二次函数专题训练(菱形的存在性)含答案

1、1如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边0C、OA分别与x轴、y轴重合，AB II OC,/ AOC= 90 / BCO=45 , BC=12迈，点 C的坐标为(18, 0).(1) 求点B的坐标；(2) 若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E,且OE=4 , OD=2BD，求直线DE的解析式；(3) 若点卩是(2)中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.22.如图，抛物线y=ax+bx - 2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A , B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为(-

2、2, 0),点P为抛物线上的一个动点，过点 P作PD丄x轴于点D,交直线BC于点E.(1) 求抛物线解析式；(2) 若点P在第一象限内，当 0D=4PE时，求四边形POBE的面积；(3) 在(2)的条件下，若点 M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【温馨提示：考生可以根据题意,3.如图，抛物线y=ax2-2x+c ( a和)与x轴、y轴分别交于点A , B, C三点，已知点A (- 2, 0),点C (0,- 8),点D是抛物线的顶点.(1) 求抛物线的解析式及顶

3、点 D的坐标；(2) 如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点 卩，将厶EBP沿直线EP折叠，使 点B的对应点B落在抛物线的对称轴上，求点 P的坐标；(3) 如图2,设BC交抛物线的对称轴于点 F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标.24.如图1,抛物线y=ax+bx+4的图象过A (- 1, 0), B (4, 0)两点，与y轴交于点C,作直线BC,动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿 CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动.(1)求抛物线的表达式；(2) 如图

4、2,当t=1时，求 Sa acp 的面积；(3) 如图3,过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点. 求PF的长度关于t的函数表达式，并求出 PF的长度的最大值； 连接CF,将厶PCF沿CF折叠得到 PCF，当t为何值时，四边形 PFPC是菱形?5.如图，已知已知抛物线经过原点0和x轴上一点A ( 4, 0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D，直线y= - 2x- 1经过抛物线上一点B (- 2, m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点 F.(1) 求m的值及该抛物线的解析式(2) P (x, y)是抛物线上的一点，若 Saadp=Saadc，求出所有符合条件的点 P的坐

5、标.(3) 点Q是平面内任意一点，点 M从点F出发，沿对称轴向上以每秒 1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.6如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=a ( x+1) 2 - 3与x轴交于A , B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C (0,-三)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H,过点H的直线I交抛物线于P, Q两点，点Q 0在y轴的右侧.(1) 求a的值及点A, B的坐标；(2) 当直线I将四边形ABCD分为面积比为3: 7的两部分时，求直线I的函数表达式；(3

6、) 当点P位于第二象限时，设 PQ的中点为M,点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形 DMPN能否为菱形？若能，求出点 N的坐标；若不能，请说明理由.7.已知抛物线y=】x2+1 (如图所示).(1)填空：抛物线的顶点坐标是(，)，对称轴是(2) 已知y轴上一点A (0, 2),点P在抛物线上，过点P作PB丄x轴，垂足为B .若 PAB是等边三角形 ，求点P的坐标；(3) 在(2)的条件下，点M在直线AP上.在平面内是否存在点 N，使四边形OAMN为菱形？若存在， 直接写出所有满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由.28.(2016山东省威海市).如图，抛物线 y=ax +bx+c的图

7、象经过点 A (- 2, 0)，点B (4, 0),点D ( 2, 4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC, CD .(1) 求抛物线的函数表达式；(2) E是抛物线上的点，求满足 / ECD= / ACO的点E的坐标；(3) 点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C, M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长.9.(2012山东省烟台市)如图,在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0) , C(3,0) , D(3,4)，以A为顶点的抛物线y = ax2 bx c过点C，动点P从点A出发，沿线段 AB向点B运动同时动点 Q从

8、点C出发，沿线段CD向点D运动，点P, Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒，过点P作PE _ AB交AC于点E (1) 直接写出点 A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 过点E作EF _ AD于F，交抛物线于点 G，当t为何值时， ACG的面积最大？最大值为多少?(3) 在动点 P, Q运动的过程中，当 t何值时，在矩形 ABCD内(包括边界)存在点 H ，使以C, Q, E, H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.10.(2012青海省)如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y=x +bx+c的图象与X轴交于A、B两点，B点的坐标为(3, 0)，与y轴交于C(0,-3)点，点P是

9、直线BC下方抛物线上的动点(1)求这个二次函数表达式；2)连接PO, PC,并将 POC沿y轴对折，得到四边形 POPC，那么是否存在点P,使四边形 POP C 为菱形？若存在，求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大？求出此时 P点的坐标和四边形 ABPC的最大面积二次函数之菱形的存在性参考答案1如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边0C、OA分别与x轴、y轴重合，AB II OC,/ AOC= 90 / BCO=45 , BC=12匹，点 C的坐标为（18, 0）（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，

10、交y正半轴于点E,且OE=4 , OD=2BD，求直线DE的解析式;若点卩是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四(3)Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）过点B作BF丄x轴于F,在Rt BCF中/ BCO=45 , BC=12 匚 CF=BF=12/ C 的坐标为(-18, 0) AB=OF=6点B的坐标为（-6, 12）.(2)过点 D作DG丄 y轴于点 G,t AB I DG , ODGOBA ,= =：= , AB=6, OA=12 , DG=4 , OG=8, D (- 4, 8), E ( 0, 4)设直线DE解析式为y=

11、kx+b （ k旳）r-4k+b=8 . fk=-l 飞二4;直线DE解析式为y= - x+4 . t b二 4（3）结论：存在.设直线y= - x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F,则E （0, 4）, F(4, 0), OE=OF=4 , EF=如答图2所示,有四个菱形满足题意. 菱形OEP1Q1 ,此时OE为菱形一边.则有 P1E=P1Q1=OE=4 , P1F=EF - P1E=4：- 4.易知 P1NF为等腰直角三角形， P1N=NF=P1F=4- 2：;设 P1Q1 交x轴于点 N ,则 NQ1=P1Q1 - P1N=4 -( 4 - 2：) =2,又 ON=OF - NF=2 :

12、 , Q1 (2: , - 2：); 菱形OEP2Q2 ,此时OE为菱形一边.答图2此时Q2与Qi关于原点对称， Q2 (- 2匚，2匚)； 菱形OEQ3P3,此时0E为菱形一边.此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，二Q3 ( 4, 4); 菱形OP4EQ4,此时0E为菱形对角线.由菱形性质可知，P4Q4为0E的垂直平分线，由0E=4，得P4纵坐标为2,代入直线解析式y= - x+4得横坐标为2,则P4 (2, 2),由菱形性质可知，P4、Q4关于0E或y轴对称， Q4 (- 2, 2).综上所述，存在点Q,使以0、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；点Q的坐标为：Qi (2 匚，-2

13、匚)，Q2 (- 2 匚，2 匚)，Q3 (4, 4), Q4 (- 2, 2). 22.如图，抛物线y=ax+bx - 2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A , B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为(-2, 0),点P为抛物线上的一个动点，过点 P作PD丄x轴于点D,交直线BC于点E.(1) 求抛物线解析式；(2) 若点P在第一象限内，当 0D=4PE时，求四边形P0BE的面积；(3) 在(2)的条件下，若点 M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B, D, M , N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【温馨提

14、示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】，解得：.C-2)2a-2b-2=01W1，抛物线解析式为y= I x2U丄4D 2-:x-2；(2)令 y=-lx24丄x - 2=0，解得：Xi= - 2, X2=4，当 x=0时,y= - 2,.B (4, 0), C (0,- 2),设 BC的解析式为y=kx+b，则、1，y= x-+：,解得:2，设 D ( m, 0),T DP / y轴,备用图【解答】解：(1)：抛物线y=ax2+bx - 2的对称轴是直线x=1 , A (- 2, 0)在抛物线上， E (m, 1 m- 2), P (m,m2 - m-2 ),v 0D=4PE

15、,242 m=4 (J_m2-一m 2 J_m+2 ) , m=5 ,m-0 （舍去），422 D(5, 0),P (5,),E (5, 1 ),四边形 POBE 的面积-Saopd Saebd-X5-.1 X42242 2；s(3)存在，设M (n,n 2),2以BD为对角线，如图1,v四边形BNDM是菱形, MN 垂直平分 BD , n=4+ -,二 M (空，1 ), M , N关于x轴对称，二 N (，- -)；22424以BD为边，如图2 ,四边形BNDM是菱形， MN / BD , MN=BD=MD=1 ，过 M作MH 丄x轴于 H, MH2+DH 2=DM2,即(丄n 2) 2+

16、 (n 5) 2=12,2d二 ni=4 (不合题意)，n2=5.6,. N (4.6,),5同理(5 - 2) 2+ (4 n) 2=1 , ni=4+丄(不合题意，舍去)，m=4 - :,254以 BD 为边，如图 3，过 M作MH 丄x轴于 H , MH2+bh2=BM 2,即（n 2） 2+ （n 4） 2=12,二 ni=4+2-4丄，“2=4 -上巴（不合题意，舍去），55 N （5+- ）,55综上所述，当 N （,-）或（4.6，三）或（5- ,- _）或（5+ ：,：）,以点 B , D , M24555553.如图，抛物线y=ax2 2x+c （ a和）与x轴、y轴分别交于

17、点A , B, C三点，已知点A （ 2, 0）,点C （0, 8）,点D是抛物线的顶点.D的坐标;(1)求抛物线的解析式及顶点(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点 卩，将厶EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标;(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点,当以点B, F, M , N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标.【解答】解：(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：4a+4+c=0tc=-8解得：a=1, c= - 8.抛物线的解析式为y=x2 - 2x

18、 - 8. y= (x - 1) 2-9,二 D (1,- 9).(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x22x - 8=0，解得 x=4 或 x= - 2, B (4, 0). y= (x- 1) 2- 9,.抛物线的对称轴为x=1 , E (1, 0).将 EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B落在抛物线的对称轴上, EP为/ BEF 的角平分线./ BEP=45 .设直线EP的解析式为y= - x+b，将点E的坐标代入得：-1+b=0,解得b=1,直线EP的解析式为y= - x+1 .将y= - x+1代入抛物线的解析式得：-x+1=x2 - 2x - 8,解得：x=丄或x=2 2点 P在

19、第四象限， x= ； . y= _； . P一 ).2 2 2 2(3)设CD的解析式为y=kx - 8,将点D的坐标代入得：k - 8= - 9,解得k= - 1,直线CD的解析式为y= - x- &设直线CB的解析式为y=k2x- 8,将点B的坐标代入得：4k2- 8=0，解得：k2=2.直线BC的解析式为y=2x - 8.将x=1代入直线BC的解析式得：y= - 6, F (1,- 6).设点M的坐标为(a, - a- 8).当 MF=MB 时，(a-4)2+(a+8)2=(a- 1)2+( a+2)2,整理得：6a= - 75,解得：a=-=1.2点M的坐标为(-二，).2 2当 FM

20、=FB 时，(a-1)2+( a+2)2=( 4- 1)2+(- 6 - 0) 2,整理得：a2+a- 20=0，解得：a=4 或 a=-5.点 M 的坐标为(4,- 12)或(-5, - 3).综上所述，点M的坐标为(-,一)或(4,- 12)或(-5, - 3).2 224.如图1,抛物线y=ax+bx+4的图象过A (- 1, 0), B (4, 0)两点，与y轴交于点C,作直线BC,动点 P从点C出发，以每秒 匚个单位长度的速度沿 CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运 动.(1) 求抛物线的表达式；(2) 如图2,当t=1时，求 Sa acp 的面积；(3) 如图3

21、,过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点.求PF的长度关于t的函数表达式，并求出 PF的长度的最大值;连接CF,将厶PCF沿CF折叠得到 PCF，当t为何值时，四边形 PFPC是菱形?%C【解答】解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+4 的图象过 A (- 1, 0), B (4, 0)两点,2Xa-b+4=016a+4b+4=0a=_1 .抛物线的表达式为lb=3(2)令x=0,则y=4，即点C的坐标为(0, 4),，解得：S2y= - x +3x+4. BC=1=4吋:.设直线BC的解析式为y=kx+4 ,点 B 的坐标为(4, 0),二 0=4k+4，解得 k= - 1BC2S

22、a acp =，直线BC的解析式为y= - x+4 当t=1时，CP=匚， 点A (- 1, 0)到直线BC的距离h=二一=丄=竺二(3)直线BC的解析式为y= - x+4 , CP=.丄t, OE=t，设 P (t, - t+4) , F (t, - t2+3t+4 ) ,( 0 W詔)2 2PF= - t+3t+4 -( - t+4) = - t +4t,( 0W2=10.22323从面积分析知，直线I只能与边AD或BC相交，所以有两种情况： 当直线l边AD相交与点M1时，则S .丫 =二X10=3, ：-X3X(-八)=3 y u = - 2,点 M1 (- 2,- 2),过点 H (-

23、 1, 0)和 M1 (- 2, - 2)的直线 I 的解析式为 y=2x+2 . 当直线I边BC相交与点M2时，同理可得点M2 ( - ,- 2),过点H (- 1, 0)和M2 ( ,- 2)的直线I2 24 d的解析式为y= - x-.33综上所述：直线I的函数表达式为y=2x+2或y= - ： x -.33(3) 设P (X1, yj、Q (X2, y2)且过点H (- 1, 0)的直线PQ的解析式为y=kx+b , - k+b=0 , b=k,/ y=kx+k .由、y=kx+k1；丿 :., -+ 匸-k) x-_3 3 3k=0.2X!+X2= - 2+3k , yi+y2=kx

24、 i+k+kx 2+k=3k ,点M是线段PQ的中点，.由中点坐标公式的点k - 1,假设存在这样的N点如图，直线DN / PQ,设直线DN的解析式为y=kx+k - 3y=kx+k-3_,解得：X1- 1 , X2=3k - 1, N (3k - 1, 3k2- 3)四边形DMPN是菱形， DN=DM ,( 3k) 2+ (3k2) 2=(=)2+ (厶2,4222整理得：3k - k - 4=0，: k +1 o,.3k - 4=0,解得 k= 土一，： k v 0,3 k= - 一3 P (- 3 7- 1 , 6), M (-二-1, 2), N (- 2 二-1, 1) PM=DN=

25、2 ,/ PM / DN ,四边形DMPN是平行四边形,/ DM=DN ,四边形DMPN为菱形,以DP为对角线的四边形 DMPN能成为菱形，此时点 N的坐标为（-2 7 - 1, 1）.D：B X7.已知抛物线y=x2+1 （如图所示）.（1）填空：抛物线的顶点坐标是（0,1），对称轴是 x=0 （或y轴） ;（2）已知y轴上一点A （0, 2）,点P在抛物线上，过点P作PB丄x轴，垂足为B .若 PAB是等边三角形yJASOQa，求点P的坐标;（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上.在平面内是否存在点 N，使四边形OAMN为菱形？若存在,直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理

26、由.解法一：把 y=4 代入 y=J_x2+i，得 x= i2；.4 R (2 二，4), P2 (- 2 二，4)解法二： OB= =2二 P! （2乙4）.根据抛物线的对称性，得 P2 （- 2 _, 4）（3）v点A的坐标为（0, 2），点P的坐标为（2 7, 4）设存在点N使得OAMN是菱形,如图，作MQ丄y轴于点Q,则MQ=m ,AQ=OQ - OA= F - 2= *四边形OAMN为菱形， AM=AO=2 ,在直角三角形 AMQ中，AQ2+MQ2=AM 2,即：m2+ (-m) 2=22 解得： m= :点M在直线AP上，设点M的坐标为：（m,m+2)3代入直线AP的解析式求得y=

27、3或1,当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况:【解答】解：（1）顶点坐标是（0, 1），对称轴是y轴（或x=O）(2)v PAB是等边三角形，/ ABO=90 - 60 =30. AB=20A=4 . PB=4 .设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b解得:3二解析式为：y=2x+2 b=23当N在右图1位置时,/ OA=MN , MN=2 ,又 M点坐标为(二，3), N点坐标为(；,1)，即Ni坐标为(:,1).当N在右图2位置时，/ MN=0A=2 , M点坐标为 (-，1)， N点坐标为(-:，- 1)，即N2坐标为(-；,-1)当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况： 第一种是当

28、点M在线段PA上时(PA内部)我们求出N点坐标为(- 7, 1);第二种是当M点在PA的延长线上时(在第一象限)我们求出N点坐标为(二，-1)存在 N1 (二，1), N2 (-二，-1) N3 (-二，1), N4 ( =,- 1)使得四边形 OAMN 是菱形.28.(2016山东省威海市).如图，抛物线 y=ax +bx+c的图象经过点 A (- 2, 0)，点B (4, 0),点D ( 2, 4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC, CD .(1) 求抛物线的函数表达式；(2) E是抛物线上的点，求满足 / ECD= / ACO的点E的坐标；(3) 点M在y轴上且位于点C上方，点N在

29、直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C, M , N , P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长.分析(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可.(2) 分点E在直线CD上方的抛物线上和 点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求 解即可；(3) 分CM为菱形的边和CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；解：(1) T抛物线y=ax +bx+c的图象经过点 A (- 2, 0),点B (4, 0),点D (2, 4),设抛物线解析式为 y=a (x+2) (x- 4), - 8a=4, a=- , 抛物线解析式为 y= - . ( x+2) (x - 4) = - x2+x+4

30、 ；(2)如图1 ,点E在直线CD上方的抛物线上，记 E； 连接CE,过E作EF丄CD，垂足为F,由（1）知，0C=4 ,/ ACO= / ECF； tan/ ACO=tan / ECF,.辿卫_=丄苛CF工=E，设线段 EF=h，贝U CF=2h ,点 E （2h , h+4）点E在抛物线上，1 2 - - （2h）+2h+4=h+4 , h=0 （舍）h=- E（ 1,；）,点E在直线CD下方的抛物线上，记 E,匚同的方法得，E（3,二），CE点E的坐标为（1，：），（ 3，：）（3）CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点 P，过点P作P N 7/ y轴，交BC于N ，过点P作P M 7

31、/ BC，交y轴于M，四边形CM P N是平行四边形，四边形CM P N是菱形， PM =P N，过点P作P Q 丄y轴，垂足为Q；/ OC=OB，/ BOC=90 ， / OCB=45， / P M C=45， 、-, 1 2设点 P （m， - m +m+4），在 Rt P M Q 中, P Q =m，P M = _m，- B （4, 0），C （0，4），直线BC的解析式为y= - x+4，/ P N 7 y 轴， N （ m， - m+4 ）， P N = - -m2+m+4 -（ - m+4） = - ；m2+2m， 心 1 2m=- :m+2m， m=0 （舍）或 m=4 - 2，

32、_菱形CM P N的边长为 =（4-2.=） =4 7- 4.CM为菱形的对角线，如图 3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM 7 BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN 7 CP，交BC于N，四边形CPMN是平行四边形，连接 PN交CM于点Q,四边形CPMN是菱形， PQ丄 CM , / PCQ= / NCQ ,/ OCB=45 ,/ NCQ=45 ,/ PCQ=45 ,/ CPQ= / PCQ=45 , PQ=CQ,1 2设点 P (n, n +n+4), CQ=n , OQ=n+2 , 1 2n+4= _n +n+4 , n=0 (舍)，此种情况不存在.菱形的边长为4 - 4.

33、9.(2012山东省烟台市)如图,在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0) , C(3,0) , D(3,4)，以A为顶点的抛物线y =ax2 bx c过点C，动点P从点A出发，沿线段 AB向点B运动同时动点 Q从点C出发，沿线 段CD向点D运动，点P, Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒，过点P作PE _ AB交AC于点E .(1) 直接写出点 A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 过点E作EF _ AD于F ,交抛物线于点 G，当t为何值时， ACG的面积最大？最大值为多少?(3) 在动点 P, Q运动的过程中，当 t何值时，在矩形 ABCD内(包括边界)存在点 H ，使以C, Q, E, H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.解：(1) A(1,4).由题意知，可设抛物线解析式为y = a(x -1)2 4 .因抛物线过点C(3,0), 0 二 a(3 -1)2 4 . a - -1.所以抛物