx1 x J1 ln xx23X17.计算极限lim X 23Xx 2x24解：原式 lim (X 1)(x2)x 2 (x 2)(x 2)解:d(1 lnx) 2 1 ln x ln xe32118.计算

16、不定积分解：(1 XX(1 x)2dxX2dx=2 (1. x)2d(1自1 I3 C19.计算极限x2 2x 3解：原式lim 3)(x 1)3 (x.厂11ex3)( x3)20.设 y解:21.计算不定积分2,(x 11专exdxx11 _解：exdxx1_ 1exdx1ex c22计算定积分02xcosxdx23.解: 2 xcosxdx=xsinx0X2 3x 2x24sin xdx = 2cosx=202m2H X24.解:XrILm2H XX /V2x2 2x 3xm3x292小x 2xxm3(x 2)(x 2)- 入 m2 -Xlim x363limx 3 X 142(x 3)

17、( x 3)(x 3)(x 1)x2 lim x 4x26x 85x 4解:x6x 8limx 4 x5x 4(x 4)( x 2)x 4 (x 4)(x 1)limx 4 x 125.moH XX1XmoH X26.计算极限/VX叫zXXmoH X27.计算极限sin 4x解:28.设 y解:.*1 x 1 limx 0 sin 4x1x2ex，求1y 2xe，x2elim(1 x 1)( 1 xx 0 1sin 4 x(J x 1)lim1 x 1x 0sin 4x( .1 x 1)29.设解:3cos x，sin 4x24cos4x 3 cos1 -2)ex(2x 1)x求y x( si

18、n x)解:yeri121x22x31.设yx xin cosx，求y .解:y3 2x2(si nx)3 g ttan x2cosx232.设yy(x)是由方程x2 2yxy 4确定的隐函数,解:方程两边对x求导，得30.设y求 dy.x 1 e2 十,求 y .x于是得到dy y 2xdx xy 2e y，x求导，得x sin x e e7x2y33.设 cosx ex解：方程两边对于是得到dy34.求微分方程解：将原方程分离变量两端积分得通解为35.求微分方程xydx2yy的通解卑 exdx eyin y满足y(1) e的特解.解：将原方程分离变量dy xdxyin y两端积分得lnln

19、 y=ln Cx通解为y=eCx将y(1) e代入通解，得C 1，故特解为y=ex36.求微分方程y x In x解此方程为一阶线性微分方程,P(x)加(x)1lnx，则方程的通解为37.求微分方程y x2x1满足初始条件y(i)彳的特解.解此方程为一阶线性微分方程，且P(x)-,Q(x)xx2 1,则方程的通解为将初始条件y(1)-代入通解，得C 1，于是满足初始条件的为4四、应用题1 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：设底边的边长为 x，高为h，用材料为y，由已知x2h 108, h 108，解得x 6是唯一驻点,c 432 c2x 亍 0 x4

20、323x说明6是函数的极小值点,108qx 6, h3363m的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40所以当2用钢板焊接一个容积为 4元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少?解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h42x所以 S(x) x2 4xh2 16 x xx 2,令S(x) 0，得因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 此时的费用为S(2) 10403.欲做一个底为正方形，容积为2, h 1时水箱的表面积最小解：设长方体底边的边长为 x，160 (元)108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？108高为h，用材料为y，由已知x2h 108,h6是唯一驻点,432令y 2x 20，解得xx108因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以x 6是函数的极小值点，即当 x 6, h 108 3时36用料最省.4.某制罐厂要生产一种体积为 V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最 省？2V解：设容器的底半径为r，咼为h，则其表面积为 S，由已知V r2h，于是h 2，则其r表面积为令S 0,解得唯一驻点r 3氏，由实际问题可知，当r 3匹 时可使用料最省，此时 2n2n74V V-IVh 3，一，即当容器的底半径与高分别为 3：一 与3；一 时，用料最省. ny 2 n y n5、欲用围墙围成面积为2